关于公式1/n（n＋1）=1/n-1/n＋1（n∈N^＊）的推广及应用

我们由1/1＊2=1/1-1/2,1/2＊3=1/2-1/3,1/3＊4=1/3-1/4,……容易发现规律得出公式：1/n（n＋1）=1/n-1/n＋1（n∈N）     

n个正整数的和与积相等条件下的有趣结论

本文讨论了n个正整数的和与积相等的一个必要条件,并证明了两个与素数、合数有关的结论. 结论1:若n(n≥2)个正整数a1,a2,…,an满足条件n∑i=1ai=n∏i=1ai,则ai≤n(i=1,2,…,n). 证明:(1)当n=2时,a1·a2-(a1+a2)=(a1-1)·(a2-1)-1≥0,当且仅当a1=a2=2时等号成立,故a1·a2=(a1+a2)时a1≤2,a2≤2,符合结论1. (2)当n≥3时,设a1≤a2≤…≤an.令a1=a2=…=an-2=1,an-1=2,an=n,则n∑i=1ai=n∏i=1ai=2n.此时ai≤n(i=1,2,…,n). 又设存在n(n≥2)个正整数b1,b2,…,bn满足条件1≤b1≤b2≤…≤bn-1≤bn,bn＞n,且n∑i=1bi=n∏i=1bi.不妨令bi=1+ti(i=1,2,…,n-1,ti∈N),bn=n+tn(n∈N+).     

不等式nn+1＞(n+1)n的若干证明方法

苏教版选修2-2第99页复习题14：“试比较n^n＋1与（n＋1）^n的大小,分别取n=1,2,3,4,5加以试验．根据试验结果猜到一个一般性结论,并用数学归纳法证明．”     

不等式multiply from i=1 to n X_i-sum from i=1 to n X_i>2~n-2n及其简单运用

本文介绍不等式∏≥2~n-2n,并且说明它的一些简单运用。定理设整数 x_1≥2,i=1,2,…,n,那么∏≥2~n-2n.i=1 i=1证明不失一般性,令 x_1≥x_2≥…≥x_n.对 n 用数学归纳法。当 n=2时,x_1·x_2-(x_1+x_2)=x_1(x_2-1)     

用待定系数法求n维球的体积

n维球x12 +x2 2 +… +xn2 ≤a2 的体积一般都是用递推公式或坐标变换的方法求得 ,下面利用待定系数法给出一种简单的解法 ,供大家参考。设Vn=crn其中c为常数 ,Vn 表示半径为r的n维球体体积。r2 =x12 +x2 2 +… +xn2则　dVn=ncrn -1dr=dx1·dx2 …dxn两边同乘以e-r2 并在整个空间积分得nc +∞0 rn -1e-r2 dr= +∞-∞ +∞-∞ … +∞-∞e-(x12 +x22 +… +xn2 dx1dx2 …dxn=( +∞-∞e-x12 dx1) n又∵　 +∞-∞e-x12 dx1=π　∴　nc +∞0 rn -1e-r2 dr=πn2设t=r2 　则　dt=2rdr∴　nc +∞0 rn -1e-r2 dr=n2 c +∞0 t( n2 -1) e-tdt由Γ函数定…     

等差数列通项公式和前n项和公式的变形及应用

众所周知,等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d可变形写成:an=dn+(a1-d),这个式子的几何意义是点列An(n,an)(n∈N+)在直线y=dx+(a1-d)上.同样,等差数列{an}的前n项和公式sn=na1+n(n2-1)d可变形为:snn=a1+n-12d=2dn+(a1-2d),它也可看成是点列An(n,snn)在直线y=2dx+(a1-2d)上.于是得到以下两个结论:结论1等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d,则点(1,a1),(2,a2),(3,a3),…,(n,an)…共线.结论2等差数列{an}的前n项和sn=na1+n(n2-1)d,{sn}为等差数列的前n项和组成的数列,则点(1,s11),(2,s22),(3,s33),…,(n,snn)…共线.例1已知等差数列{an},a4=…     

交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数

交错级数1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+(-1)(n-1)/n=ln2=1/n+1+…+1/2n-1,这一科学成果是依据调和级数的数频理论得出的,它揭示了交错级数与调和级数的一种联系.这一数频理论的原理是等式或等价,有别于经典的近似理论.它是数学发展的未来趋势.     

正n棱台中一个三元关系式

定理　设正ｎ棱台的高、斜高、侧棱长分别为ｈ、ｈ1和ｌ,则　　　　 ｈ21-ｈ2ｌ2 -ｈ2 =ｃｏｓ2 πｎ .①证明 :　如图是从正ｎ棱台上截下的一部分 ,各元素已经标在图上 ,则有ＯＡ =ａｓｉｎ πｎ,Ｏ1Ｂ =ｂｓｉｎ πｎ,ＯＣ =ａｔｇ πｎ,Ｏ1Ｄ =ｂｔｇ πｎ在直角梯形ＯＯ1Ｂ     

等差数列前n项和Sn的一个性质与应用

在等差数列这一单元中,如果不能灵活恰当地运用等差数列的性质解决有关问题,常常会导致小题大做.相反,若能充分利用性质解决相关问题,则能“大题小做”,达到事半功倍之效. 下面就介绍等差数列前n项和nS的一个好用的性质:设数列{}na是等差数列,nS是其前n项和,则mnmnSSSmnmn -=- ,其中m、nN. 证明一 由{}na是等差数列,则nS=()112nnnad- 22122ddnanAnBn骣= -= 琪桫 (其中2dA=,12dBa=-),则2mSAmBm= , 从而 22mnSSAmBmAnBnmnmn- --=-- ()()22AmnBmnmn- -=- ()()()AmnmnBmnmn- -=- ()AmnB= , 又 ()()2mnAmnBmnSmnmn = ()Amn…     

妙用ωn的周期性解题

在复数范围内，方程x3=1有三个根1、ω、ω，其中，ω=-1/2＋3/2i，ω是ω的共轭复数．     

巧用lim from(n→∞)(a_(n+1))=lim from (n→∞)a_n解题

我们知道 ,由数列极限定义知 :当limn→∞an存在时 ,limn→∞an+1 =limn→∞an.那么这个结论在解题中有什么应用呢 ?例 1　已知limn→∞an 存在 ,且limn→∞2anan+1 + 1 =1 ,求limn→∞an 的值 .分析　设limn→∞an =A .∵　limn→∞2anan+1 + 1 =1 ,∴　2limn→∞anlimn→∞an+1 + 1 =1 ,∵　　limn→∞an+1 =limn→∞an =A ,∴ 2AA + 1 =1 ,解之得A =1 ,即limn→∞an =1 .例 2　数列 xn 满足x1 =a>0 ,xn+1 =12 xn+ axn,若数列 xn 的极限存在且大于0 ,求limn→∞xn 的值 .分析　依题意 ,设limn→∞xn =A >0 ,则limn→∞ xn+1 =limn→∞x…     

构造函数证明恒等式h(n)=g(n)

与自然数ｎ有关的恒等式ｈ(ｎ) =ｇ(ｎ)的论证通常采用数学归纳法 .但若构造函数ｆ(ｎ) =ｈ(ｎ) -ｇ(ｎ) ,再通过求ｆ(ｎ 1 ) -ｆ(ｎ)的差而获得ｆ(ｎ 1 ) =ｆ(ｎ) =ｆ(1 ) =0 ,就能得到另一种比较好的证明方法 .例 1　已知数列 {ａｎ}的通项公式满足 :ａ1 =ｂ ,ａｎ 1 =ｃａｎ ｄ .　 (ｃ≠ 0 ,ｃ≠ 1 )求证 :这个数列的通项公式是ａｎ =ｂｃｎ (ｄ-ｂ)ｃｎ- 1 -ｄｃ-1 .证明 :构造函数ｆ(ｎ) =ｂｃｎ (ｄ -ｂ)ｃｎ- 1 -ｄｃ-1 -ａｎ,则ｆ(ｎ 1 ) =ｂｃｎ 1 (ｄ-ｂ)ｃｎ -ｄｃ -1 -ａｎ 1 .∵ａｎ 1 =ｃａｎ ｄ ,∴ｆ(ｎ 1 ) …     

n倍角公式及其应用

应用De。。艺v:。公式和二项式定理,可推得n倍角公式:。inos=C盖eos”一’ooino一C勇eos”一’0·5 in“0 C之eos”一seoin“0-·…,(1) 2eosoo=C二eos”0一C,eos”一“osin’o C二eos”一‘ooin‘0-…,(2)例1.求eosls。、tg18“的值.解8=18“,etg50=etg90“=0由“’、‘2’,·     

a=-(4n)/d~2,你发现了吗?(初三)

结论若二次函数图象顶点坐标为(m,n),与x轴的两个交点间的距离是d,则可设解析式为y=a(x-m)2+n,其中a=-4n/d2.     

关于级数∞∑n=2[1-α/π(n)]n的敛散性

本文借助对数判别法,素数定理及函数π(x)的一个不等式完全解决了级数∑n=2[1-α/π(n)]n的敛散性.     

公式S=(n(n-1))/2的用法

初学几何的同学都学过了公式S=n(n-1)2,下面我们就其在《几何》第一章中的用法加以说明.一、确定线段条数例1　图1中有几条线段?解:由公式S=n(n-1)2(n代表点数,n≥2)知:n=4时,S=4(4-1)2=6.所以图1中有6条线段.图1二、确定连线条数例2　有四个点,每三个点都不在一条直线上,则过其中任意两个点画直线,可以画几条?解:由公式S=n(n-1)2(n代表点数,n≥2)知:n=4时,S=4(4-1)2=6.所以任过两点作直线,可以作6条.三、确定角的个数例3　如图2所示,图中有几个角?解:由公式S=n(n-1)2　　(n代表边的条数,n≥2)知:图2n=4时,S=4(4-1)2=6.故图2中有6个角.四…     

λK_(n,n)的P_(2k+1)-因子分解

给出了当d=gcd(λ,4k)≠1时,平衡完全二部多重图λKn,n存在P2k+1-因子分解的充分必要条件为n=0(mod 4k(2k+1)/d)。     

等差数列前n项和的最值

公差ｄ≠ 0的等差数列 ａｎ ,它的前ｎ项和Ｓｎ 是关于ｎ的二次函数 :Ｓｎ =ｎａ1 +ｎ(ｎ- 1)2 ｄ =ｄ2 ｎ2 +ａ1 - ｄ2 ｎ .所以 ,当ｄ >0 ,Ｓｎ 有最小值 ;当ｄ <0 ,Ｓｎ有最大值 .由于函数Ｓｎ 与一般二次函数ｆ(ｘ) =12 ｄｘ2+ａ1 - ｄ2 ｘ(ｘ∈Ｒ)的定义域不同 ,因此在求最值的方法上又有其特殊性 .下面就这类问题探讨几种思考途径 .一、研究通项的符号 ,求Ｓｎ 的最值例 1　一个首项为正数的等差数列ａｎ ,前 3项之和与前 11项之和相等 ,则前几项和最大 ?解　由Ｓ3=Ｓ1 1 ,得ａ4 +ａ5+… +ａ1 0 +ａ1 1 =0 ,∵　ａ4 +ａ1 1 =ａ5+ａ1 0…     

等差数列的前n项立方和公式

命题 若等差数列{a_n}的公差为d,则其前n项的立方和为: a_1~3 a_2~3… a_n~3= 证明 ∵(a_1~2 da_1)~2-(a_1~2-da_1)~2=     

级数∞∑i=1(-1)n+1 1/n的重排

级数∞∑i=1（-1）^n＋1 1/n收敛于1n2，再由公式Hn=1nn＋C=εn，得出该级数按一定规律重排后的级数的收敛值。