一个数列问题的再研究

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3.5第7题:已知数列{a_n}是等比数列,S_n 是其前 n 项和,a_1,a_7,a_4成等差数列,求证2S_3,S_6,S_(12)-S_6成等比数列.文[1]给出了如下的一个推广:定理1 已知数列{a_n}是公比不为±1的等比数列,S_n 是其前 n 项和,若 xa_m,ya_(m 2k),za_(m k)成等差数列(其中 x,y,z 成等差数列,且均不为0,m,k 均为正整数),则2yzS_k,z~2S_(2k),x~2(S_(4k)-S_(2k))成等比数列.     

有穷等差数列的中间项

引理在等差数列{a_n}中,若p,q,m∈N~*,且p+q=2m,则a_p+a_q=2a_m.有穷等差数列的奇数项的和用S_奇表示,偶数项的和用S_偶表示.性质1若等差数列{a_n}共有2k-1(k∈N~*,且k>1)项,则中间项a_k=S_奇-S_偶,当S_奇     

一道课后习题的推广与探究

普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》（人教版）第61页习题6：问题1 已知Sn是等比数列{a_n}的前n项和,S_3,S_9,S_6成等差数列,求证a_2,a_8,a_5成等差数列．本题出现在教材等比数列前项和的课后习题中,是一道关于等差数列和等比数列的综合题,难度中等,现做如下简单证明     

一类等比数列的讨论

现行高中教材《数学》第一册(上)第128页有一道数列例题:已知 S_n 是等比数列{a_n}的前 n 项和,S_9,S_9,S_9成等差数列.求证:a_2,a_8,a_5成等差数列.文[1]将其推广,得到定理1 设 S_n 是等比数列{a_n)的前 n 项和,其公比g≠1,k∈N,k≥2,则 s_k,S-(3k),S_(2k)成等差数列的充要条件为 a_(k-1),a_(3k-1),a_(2k-1),成等差数列.这里,从两个方面推广了该例题:其一,由特殊推向一般;其二,由必要性推到充要性.读完该文,似乎觉得尚有进一步讨论的余地.例     

一道高考题的几何解法

1992年高考数学(理科)第27题,若结合图形,解法就变得简单、直观。题目是“设等差数列{a_n}的前n项和为S_n。已知a_3=12,S_(12)>0,S_(13)<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S_1,S_2,…,S_(12)中哪一个值最大,并说明理由。”解(1)由于等差数列{a_n}的通项公式可写为a_n=d·n (a_1-d),所以点(1,a_1)、(2,a_2)、…、(n,a_n)分布在一条直线l上,l的斜率即为公差d,且它过定点A(3,12)。(如图)。由于对称性,当S_(12)=0时,直线l通过线段BC的中点E(6.5,0);当S_(13)=0时,l通过线段BD的中点F(7,0)。因为S_(12)>0,S_(13)<0,所以满足题目条件的直线在直线AE与AF之间变动     

例谈应用数列的单调性解题

解某些数列问题时,若能善于发现并应用题设中隐含的数列的单调性。会使问题的求解过程简捷明快。下面略举数例。 例1 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n,已知a_3=12,S_(12)>0,S_(13)<0.(Ⅰ)求公差d的取值范围:(Ⅱ)指出S_1,S_2,…,S_(12)中哪一个值最大,并且说明理由.(1992年全     

关于某类数列的求和公式(续)

三、定理的证明在(1)式中取k=1,我们有(1+1)S_1(n)=N,即 S_1(n)=1/2N。(24)在(1)式中取k=2,并由表一及(24)式有 (2+1)S_2(n)=N(n+1)-S_1(n)=N·1/2(M+1)-1/2N=1/2MN。即 S_2(n)=(1/6)MN。(25)在(1)式中取k=3,并由表一及(24)和(25)式有(3+1)S_3(n)=N(n+1)~2-(3 2)S_2(n)-S_1(n)=N·1/2(2N+M+1)-(3/6)MN-1/2N=N~2,故有 S_3(n)=1/4 N~2。(26)     

1994中国数学奥林匹克试题解答

一、证明 连接EF,在梯形AEFD中,显然有 sin∠AGD =sin∠DGF =sin∠EGF =sin∠AGE, (1) S_(△AGD)=S_(△AED)-S_(△AEG) =S_(△AEF)-S_(△AEG)=S_(△EGF)。(2) 由(1)和(2),有     

两类Stirling数和一个自然数阵

文[1]提出一个自然数阵,并证明了所有偶完全数均在该数阵的第1行,这里我们证明-S_1(n 1,n)和 S_2(n 2,n)(S_1和 S_2分别为第1类和第2类Stirling 数)也有类似性质.(1)我们知道,将阶乘函数展开     

等差数列的行列式性质及其应用

一些刊物上曾研究了涉及项数与通项的等差数列的行列式性质,本文意在给出涉及项数与前若干项和的等差数列的一个行列式性质,据此解决某些等差数列问题就显得异常简明。性质若一等差数列的前n_1项、前n_2项与前n_3项之和分别为S_(n1)S_(n2)、S_(n3),则     

梯形面积的一个性质及其应用

定理梯形的两条对角线和两腰所在的两个三角形的面积相等,且这个面积是梯形两条对角线与两底所在的两个三角形面积的比例中项。证明:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,记∠AOB=a,△AOD、△BOC的两面积分别为 S_1、S_2,内三角形面积公式可知:S_(△ABC)=S_(△DBC), ∴ S_(△ABC)-S_(△BOC)=S_(△DBC)-S_(△BOC), ∴ S_(△AOB)=S_(△DOC)。又S_1·S_2=1/2OA·ODsina·1/2OB·OCsina =1/2OA·OBsina·1/2OD·OCsina =S_(△AOB)~2。应用上面的定理,解决一类作图题和与梯形面积有关的竞赛题。     

一道典型数列题解的完整性

湖北《中学数学》89年第3期《数列定理的推广及应用》一文中例3:已知{α_n}是等差数列,且S_m=n,S_n=m,求S_(m n)。其解答有不易发觉的漏解现象.又如《中学生数学》编辑部编的《中学数学选择题》高二上册P_(33)第17题及由胡炯涛主编88年出版的《高中数学教与学》P_(25)例16等,也出现类似的错误.下面对上面指出的例3给出完整解答: 解:由等差数列前n 和公式得     

数学问答

?问题1.已知S_n是正数数列{a_n}的前n项和,S_1~2,S_2~2,S_3~2,…,S_n~2,…是以3为首项,以1为公差的等差数列,数列{b_n}为无穷等比数列,其前4项之和为120,第2项与第4项之和为90.求a_n和b_n.(河北张玉)     

巧解数列问题几例

对于某些数列问题,如果按照常规法求解.势必出现颇为复杂的情形,若我们善于发现其习题隐含条件,巧妙选择方法,则可删繁就简,轻松解题,下举几例说明.例1 等差数列{a_n}中,S_(10)=100,S_(100)=10,求 S_(110).分析:瞄准等差数列等项和仍为等差数列这     

等差数列前n项和的最值问题

<正>数列是定义在自然数集上的函数,在等差数列这类特殊数列中,其前n项和的最值是高考考查的热点题型。例在等差数列{a_n}中,若a_1=25,且S_9=S_(17),求S_n的最大值。解法1:因为S_9=S_(17),a_1=25,所以9×     

高一数学单元测试(数列)

一、选择题 (本题共 12小题 ,每小题 3分 ,共 3 6分 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一个是正确的 .)1.等差数列 -5 ,-3 ,-1,…的第 15项的值是(　　 )　　 (A) 2 3　　 (B) 2 5　　 (C) 3 1　　 (D) 402 .若数列 {an}满足an =qn(q≠ 0 ) ,则下列结论中不正确的是 (　　 )　　 (A) {a2 n}是等比数列　　 (B) 1an 是等比数列　　 (C) {lgan}是等差数列　　 (D) {lg｜an｜}是等差数列3 .对于一切n∈N ,(an+ 2 -an + 1 ) :(an + 1 -an) =1是数列 {an}为等差数列的 (　　 )　　 (A)充分不必要条件　　 (B)必要不充分条件　　 (C)充要条件…     

关于2000年全国高中数学联赛题13的思考

2000年全国高中数学联赛题13是: 设S_n=1 2 3 … n,n∈N。求f(n)=(S_n)/((n 32)S_(n 1))的最大值。 该题涉及了等差数列的前n项求和、不等式等知识,可谓构思巧妙,独具匠心。 笔者经研究发现,此题不仅对特殊的等差数列可解,对于一般的等差数列,也有类似的结论。     

一道高考题与一道课本例题的统一推广

2007年高考全国卷(Ⅰ)第15题是:等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S3,3S3成等差数列,则{an}的公比为.人教版高中数学教材(2003年版)第一册(上)第128页例4是:已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.我们得到了它们的一个统一推广:命题设p,     

等差数列的一个性质及应用

等差数列是中学数学的一个重要内容,各类考试均将其作为重要知识点加以考查。但如能在复习时对其特点作更进一步的研究,并注意加以总结,不仅可使学生能在宏观上进一步地把握它,而且可以扩大解题思路,简化解题过程。以下给出其奇数项和与偶数项和的一个性质,并举例说明其应用。 1.性质 在等差数列{a_n}中, （1）若其项数为2_n,则S_偶-S_奇=nd,     

一道高考数列题的完整解答

一九九六年全国统一高考数学(文科类)第21题:设等比数列{a_n}的前n项和为S_n,若S_3 S_6=2·S_9,求数列的公比q. 《参考答案》中给的解答如下: 解 若q=1,则有S_3=3a_1,S_6=6a_1,S_9=9a_1,但a_1≠0,得S_3 S_6≠2·S_9,与题设矛盾,故有q≠1. 又依题意S_3 S_6=2·S_9可得