第39届IMO中国国家队选拔考试

一、求正整数k,使得 (a)对任意正整数n,不存在j满足0≤j≤n-k 1,且C_n~j,C_n~(j 1),…,C_n~(k-1)成等差数列; (b)存在正整数n,使得有j满足0≤j≤n-k 2,且C_n~j,C_n~(j 1),…,C_n~(j k-2)成等差数列.进一步求     

关于sum from j=0 to n J~K C_n~j的猜想

高中数学学过 C_n~0+C_n~1+C_n~2+…+C_n~n=2~n, C_n~1+2C_n~2+…+nC_n~n=n·2~(n-1), 即sum from j=0 to n C_n~j=2~n,(1) sum from j=0 to n jC_n~j=n·2~(n-1)。(2)     

组合恒等式的证明方法

关于组合恒等式的证明方法大体可归纳为如下一些: 一、在二项展开式中直接代入特别值而得组合恒等式二项展开式为 C_n~0 C_n~1x C_n~2x~2 … C_n~nx~n=(1 x)~n,其中 C_n~k=(n(n-1)…(n-k 1))/(k!)=(n!)/((n-k)!k!),k≤n,且规定C_n~0=1。若令x=1得 C_n~0 C_n~1 C_n~2 … C_n~n=2~n.(1) 令x=-1得 C_n~0-C_n~1 C_n~2-… (-1)~nC_n~n=0,(2)或 C_n~0 C_n~2 …=C_n~1 C_n~3 … *) (3) *)本     

《易经》“卦变图”中的组合理论

两宋时期的几种“卦变图”中,蕴藏着数学上的组合理论思想及概念,并已发现了组合数的简单性质:以C_n~k=C_n~(n-k)(0≤k≤n,1≤n≤6),C_n~0 C_n~1 …C_n~n=2~n(1≤n≤6),这些结果,当时在世界上是处于领先地位的。     

2004年IMO中国国家集训队选拔考试试题

(2 0 0 4 - 0 3- 31　8:0 0 - 1 2 :30 )　　1.设∠XOY =90°,P为∠XOY内的一点,且OP=1,∠XOP =30°,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N .求OM ON -MN的最大值.(王建伟　命题)2 .设u为任一给定的正整数.证明:方程n !=ua-ub 至多有有限多组正整数解(n ,a ,b) .(余红兵　命题)3.设n1,n2 ,…,nk 是k (k≥2 )个正整数,且1相似文献   

等差数列的一个性质的推广

《数学通报》1981年第1期发表了雷宗焕同志的《等差数列的一个有趣的性质》一文(下称雷文)。该文用数学归纳法证明了下述命题: 如果a_1,a_2,…,a_n,a_(n+1)成等差数列,则当n≥2时,下列等式总成立: a_1-C_n~1a_2+C_n~2a_3-…+(-1)~(n-1)C_n~(n-1)a_n++(-1)~nC_n~na_(n+1)=0。(※) 本文将(※)式给予推广。首先研究下述命题:     

第33届IMO越南国家队选拔试题

第一天(4小时) 1.给定两个自然数m和n,其中n>1,且nm,试求最小的整数k,使得任意k个满足条件:“对一切1≤i0,存在一个正整数n_0满足如下条件:对每个次数≥n_0且首项系数等于1的实系数多项式     

一道全国竞赛题的多种解法

1988年全国高中数学联赛第一试最后一题:已知a、b为正实数,且1/a 1/b=1,试证对每一个n∈N, (a b)~n-a~n-b~n≥2~(2n)-2~(n 1)(*) 这个不等式从形式上看较难证明,经过研究,笔者发现它有许多证法,择其简单的四种介绍如下: 证一应用二项式定理,得(a b)~n-a~n-b~n=C_n~1a~(n-1)b C_n~2a~(n-2)b~2 … C _n~(n-1)ab~(n-1) (1)根据组合数性质C_n~k=C_n~(n-k),由(1)得(a b)~n-a~n-b~n=C_n~1ab~(n-1) C_n~2a~2b~(n-2) 十… C_n~(n-1)a~(n-1)b (2)(1) (2)后两边除以2得     

2004年IMO中国国家集训队选拔考试

1 .设∠XOY =90° ,P为∠XOY内的一点 ,且OP=1,∠XOP =30° ,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N .求OM ON -MN的最大值 .2 .设u为任一给定的正整数 .证明 :方程n !=ua-ub 至多有有限多组正整数解 (n ,a ,b) .3.设n1,n2 ,… ,nk 是k(k≥2 )个正整数 ,且1相似文献   

2010我爱数学初中生夏令营数学竞赛

说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分. 第一试 1.设n(n<100)是正整数,且存在正整数k,使得1≤k≤n-1,满足 4κ+1/2n+1-2κ2/n2=1/2. 试问:满足条件的n有多少个取值?并证明你的结论.     

挖掘数学题中的隐含信息

在解数学题时,同学们常常因未能挖掘其隐含信息,或陷入困境,或造成失误.若能及时发现和运用隐含信息,不仅可以迅速找到解题的突破口,而且能使解题过程简洁明了.一、从题设条件和结论的代数特征上挖掘例1证明以下命题:(1)对任一正整数a,都存在正整数b,c(b相似文献   

n个正整数的和与积相等条件下的有趣结论

本文讨论了n个正整数的和与积相等的一个必要条件,并证明了两个与素数、合数有关的结论. 结论1:若n(n≥2)个正整数a1,a2,…,an满足条件n∑i=1ai=n∏i=1ai,则ai≤n(i=1,2,…,n). 证明:(1)当n=2时,a1·a2-(a1+a2)=(a1-1)·(a2-1)-1≥0,当且仅当a1=a2=2时等号成立,故a1·a2=(a1+a2)时a1≤2,a2≤2,符合结论1. (2)当n≥3时,设a1≤a2≤…≤an.令a1=a2=…=an-2=1,an-1=2,an=n,则n∑i=1ai=n∏i=1ai=2n.此时ai≤n(i=1,2,…,n). 又设存在n(n≥2)个正整数b1,b2,…,bn满足条件1≤b1≤b2≤…≤bn-1≤bn,bn＞n,且n∑i=1bi=n∏i=1bi.不妨令bi=1+ti(i=1,2,…,n-1,ti∈N),bn=n+tn(n∈N+).     

杨辉恒等式的推广与三类组合恒等式

杨辉恒等式即现行高中数学教材中所述组合数的第二个基本性质:C_(n-1)~(i-1) C_(n-1)~i=C_n~i(1≤i≤n-1)(1) 我们可以结合等差数列将其推广为定理设a_0,a_1,…,a_n是一个等差数列,则当0≤i≤n时,恒有 a_iC_n~i=a_nC_(n-1)~(i-1) a_0C_(n-1)~i(2) 证明:当i=0或n时,按规定有C_(n-1)~n=0,C_(n-1)~(-1)=0,此时,(2)式显然成立。当1≤i≤n-1时,设等差数列a_0,a_1,…,a_n的公差为d,则a_i=a_0 id (0≤i≤n),于是     

2003年英国数学奥林匹克第2轮试题

1 .对于任意整数n >1 ,设P(n)为n的最大质因数 .求所有的三个不同的正整数x、y、z ,使其满足 :①x ,y ,z是等差数列 ;②P(xyz)≤ 3 .2 .△ABC中 ,D为AB上一点 ,且AD =14AB .过D的射线l与C在AB的同侧 ,交△ABC的外接圆于P ,且∠ADP =∠ACB .证明 :PB =2PD .3 .设 f :N→N是一个正整数集N的一一映射 .( 1 )证明存在一个由正整数a ,a +d ,a + 2d组成的等差数列 ,这里d >0 ,使 f(a) 0 ,使 f(a) 相似文献   

亚纯函数亏量和的Ozawa问题

对Ozawa问题,结合詹小平和雷春林关于导数亏量的有关结果,证明了,设f(z)习为有限级λ的亚纯函数,存在只与p = min(k, n+ 1),λ有关的正正常数d,满足:p-1p≤ d≤12,使得∑a∈cδ(a,fk+f(n))≤2-dk(λ),及对于任意正数nk≥1,满足n-k 2n-2k+4≤d≤12,使得∑a∈cδ(a,f(n)fk)≤2-dk(λ)。     

一道高考题的错解分析及别解

2004年高考数学(江苏卷)第20题: 设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn. (Ⅰ) 若首项a1=(3)/(2), 公差d=1, 求满足Sk2=(Sk)2的正整数k; (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立.     

高考江苏卷第（20）题（Ⅱ）的别解与推广

题目 设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn. (Ⅰ)若首项a1=(3)/(2),公差d=1,求满足Sk2=(Sk)2的正整数k; (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立.     

证明组合等式方法例说

本文通过例题阐述证明组合等式时,如何根据题设特征选择适合的方法,供参考。一、待定系数法待定系数法的根据是多项式恒等定理:若 f(x)≡sum from i=0 to n a_ix~(n-i),g(x)≡sum from i=0 to n b_ix~(n-i),且,(x)≡g(x),则有a_i=b_i。(i=1,2,…,n). 例 1 求证C_m~0 C_n~k+C_m~1 C_n~(k-1)+…++C_m~k C_n~0=C_(m+n)~k。分析观察此式两端组合数的特点,即     

第48届IMO预选题（一）

数论部分 1.求所有的正整数对(k,n),使得(7k-3n)|(k4 n2). 2.设b、n是大于1的整数.若对每一个大于1的正整数k,都存在一个整数ak,使得k|(b-ank),证明:存在整数A,使得b＝An.     

C_n~0+C_n~k+C_n~(2k)+…+C_n~(lk)的计算方法

对于形如C_n~0+C_n~k+C_n~(2k)+…+C_n~(lk)(其中k、l∈N。n-k相似文献