一类三角级数求和公式的导出

教师如何巧编三角题或论证题?本文对形如cosπ/7+cos3π/7+cos5π/7、cosπ/5-cos2π/5、cos~2π/5+cos~22π/5、cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°的计算和cosA+cos(120°-A)+cos(120°+A)=0、cos~2A+cos~2(60°-A)+cos~2(60°+A)=3/2等证明的常见题,都可看作这里导出的一类三角级数求和公式的简单应用实例。     

例说三角变换技巧

由于三角公式比较多,变换灵活多样,解答此类题时,考虑选择恰当的变换就能使复杂问题简单化,收到事半功倍之效果。下面介绍几种常用的三角变换技巧.变换三角函数名称一般地,在一个三角函数式中,若含有多种三角函数,则常把“切割”统一变为“弦”,减少函数种类,易于变形.例1.求tan20°+4sin20°的值.解:原式=sin20°+4sin20°·cos20°cos20°=sin20°+2sin40°cos20°=(sin20°+sin40°)+sin40°cos20°=2sin30°·cos10°+sin40°cos20°=sin80°+sin40°cos20°=2sin60°·cos20°cos20°=2sin60°=3√.点评:本题的解题关键有二:一是把tan2…     

构造模型解三角题

通过构造数学模型来解决三角问题,目的在于培养学生观察、分析、联想的思想方法以及创造性思维能力. 例1 (1991年全国高中联赛题)求cos210°+cos250°-sin40°sin 80°的值. 导析:看到此题,学生自然会联想到课本中的例题:求sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°的值.他们会通过降次、和差化积来解决这个问题.这时,我们可引导学生观察,揭示其本质.注意到sin 40°=cos 50°,sin 80°=cos 10°,且问题关于cos 10°,     

几个三角函数式的值的巧合与必然

1995年全国高考数学试题理科(22)题:求 sin~2 20°+cos~2 50°+sin20°cos50°的值.答案为3/4,又当我们将式中的20°和50°分别换为10°和40°,奇妙地发现 sin~2 10°+cos~2 40°+sin10°cos40°的值仍为3/4,由此引起我们思考:20°,50°,与10°,40°之间有什么关系呢?容易发现等差关系50°-20°=40°-10°=30°.是否有一般性呢?再求 sin~2 19°+cos~2 49°+sin19°cos49°的值.解:原式=1/2(1-cos38°)+1/2(1+cos98°)+sin19°cos49°     

一道习题的巧解及推广

湖北《数学通讯》87年1—3合刊的42页上有这样一道题: 求:cos~2 16°+cos~2 14°-3~(1/2)cos16°·cos14°的值。在《数学通讯》上没给出这道题的解答,下面笔者介绍一种巧妙的解法: 解:构造两个共斜边的     

x^2＋xy＋y^2的一种变形及其巧妙应用

代数式x2+xy+y2是一个非常特别的式子,它的一种特殊的变形与余弦定理的结构式非常吻合,即x2+xy+y2=x2+y2-2xycos 120.°这种特殊的变形可以用来处理一些相关的问题,往往能使某些问题化生为熟、化繁为简、化难为易,达到非常好的效果.例1(1995年全国高考题)求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.分析标准答案和其他一些解法都利用了和差化积、积化和差等公式,而现在这两组公式不作为学生的记忆公式,要求已经淡化.能否利用其他方法来解答陈题就是一个挑战.由于sin220°+cos250°+sin 20c°os 50°=sin220°+sin240°-2sin 20°sin 40°·c…     

一道三角题的多种解法及其推广

例求sin2 20°+cos2 50°+sin20°cos50°的值．解法1:原式点评:本解法先通过半角公式进行降幂,然后运用三角函数的和差化积与积化和差公式进行化简,同时把握对公式的灵活应用,体现了数学中     

第六章解直角三角形

一、本章导析本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法 .三角函数值之间的关系及对应用题题意的理解是难点 ,解应用问题时把握好辅助线的运用是解题的关键 .二、例题解析例 1　计算sin6 0°+3tan30°· cos6 0°( tan37°· tan53°- 2 cot4 5°)· cot30°- sin18°· sin90°( sin2 12°+sin2 78°)· cos72°.解 :原式 =32 +3× 33× 12( 1- 2× 1) 3- sin18°× 11× sin18°=- 2 .说明 :题中出现特殊角时应尽快将其三角函数值代入 ,对于一般角度则应寻找相应的公式 ,必要时可利用角度的互余关系转化之 .例 2　如图 1- 6 - 1,A…     

2002年全国统一考试数学(理科)试题分析

一、选择题: 1.本题考查点到直线的距离公式,从圆的标准方程中读出圆心坐标(1,0),代入点到直线距离公式即得1/2,故选A. 2.本题重在考查复数运算中的棣莫佛定理,先化1/2+3~(1/2)/2i为三角形式,cos60°+isin60°,由棣莫佛定理知(cos60°+isin60°)3=cos180°+i,sin180°=-1,故选C.     

数学直觉思维新探

先从一个例子谈起. 例1 求证:tg6°tg42°tg66°tg78°=1. 要证明上面的三角等式,通常的想法是化切为弦,再用积化和差方法分别求得分子sin6°sin42°sin66°sin78°及分母cos6°.cos42°cos66°cos78°的值推出结论,它的运算过程较繁. 如果解题者以前曾经证明过: tg(60°-α)tgαtg(60°+α)=tg3α (1)则把(1)作为一个基本问题(或称知识组块),同时迅速地抓住题目的特征进行比较,可以发现等式左边具备应用(1)的部分形态,即tg6°tg(60°+6°)及tg(60°-18°)tg(60°     

巧设参数求解三角问题

有些三角问题,初接触时往往感到无从下手,此时,如果能巧妙地设出参数,则可以使问题出奇制胜地得以解决.现举数例说明,供同学们参考.一、求三角函数值例1设sinα+3cosα=2,求sinα-cosαsinα+cosα值.分析:此题若条件与sin2α+cos2α=1联立,求得sinα,cosα值,再代入计算,则过程较繁.可设sinα-cosαsinα+cosα=k,只须求出k的值即可.解:设sinα-cosαsinα+cosα=k,与sinα+3cosα=2联立得:sinα=1+k2-k,cosα=1-k2-k(k≠2)由sin2α+cos2α=1得:(1+k2-k)2+(1-k2-k)2=1即k2+4k-2=0解得k=-2±6.∴原式=-2±6.例2求sin220°+cos280°+3sin20°…     

《两角和与差余弦》的研究性学习设计

一、提出问题教学应在学生已有经验的基础上创设问题情境 ,使学生觉察到问题的存在 ,激发他们的认知冲突.如大家知道45°,30°,60°等是特殊角 ,那么75°=45° +30°是特殊角吗 ?你知道cos75°的值吗 ?联想到分配律 :cos75°=cos45° +cos30° ,想一想 ,你认为这样对吗 ?cos(45° +30°)≠cos45°+cos30°.如何解决这类问题呢 ?解决问题的一种思路是 ,直接探索cos(α + β)的公式 ,问题自然解决了.另一种思路 :能否利用特殊角去求cos75°,再去探究cos(α + β) ?二、建立猜想对学生来说 ,求出一个具体的结果似乎更有吸引力.如图1 ,∠C=90°…     

一个三角公式及其应用

在平面三角中,有不少如cos20°cos40°cos80°,sin20°sin40°sin80°,tg10°tg50°tg70°,…之类的求值问题。它们具有同一形式:f(a)·f(60°-a)·f(60°+a)。这里f(x)表示某个三角函数。对这类求值问题我们将利用三倍角公式的变形来寻求统一的处理。     

2002年数学总复习质量检测题

一、填空题（每小题3分,共30分） 1.分解因式 a3-4a2+4a= 2.关于x的一元二次方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,则k= 3.抛物线y=x2+8x十15的顶点坐标是 4.若2相似文献   

三角运算关键在变

三角恒等变形,公式繁多,技巧性强,不易熟练掌握.但如果在“变”字上下功夫,常可抓住关键,找到解题途径.一、变角对已知角进行和、差、倍、半角等各种形式的合理变换,有利于某些三角函数化简求值.例1(1997年高考题)sin7°+cos15°sin8°cos7°+sin15°sin8°的值为.解:由7°=15°-8°,利用差角正弦和余弦公式,化简得原式=sin15°cos15°=1-cos30°sin30°=2-3.练习(1992年高考题)已知π2<β<α<3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,求sin2α的值.二、变项对于某些三角函数化简,求值问题,若添项或拆项等,则往往能一举成功.例2(1994年高考题)…     

从类比联想的途径和功能看数学能力培养

类比联想是发挥解题灵感的科学向导,是一种重要的解题方法。通过类比,启迪思维,产生联想,既能沟通知识的内在联系,系统深化所学知识,又能培养学生的观察分析能力,数学猜想能力,同时还可激发学生的学习兴趣。本文就类比联想的途径和功能对数学能力的培养谈点看法。 一、对题目的结构进行类比联想,有助于发现问题的最优解法。 例1 求sin~220°+cos~280°+3~(1/2)cos80°sin20°的值。 分析:原式可变为sin~220°+sin~210°-2sin20°sin1O°cosl50°,且10°+20°+150°=180°     

三角复习综合测验题

1.化简 (1+cos2α)/(ctg α/2-tg α/2).2.求值 log_2sin22.5°+log_2cos22.5°3.已知α、β是锐角,且 cosα=1/7,cos(α+β)=-11/14求β.4.设90°0.5.设α、β是锐角三角形二锐角,求证     

关于“三倍角公式”的习题

在斯瓦塞诺夫的三角教程中,已导出了三倍角的正弦,余弦公式: sin3α=3sinα-4sin~3α, cos3α=4cos~3α-3cosα。由这二个公式即可推出三倍角的正切公式: tg3α=(3tgα-tg~3α)/(1-3tg~2α)。下面应用这些公式来解一些习题。例1.求证tg~220°,tg~240°,tg~280°是下面方程的根: x~3-33x~2+27x-3=0 证明:显然,只要证明如下三个等式成立即可。 tg~620°-33tg~420°+27tg~220°-3=0, tg~640°-33tg~440°+27tg~240°-3=0,     

变化出题角度加深概念理解

变化题目的出题角度,从各方面涉及基本概念、基本方法,能有数地加深学生对概念的理解。现举几例说明。 [例一]:把对应于复数3-3~(1/2)i的向量按顺时针方向旋转60°,求与所得向量相对应的复数。解:3-3~(1/2)i=12~(1/2)(3~(1/2)/2-1/2i) =12~(1/2)(cos330°+isin330°) ∵向量按顺时针方向旋转,∴旋转后的向量对应的复数的幅角主值为330°-60°=270。; ∴所求复数12~(1/2)(cos270°+isin270°)     

一道例题的多解

同一数学问题,从不同的角度去审视,就会有不同的感受,从而产生不同的解题思想与方法,而这些方法的产生又源于对知识的理解与掌握.理解越深刻,想象越丰富,联系越广泛,方法越巧妙.下面就人教版高一数学第一册(下)第38页例3:利用和角公式计算11+-ttaann1155°°的值,介绍几种不同的解法,供大家参考.解法1:因为tan45°=1,所以原式=1-tan15°=1-tan45°tan15°=tan(45°+15°)=tan60°=3.另外,11-+ttaann1155°°=1ta+nt4a5n°4-5°ttaann1155°°=tan45°-1tan15°1+tan45°tan15°=tan130°=3.解法2:因为cos15°≠0,所以2cos215°≠0.1+tan15°…