利用简单线性规划巧求参数

下面先介绍一个结论:直线l的方程为Ax By C=0(A、B不同时为零)(1)若M1(x1,y1)、M2(x2,y2)为直线l异侧的任意两点,则(Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)<0.(2)若M1(x1,y1)、M2(x2,y2)为直线l同侧的任意两点则(Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)>0.证明略.应用举例:例1若点A(1,3)和B(-4,-2)在直线2x y m=0的两侧,求m的取值范围.解设f(x,y)=2x y m.∵A(1,3)和B(-4,-2)在直线2x y m=0的两侧,∴f(1,3).f(-4,-2)<0,∴(2×1 3 m)[2×(-4) (-2) m]<0,∴-5相似文献   

对称曲线的方程及其应用

[定理1] 设曲线a:F(x,y)=0关于直线l:Ax+By+C=0的对称曲线是a’,则a’的方程为 F(x-(2A(Ax+By+C))/(A~2+B~2),y-(2B(Ax+By+C))/(A~2+B~2))=0 (1) 证:设a上任一点P(x_1,y_1)关于l的对称点是M(x,y).则PM的中点((x+x_1)/2,(y+y_1)/2)∈l,且PM⊥l.当A≠0且B≠0时,     

曲线Ax~2+By~2=C的性质及应用例说

本文介绍曲线Ax2+By2=C(AB≠0)的一条有趣性质,并以高考题为例说明其应用.1曲线的性质定理设曲线Ax2+By2=C(AB≠0)与直线P1P2相交于P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点,P为线段P1P2的中点,若直线P1P2、OP的斜率分别为k、m,则A+kmB=0.证明设P(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,且xy00=1m.因为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点在曲线上,所以Ax21+By12=C,Ax22+By22=C.两式相减并整理,得A(x1-x2)x0+B(y1-y2)y0=0,由题意知x1≠x2,则有y1-y2x1-x2=-AByx00,即k=-mAB,所以A+kmB=0.2性质的应用2·1求圆锥曲线的离心率例1(2005年全国高考题)已知椭圆的中…     

直线系与圆系方程

内容概述 具有某种性质的直线(圆)的集合叫直线(圆)系.通常方程中含有一个或几个参变数. 1.直线系常见类型 (1)过定点(a,b)的直线系为:λ1(y-b)+λ2(x-a)=0,其中λ1、λ2为参数 (2)与直线Ax+By+C=0平行的直线系为:Ax+By+λ=0,(λ≠C,λ为参数) (3)与直线Ax + By + C=0垂直的直线系为:Bx-Ay+λ=0(其中λ为参数) (4)若直线l1与l2的一般式分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则曲线系:λ1f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λi为参数)     

点到直线距离公式证法综述

在学习了点到直线距离公式后 ,总觉得课本上对这一公式的证明比较繁琐 .其实 ,这一公式还有多种证法 .设P(x0 ,y0) ,L :方程Ax +By+C =0(A ,B不同时为零 )当A =0或B =0时公式显然成立 ,因此 ,这里只证明A ≠ 0 ,B≠ 0时的情况 .已知 :P(x0 ,y0 ) ,L :Ax+By +C =0(A ≠ 0 ,B ≠ 0 ) ,求证 :P到L的距离d =｜Ax0 +By0 +C｜A2 +B2 .证法一 :过P点作L的垂线交L于Q(x1 ,y1 ) ,则kPQ =BA∴ x1 -x0y1 -y0=AB ①∵Ax1 +By1 +C =0 ,∴将其变形为A(x1 -x0 ) +B(y1 -y0 )=-(Ax0 +By0 +C) ②联立①②得 :x1 -x0 =-A(Ax0 +By0 +C)A2 +…     

对新教材一公式推导的质疑、建议和想法

公式　如果已知点P的坐标为 (x0 ,y0 ) ,直线l的方程为Ax+By +C=0 ,则点P到直线l的距离为d=｜Ax0 +By0 +C｜A2 +B2 .1　一点质疑此公式是高中教科书 (试验修订本 ·必修 )《数学》第二册 (上 ) (以下简称新教材 )第 7.3节的内容 ,新教材给出了此点到直线距离公式的推导过程 ,并指出了用两点间距离公式推导的繁琐和运算过程的复杂 .其实 ,在教材中 ,编者一再提到的思路自然、运算复杂的推导方法其实是很简单、巧妙的 .具体推导如下 :推导 1　设A≠ 0 ,B≠ 0 ,过P作直线l的垂线 ,垂足为Q(x1,y1) ,则Ax1+By1+c=0 ,y1- y0x1-x0 =BA ,即A…     

高中数学对称问题分类解析

一、点关于已知点或已知直线的对称点问题1.若点P(x,y)关于点(a,b)的对称点为P'(x',y'),则由中点坐标公式得x'=2a-x,y'=2b-y2.若点P(x,y)关于直线L:Ax+By+C=0的对称点为P'(x',y'),则x'=x-2AA2+B2(Ax+By+C),y'=y-2BA2+B2(Ax+By+C)证明∵PP'⊥L,PP'的中点在直线L上,∴Ax'+By'=-Ax-By-2C,y'-yx'-x(-AB)=-1(B≠0)解此方程组便可得前面的结论.三种特例:(1)点P(x,y)关于x轴和y轴的对称点分别为(x,-y)和(-x,y);(2)点P(x,y)关于直线x=a和y=a的对称点分别为(2a-x,y)和(x,2a-y);(3)点P(x,y)关于直线y=x和y=-x的对称点分别为(y,x)和(-y,…     

这类直线方程如何求

一、原因 我们先看以下问题: 例1 若(x、y)为直线L上任一点,则(3x+2y,x+2y)也为直线L上一点,求直线L的方程。 解答如下: 设直线L的方程为Ax+By+C=0(A、B不同时为0)(1)     

一个猜想结论的证明

文[1]提到一个猜想结论：用线性规划知识易得当M1（x1，y1），M2（x2，y2）在直线l：Ax＋By＋C=0的两侧时，有（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）〈0，类比猜想：直线l1：Ax＋By＋C1=0和直线l2：Ax＋By＋C2=0是两条平行直线，点M（x0，y0）是夹在这两条平行直线之间的任一点，则有（Ax0＋By0＋C1）（Ax0＋By＋C2）〈0.[第一段]     

用向量求点线距离(高一、高二、高三)

直线方程Ax+By+C=0一次项系数的几何意义:向量(A,B)是直线Ax+By+C=0的法线方向.设点p坐标为(x1,y1),直线l的方程是Ax+By+C=0,过点P作直线l的垂线,垂足为D,线段PD的长度是点P到直线l的距离。     

陈题新解

新教材第二册 (上 )解析几何部分增添了“简单的线性规划” ,教材首先介绍了二元一次不等式表示平面区域 ,即平面直角坐标系中不等式Ax+By +C>0表示直线Ax+By+C =0某一侧所有点组成的区域 ;不等式Ax+By+C≥ 0所表示的平面区域还应包括边界 .因此 ,位于直线Ax+By +C =0同侧的点坐标 (x ,y)使得Ax +By+C同号 ,异侧的点坐标 (x ,y)使得Ax+By+C异号 .利用这个知识点可以解决一类典型的解析几何题目 ,下面仅举几例略谈笔者的体会 .例 1　已知直线l经过点P(2 ,- 1)且与以A(-3,4 )、B(3,2 )为端点的线段相交 ,求直线l斜率的取值范围 .分析…     

点到直线距离公式的证法综述

正设点P(x0,y0),直线L:Ax+By+C=0.则点P(x0,y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离为d=|Ax0+By0+C|/(A2+B2)~(1/2).本文从这个公式的多种思路证明说明教材的基本结论对培养学生思维能力的重要性,并且通过对多重证明情况的分析,达到既对证明思路进行创新,又对所学知识进行相应的复习与整合,     

直线方程的一种新求法及应用

本文介绍直线方程的一种/另类0求法及解题中的广泛应用.如果P(x1,y1),Q(x2,y2)两点坐标满足:Ax1+By 1+C=0,A x 2+By 2+C=0,说明P(x1,y1),Q(x2,y2)两点都在直线A x+By+C=0上,因为两点确定一条直线,所以直线PQ的方程为:Ax+By+C=0,这给出了求直线方程的一种新方法,应用这种方法,能使许多棘手的解析几何问题得到简捷地解决,下面举例说明.例1过点M(4,2)作x轴的平行线被抛物线C:x2=2py(p>0)截得的弦长为4 2.     

用平面区域求一类直线斜率范围

我们知道:P1(x1,y1)和P2(x2,y2)在直线L:Ax By C=0(A2 B2≠0)的两侧(Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)<0·利用这个性质可得一类直线斜率的统一解法:【例1】已知两点P(2,-3),Q(-3,-4),直线ax y 2=0与线段PQ相交,求a取值范围·解:线段PQ与直线ax y 2=0相交,P、Q在直线的两侧或P、Q在直线上     

恰当类比得命题 巧用结论妙解题

在平面几何里，有点到直线的距离公式：“设点P(x0，y0)，直线l的方程Ax By C=0(A、B不全为零)，则点P到直线l的距离d=|Ax0 By0 C|/√A^2 B^2。拓展到空间，类比平面内点到直线的距离，研究空间内点到平面的距离，可以得到正确命题：“设点P(x0，y0，z0)，平面α的方程．     

这不是巧合

求一点P0(x0,y0)关于直线Ax By C=0的对称点P1(x1,y1)的特殊情况.先看一般情况设P0(x0,y0)关于直线l:Ax By C=0的对称点为P1(x1,y1),试求P1(x1,y1)的坐标与P0(x0,y0)的坐标的关系:     

方向向量与法向量在解析几何中的应用

若直线l经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线l上的向量P1P2^→及与它平行的向量称为直线的方向向量P1P2^→=(x2-x1,y2-y1)，当直线P1P2与x轴不垂直时，x≠x2，此时1/2x-x1 P1P2^→也是直线P1P2^→的方向向量，且它的坐标是1/x2-x1(x2-y1，y2-y1)=(1，k)，其中k是斜率,若直线l的一般方程为Ax By C=0，其方向向量设为m．     

平面区域性质的运用

一、平面区域的性质在平面直角面坐标中,直线L:Ax+By+C=0(A>0)将平面分成两部分:则有"同正异负".设P1(x1,y1),P2(x2,y2)为平面内的任意两点。     

关于直线与圆的两个重要模型及应用浅析

构造是一种重要的数学思想 ,在数学解题教学中 ,教师应注意引导学生依据题目特征 ,类比相关知识 ,通过相关数学模型来促使问题的解决 .本文利用直线与圆有关常用数学模型求解一类数学题 ,供参考 .1　利用点到直线的距离公式解题设 A(x0 ,y0 ) ,直线 l:Ax + By+ C=0 ,则 A到 l的距离 d=| Ax0 + By0 + C|A2 + B2 .例 1　已知实数 a,b满足 a+ b=1.求证 :(a-3) 2 + (b+ 4 ) 2 ≥ 2 .图 1证明　不等式左端可视为点 P(a,b)到点 Q(3,- 4)的距离的平方 ,而点 P(a,b)可看作直线 l:x+ y=1上的任意一点 ,于是问题转化为点 P在直线l上什么位置时线…     

信息迁移 方法唯先

信息迁移在高考中多见于一些探索题、开放题等新题型,能有效地考查学生的思维品质和创造性地分析问题、解决问题的能力·解信息迁移题,需要较多的分析和数学方法的综合应用,那么,解决这一类问题有哪些常用方法呢?一、直接推算,合理嫁接很多信息迁移题,通过仔细阅读、认真审题,可由题设给定的规律、定义及其它相关信息直接得到解题方法·例1设M是由直线Ax+By+C=0上所有点构成的集合,即M={(x,y)|Ax+By+C=0},在点集M上定义运算:对任意(x1,y1)∈M,(x2,y2)∈M,则(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2·(1)对M是直线2x-y+3=0上所有点的集合,计算(1,5)(-2…