3的剩余类及应用

(本讲适合高中)整数被自然数 m 除按余数可以分为 m 类.当 m=3时,整数被分为{3k},{3k 1},{3k 2}三类.利用3的这三个剩余类及其运算性质可解答某些数学智趣题和竞赛题.一、整数被3除的余数的运算性质我们用余数0,1,2分别表示类{3k},     

竞赛中几个数论问题

一、整数数论的研究对象主要是整数,它在各种数学竞赛题中经常有所体现, 整数的性质最基本的有两条: 1.整数的唯一分解性,每个大于1的整数n,都可以分解成质因数的连乘积,即有     

怎样用R_k解一类数学竞赛题

我们用R_k来记k位都是1的整数11…11。在这里我们仅用R_k的一些有趣性质解决一类数学竞赛题。这类竞赛题如 (1)五十届美国william Lozoell Putnam数学竞赛题 首末两位都是1,中间是0,1交叉的整数1010…101中有多少素数? (2)加拿大赛题     

谈逆向运算

(本讲适合初中)按照某种数学法则,将两个或两个以上数学对象变为一个对象的运算,如a※b=c,我们不妨称之为正向运算.而将一个数学对象分为两个或两个以上对象的运算,如c=a※b,我们不妨称之为逆向运算.本文介绍三种常用的逆向运算.1整数乘法之逆向运算——整数分解我们知道:若整数n能分为两个大于1的整数之积,则称为“合数”;不能分者称为质数.将一个整数n分为两个大于1的整数之积的分法往往可有多种.例如,36=2×18=3×12=4×9=6×6.下面介绍算术基本定理.基本定理若n是大于1的自然数,则n可唯一地表为n=p1α1p2α2…pkαk,其中,p1相似文献   

利用一个性质 解决一类赛题

整数有个非常有用的性质:‘(。,b)=(。,b+九。),这里k是任意整数.”利用这个性质可以解决一类关于求最大公约数的竞赛难题,举例说明如下.命题得证.例3:求使得儿一135儿+6是一个非零的可约分数的最 例1:求证:对任意自然数氏的.(1959年第一届国际竞赛题)分数黯是既约(1985年第三十六届美国中学数学竞赛试证明:‘,‘(21”+4,14”+3)=(21”+4一14”一3,小正整数n。题) 解:月一13sn+6非零且可约。14”+3)=(7”+], 21”+4。 I丽耳万正 1 4n+3)=(7n+1,1)=1既约的。 例2:设”是自然数,试证:扩+1任意两数都是互素的.克数学竞赛题)2,+1,2,.+i,……(1,…     

整数的一个性质及其应用

如果a、b是两个不同的整数,且a>b,那么a-b≥1,或a≥b+1,或a-1≥b。这是关于整数的一个性质,应用它去处理一些与整数不等式有关的问题,可以化难为易,取到出人意料的效果。例1 若自然数m、n满足m+n>mn,试求m+n-mn的值。(1993年北京市初二数学竞赛试题) 解由m、n都是自然数,有m≥1,n≥1,那么     

从一道数列题说起

一、问题的提出 首先,我们给出一个定义：设k、n为整数,k、n≥1,记Sk（n）=1^k＋2^k＋…＋n^k,称Sk（n）为前n个自然数的k次等幂和,简称等幂和．     

用余数分类解数学竞赛题

整数是数学竞赛中的一项重要内容,而余数又是整数中很重要的概念.我们知道:设 n>1是正整数,对于任何整数 a,a被 n 除得的余数有有 n 种可能性,即余数为0,1,…,n-1之一,按照被 n 除得的余数,我们可以把全体整数分作 n个类,这样,每个整数都在某个类中,且同一个整数不会在两个不同的类中出现.特别地,n=2时便得到奇、偶数两个类.一用奇偶性分析解题例1 设 n 为奇数,a_1,a_2,…,a_n是由 n 个自然数,1,2,…,n 按某种顺序排列的 n 个数.证明     

谈数学归纳法的另一种形式

高中课本数学第三册所介绍的数学归纳法又可称为第一数学归纳法,它是证明关于自然数命题的一种有效方法。但是对于某些关于自然数的命题,它却是无能为力的。为此有必要引入第二数学归纳法:对于自然数的命题,如果(1)能验证n=1时命题正确;(2)假设所有的n≤k时命题正确,能推出n=k 1时命题也正确,那么此命题对于一切自然数都成立(证明略)。 在证明由相邻两个结果的正确性可推出第三个结果的正确性的自然数命题时,又可变通使用第二数学归纳法。这时应该(1)验证n=1,2时命题正确;(2)假设n=k-1,k时命题正确,由此推得n=k 1时也正确。     

自然数函数单调性的应用

与自然数n有关的不等式的证明通常采用数学归纳法。这里我们给出可与数学归纳法相媲美的新方法——自然数函数单调性法。定理若n、n_0∈N,且n>n_0,f(n)是自然数n的单调递增(或单调递减)函数且f(n_0)≥m(或≤M),则f(n)≥m(或≤M)。由函数的单调性知上面的定理是显然的,下面举例说明它的应用。例1 求证:当n是不小于3的整数时,有n~(n+1)>(n+1)~n。证明设f(n)=((n+1)~n)/(n~(n+1)),     

数学归纳法证明不等式若干技巧

数学归纳法是证明一些与自然数有关命题的基本方法。是数学证明的有力工具。但是用数学归纳法证明不等式时,却往往受挫。不过若能掌握若干技巧,将会使证明获得成功,到达胜利的彼岸。本文试对数学归纳法证明不等式的若干技巧举例阐述之。一、改变命题形式例1 求证:当n是不小于3的整数时,有n~(n 1)>(n 1)~n……(Ⅰ) 分析:若用数学归纳法证明,要证明传递性:设n=k时有k~(k 1)>(k 1)~k,则n=k 1时,(k 1)~(k 2)是     

问题3．4

如果对于不小于8的自然数n，3n 1是一个完全平方数时，n 1都能表示成k个完全平方数的和，求k的值．     

数论函数S(a)及其应用

数论函数S(α)表示非负整数α的十进制表示式中的各位数码之和,在历年国内外举办的各种数学竞赛中,经常出现与S(α)有关的试题。如果考生能了解并掌握函数S(α)的一些基本性质,那将对解题带来较大的方便。本文第一部分旨在讨论数论函数S(α)的一些基本性质;第二部分给出它在解某些竞赛题时的应用。     

对周期数列的探讨

定义1.对于无穷数列{x_n},如果存在一个自然数m,当n取一切自然数时,等式 x_(n m)=X_n恒成立。则称数列{x_n}为周期数列,自然数m叫做它的一个周期。如{sin(2n/3)π}就是周期数列,3是它的一个周期。定义2.如果有若干个自然数都是同一数列的周期,则把最小的周期叫做这个数列的最小周期。如4,8,…,4k(k∈N)都是数列{i~n}的周期,4是它的最小周期。本文以后所提到数列的周期都是指最小周期。下面我们求探讨周期数列{x_n}的通项公式。 (一) 周期为1的数列: x_(n 1)=x_n。即为常数列:x_n=c。     

能被末位是3的自然数整除的整数特征

贵刊1993年第5期刊载过《能被末位是9的自然数整除的整数的特征》一文,本文特给出能被末位是3的自然数整除的整数的特征,以供读者在教学和研究中参考.定理能被自然数10n 3(n 为非负整数)整除的整数的特征是:这个数的末位数的(3n 1)倍与它的末位以前的数字所表示的数     

第33届IMO越南国家队选拔试题

第一天(4小时) 1.给定两个自然数m和n,其中n>1,且nm,试求最小的整数k,使得任意k个满足条件:“对一切1≤i0,存在一个正整数n_0满足如下条件:对每个次数≥n_0且首项系数等于1的实系数多项式     

连续自然数的和与积的一些性质

几个连续自然数所构成的数列,是一个以1为公差的等差数列,根据等差数列的通项公式可知,最小数为m(m≠0,下同)的n个连续自然数的和为Sn=nm+n(n-1)2.(1)最小数为m的n个连续自然数的积记为Tn=m(m+1)(m+2)…(m+n-1).(2)本文对几个连续自然数的和与积的一些性质做一点探讨.关于这些性质,我们或者给出证明思路,或者只给出结论,其详细的证明留给有兴趣的读者去完成.1连续自然数之和的性质性质1两个连续自然数之和是奇数.性质1显然成立.由性质1不难推出:任意四个连续自然数之和(两个奇数之和)一定是偶数.进一步有:任意4n(n∈N+)个连续自然数之和一定是偶数.     

一类周期数列通项公式的求法

近几年的数学竞赛题中,出现了满足a_(n+k)=a_n(n,k∈N,k是常数)对所有自然数n都成立的数列{a_n},这样的数列被称作周期数列.一些文章指出:满足f(n)=f(n-1)+f(n+1)的数列{a_n},其中a_n=f(n)(n≥1)是以6为周期的数列;满足a_(n+1)=(1+a_n)/(1-a_n)的数列{a_n}是以4为周期的     

运用第二数学归纳法经常出现的一个错误

在数学证明中常常要用到第二数学归纳法,它的叙述是第二数学归纳法原理:设有一个与自然数有关的命题.如果1~0当 n=1时命题成立;2~0假设命题对于一切小于 k 的自然数来说成立,则命题对于 k 也成立;那末命题对于一切自然数 n 来说都成立.     

整数四则运算

我们对整数有了一定的认识之后,现在来研究整数的四则运算。整数的四则运算是最简单、最基本的算术运算,是小学数学中最重要的基础知识。一、整数四则运算的定义自然数的加法运算是建立在数数原则的基础上的。如果数 a 和数 b 都是自然数,在自然数列中的数