由一个基本图形想到的

我们学习了《相似形》一章后,知道了一个结论：两个角分别对应相等的两个三角形相似．即：如图1,在△ABC和△DEF中,若∠B=∠E,∠C=∠F,则△ABC—△DEF．     

例析数学探究题培养学生探究能力

一、探索结论型 例1 如图1,D是△ABC的边AB上的一点,若△ADC与△BDC相似,请指出CD和AB有什么特殊的位置关系？并证明这个结论。分析 由△ADC∽△BDC,有∠ADC=∠BDC。因为∠ADC〉∠B,∠ADC〉∠DCB,因此,∠ADC不可能与∠B或∠DCB成对应角。又∠ADC＋∠BDC=180°,∴∠ADC=∠BDC=90°,即CD⊥AB。     

一道课本习题的变式探究

一、原题再现题目(苏科版《数学》八(下)练习)如图1,在△PAB中,点C、D在边AB上,PC=PD=CD,∠APB=120°,△APC与△PBD相似吗?为什么?略解本题由PC=PD得出∠ACP=∠PDB,利用三角形内角和定理与推论得出∠A+∠B=60°,∠A+∠APC=60°,得出∠B=∠APC,从而判定△APC∽△PBD.点评本题容易得出∠ACP=∠PDB,     

三角形内等斜角三角形及其性质

已知△ABC,∠A、∠B、∠C所对的三条边分别记作a、b、c。今从三顶点A、B、C分别引对边的斜线AA_1、BB_1、CC_1,使得在保持同一顺序之下,有∠AA_1C=∠BB_1A=∠CC_1B=θ。则由三斜线AA_1、BB_1、CC_1相交所得的三角形△HJK称为原三角形△ABC的等斜角三角形。(图1) 定理1 设△HJK是△ABC的等斜角三角形,S_(△HJK)与S_(△ABC)分别表示△HJK与△ABC的面积,则有     

利用相似三角形证线段成比例

相似三角形的判定定理1,是判断两个三角形相似中最常用的定理,通过两个三角形相似,可得到线段成比例,解决有关线段成比例问题,现举例如下:例1如图1,已知△PQR是等边三角形,∠APB=120°,求证:AQ·RB=QR2.分析:因为△PQR是等边三角形,所以要证AQ·RB=QR2,即证AQ∶QR=QR∶RB,故证AQ∶PR=QP∶RB,因此需证△AQP∽PRB,但∠AQP与∠PRB都是等边三角形的外角,又由外角定理和已知条件∠APB=120°,可证明∠APQ=∠B,由此得到△AQP和△PRB相似。证明:∵△PQR是等边三角形,∠APB=120°∴∠APQ+∠BPR=60°∵∠B+∠BPR=∠PR…     

浅谈一道几何问题的解答模式

锐角三角形的垂心是其垂足三角形的内心.这是一个正确的命题.即如图(一)所示:H 为△ABC 之垂心,△FED 为垂足三角形,则:∠EDA=∠FDA,∠DEB=∠FEB,∠DFC=∠CFE.一     

巧构全等三角形证题例说

1.巧构全等三角形证线段相等例 1.已知 ,如图 ,AB=DE,直线 AE、BD相关于点 O,∠ B与∠ D互补。　　求证 :AO=ED。证明 :过点 A作 AC∥ DE交 BD于 C,则∠ D=∠ 2。∵∠ 1 ∠ 2 =180°,∠ B ∠ D=180°,∴∠ 1=∠ B,∴ AB=AC,∴ AB=DE=CA。在△ ACO和△ EDO中 ,∠ AOC=∠ EOD,∠ 2=∠ D,AC=DE;∴△ ACO △ EDO( AAS) ,∴ AO=ED。2 .巧构全等三角形证角相等例 2 .已知等边△ ABC的边长为 a,在 BC的延长线上取一点 D,使 CD=b,在 BA延长线上取一点 E,使 AE=a b。求证 :∠ ECD=∠ EDC。证明 :过 E作 EF∥ AC…     

判定三角形全等五注意

三角形全等是几何的基础知识,判定三角形全等应注意以下几点.1.要注意“边角边”公理中的角是指两条对应边的夹角.例1如图1,BC=CD,∠B=∠ACD,试问△ABC和△ACD是否全等.有些同学说是全等并这样证明:在△ABC和△ACD中,∵AC=AC(公共边),∠B=∠ACD(已知),BC=CD(已知),∴△ABC≌△ACD.上述证明是错误的,因为∠B不是AC和BC的夹角,故这两个三角形不一定全等.评注:例1说明,在判定三角形全等时,要注意判定条件的顺序性.如在例1的△ACD和△ABC中,其条件分别是“SAS”与“SSA”,即条件是分别相等,并非对应相等.2.要注意分清“角…     

“三角形内角和”的应用(初二)

“三角形三个内角的和等于180°”,这是大家熟悉的一个定理.本文举七则中考题说明它的应用. 例1 △ABC中,∠A=∠B ∠C,则∠A=____度. 解因为∠A ∠B ∠C=180°,又∠A=∠B ∠C,所以∠A ∠A=180°,即∠A=90°.例2 如图1,∠1 ∠2     

要善于观察

我听了W老师上的一节"三角形内角和定理和外角定理"的课,其中有一题是这样的:△ABC中,D在AB上,∠DAB=∠B,∠ADC=80°,求∠B(图1).     

证明角相等六法

一、利用全等三角形的性质证明例1 已知:如图1,D、E在线段BC上,AD=AE,BD=CE.求证:∠B=∠C.证明:∵AD=AE,∴∠1=∠2,∴∠ADB=∠AEC在△ABD和△ACE中,BD=CE,∠ADB=∠AEC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS).∴∠B=∠C.     

处理二倍角问题的一种常用方法

引例如图1,∠DAC是△ABC的一个外角,且∠DAC=2∠B.求证:△ABC是等腰三角形.证明:因为∠DAC=∠B+∠C,∠DAC=2∠B,所以∠B=∠C,即△ABC是等腰三角形.     

人教版《几何》第二册 第五章综合测试题

＆ 一、填空题 1.已知△ABC中,AB=AC,它的一边长为5cm,另一边长为6cm,则△ABC的周长是__。 2.已知△ABC中,∠B和∠C的角平分线交于点O,若∠A=45°,则∠BOC=__。 3.在△ABC中、∠A=1 2∠B=1 3∠C,那么这个三角形是__三角形(填:锐角、直角、钝角)。 4.如图1所示,∠1=∠2,AC=DF,那么只需     

《三角形》自测题

一、填空题:1.△ABC中,若∠A=120°,∠B=∠C,则∠C=°.2.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则可判断△ABC为三角形.3.如图1,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线相交于O,∠BOC=116°,则∠A的度数=.图1图24.一个三角形的两边分别是2和7,而第三边的长为奇数,则第三边的长是.5.如图2,沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处,如果AD=7cm,DM=5cm,∠DAM=30°,则AN=cm,NM=cm,∠NAM=.6.为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做的道理是.7.AD是△ABC的中线.△ABD的周长比△ADC的周长大4,则AB与AC的差为.…     

中考“全等三角形”开放题例析

开放探索题是考查发散思维能力与创新意识的极好题型,下面以中考题为例,解析如下.开放探索题是考查发散思维能力与创新意识的极好题型!下面以中考题为例!解析如下.下.例1(2005年福州市中考题)已知:如图,点C、D在线段AB上,PC=PD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证明.所添条件为.你得到的一对全等三角形是△≌△.解析:结合图形和已知条件,由PC=PD,可以推得∠PCB=∠PDA.进而可以推得∠PCA=∠PDB.若添加∠A=∠B,则还可推得PA=PB.这样在△PAC和△PBD中,∠A=∠B,∠PCA=∠PDB,PA=PB,由三角形全等的判定定理易得…     

边边大角定理及其应用

正一、边边大角定理两组对应边相等,并且其中一组边的对角相等是两个三角形全等的必要条件,但不是两个三角形全等的充分条件。那么是不是对以上条件"加强"一下,可以成为充分条件呢?回答是肯定的。请看这个新的命题。定理如果两个三角形的两组边对应相等,并且其中较大一组边的对角相等,则这两个三角形全等。已知:在△ABC与△A’B’C’中,AB=A’B’AC=A’C’ACAB∠B=∠B’。求证:△ABC≌△A’B’C’。证明:按∠B的大小分成三种情况证明(1)∠B90°,如图(1)图(1)     

三角形角分线定理及其应用

我们把三角形一个角的顶点与对边上一点的连线叫做三角形的角分线 .角分线有如下性质 :定理　三角形角分线分对边的比等于两邻边与其相应分角正弦积的比 .下面给出该定理的证明 .已知 :如图 1 ,D点在△ ABC的 BC边上 ,AD为∠ A的角分线 .求证 :BDDC=ABsin∠ BADACsin∠ CAD.图 1证明 :过 B、C向角分线AD所在直线作垂线 ,E、F为垂足 ,则 BE =BAsin∠ BAD,CF =ACsin∠ CAD.因为∠ BED =∠ CFD= Rt∠ ,∠ BDE =∠ CDF,所以△ BED∽△ CFD.所以 BDDC=BECF=sin∠ BADACsin∠ CAD.很明显 ,当角分线分成等角时 ,si…     

三角形相似判定定理的教学

相似三角形的知识在测量和绘图方面都有广泛的应用,同时又是学习相似多边形和其他相似形以及三角知识的基础.它是“相似形”这一章书的重点.其中,三角形相似的判定定理的证明又是本章的难点.下面着重谈谈三个判定定理的证明.在教学判定定理前,先复习三角形相似的预备定理.即,如图一,只要B_1C_1//BC,那么△AB_1C_1就和△ABC相似.这预备定理是证明三角形相似的三个判定定理的基础.三角形相似判定定理一:如果一个三角形的两个角和另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.已知:在△A_1B_1C_1和△ABC中,∠A_1=∠A,∠B_1=∠B.(图二)。求证:△A_1B_1C_1∽     

由一道习题得出一个重要结论

如图1,已知△ABC,P是边AB上的一点,连结CP,当△ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?图1分析:∵∠A=∠A∴当∠ACP=∠ABC时,△ACP∽△ABC·于是AACB=AACP=CPBC·注意比例式AACP=CPCB中的四条线段,其中AP与AC是△ACP的∠1与∠2的对边,PC与CB是△PBC的∠3与∠4的对边,而∠1=∠3,∠2 ∠     

对一道选择题答案的反思

题目如图1,四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中,不能推出△ABP与△ECP相似的是().(A)∠APB=∠EPC(B)∠APE=90°(C)P是BC边的中点(D)BP∶BC=2∶3本题答案应该是C.但许多同学是这样解的:当∠APE=90°,∠1+∠α=90°,又因为∠β+∠1=90°,所以∠α=∠β,又因为∠B=∠C,所以△ABP∽△PCE.故选B.选择支B能否推出△ABP∽△ECP?可以换个角度思考,即当△ABP∽△PCE时,能否求出BP的长呢?不妨设正方形的边长为4a,BP=x,则CP=4a-x,CE=2a,根据相似三角形的对应边成比例可得CBEP=PACB,即2xa=4a4-…