2003高考(新教材)(19)简洁解法

题　设ａ>0 ,求函数ｆ(ｘ) =ｘ-ｌｎ(ｘ +ａ) (ｘ∈ ( 0 ,+∞ ) )的单调区间 .解　 ｆ′(ｘ) =12ｘ- 1ｘ +ａ =ｘ- 2 ｘ+ａ2ｘ(ｘ+ａ) ,因为ａ>0 ,ｘ >0 ,所以 2 ｘ >0 ,ｘ +ａ >0 .所以ｆ′(ｘ)与ｘ - 2 ｘ+ａ同号 ,令ｔ =ｘ ,则ｘ- 2 ｘ+ａ =(ｔ- 1) 2 + (ａ - 1)(ⅰ )当ａ >1时 ,ｆ′(ｘ) >0 ,所以 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )单调递增 ;(ⅱ )当ａ =1时 ,ｆ′(ｘ)≥ 0 ,且只在ｘ =1处ｆ′(ｘ) =0 ,所以 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )单调递增 ;(ⅲ )当 0 <ａ <1时 ,令 (ｔ- 1) 2 + (ａ - 1) =0得ｔ =1± 1-ａ ,此时ｘ =ｔ2 =2 -ａ± 2 1-ａ ,显然当ｔ∈ (…     

巧解一道全国联赛试题

众所周知 ,若ａ≥ｂ且ａ≤ｂ ,则ａ=ｂ .利用这一结论常能解决一些数学问题 .下面是一道 2 0 0 2年全国联赛试题 :已知 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数 ,ｆ( 1 ) =1 ,且对任意ｘ∈Ｒ都有ｆ(ｘ+ 5 )≥ ｆ(ｘ) + 5 ,ｆ(ｘ+ 1 )≤ ｆ(ｘ) + 1 .若 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 1 -ｘ ,则ｇ( 2 0 0 2 ) =.解　由 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 1 -ｘ ,得ｇ(ｘ+ 5 ) =ｆ(ｘ + 5 ) + 1 -ｘ-5=ｆ(ｘ + 5 ) -ｘ-4≥ ｆ(ｘ) + 5 -ｘ -4=ｆ(ｘ) + 1 -ｘ =ｇ(ｘ) ,ｇ(ｘ + 1 ) =ｆ(ｘ+ 1 ) + 1 -ｘ -1=ｆ(ｘ+ 1 ) -ｘ≤ｆ(ｘ) + 1 -ｘ =ｇ(ｘ) .∴ｇ(ｘ) ≤ｇ(ｘ+ 5 )≤ ｇ(ｘ + 4)…     

一类函数的单调性及应用

在对数教学中时常遇到下列问题 :(1 )比较ｌｏｇ4 5与ｌｏｇ56的大小。(2 )比较ｌｏｇｎ(ｎ 1 )与ｌｏｇｎ 1(ｎ 2 )的大小。(3 )已知ａ >2 ,求证 :ｌｏｇａ - 1ａ >ｌｏｇａ(ａ 1 )。(4 )已知 0 <ａ <ｂ <1 ,试比较ｌｏｇａ(ａ 1 )与ｌｏｇｂ(ｂ 1 )的大小。我们可以通过不等式的缩放解决 ,但能否对上述问题统一处理呢 ?经过分析我们只需讨论函数ｆ(ｘ)=ｌｏｇｘ(ｘ ａ)或 ｆ(ｘ) =ｌｏｇｘ ａｘ(ｘ≠ 1 ,ａ >0 )的单调性即可。本文给出这类函数单调性的一个结论。定理 (Ⅰ )　当ａ≥ 1时 ,函数 ｆ(ｘ) =ｌｏｇｘ(ｘ ａ)在区间 (0…     

2001年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试题(理)

一、填空题 (本大题满分 4 8分 )1 设函数 ｆ(ｘ) =2 -ｘ,ｌｏｇ81ｘ ,　 ｘ∈ ( -∞ ,1 ]ｘ∈ ( 1 , ∞ ) 则满足 ｆ(ｘ) =14 的ｘ值为　　　　 .2 设数列 {ａｎ}的通项为ａｎ=2ｎ -7(ｎ∈Ｎ) ,则|ａ1| |ａ2 | … |ａ15| =　　　　 .3 设Ｐ为双曲线ｘ24 -ｙ2 =1上一动点 ,Ｏ为坐标原点 ,Ｍ为线段ＯＰ的中点 ,则点Ｍ的轨迹方程是　　　 .4 设集合Ａ ={ｘ| 2ｌｇｘ =ｌｇ( 8ｘ -1 5 ) ,ｘ∈Ｒ} ,Ｂ={ｘ|ｃｏｓ ｘ2 >0 ,ｘ∈Ｒ} ,则Ａ∩Ｂ的元素个数为　　　　个 .5 抛物线ｘ2 -4 ｙ -3=0的焦点坐标为　　　 .6 设数列 {ａｎ}是公比…     

一类函数问题的简解

1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛 ,高二第一试的选择题第 1 0题 ,让人颇费脑筋 ,原题是这样的 :题目 :设ｆ(ｘ) =ｘ3 -3ｘ2 6ｘ -6,且ｆ(ａ) =1 ,ｆ(ｂ) =-5 ,则ａ ｂ =(　　 ) .Ａ .-2　　Ｂ .0　　Ｃ .1　　Ｄ .2与之类似的有以下两个题 :1 设 ｆ(ｘ) =ｘ3 ｘ 1 ,且 ｆ(ａ) =-2 ,ｆ(ｂ) =4,则ａ ｂ =(　　 ) .Ａ .-2　　Ｂ .0　　Ｃ .1　　Ｄ .22 设 ｆ(ｘ) =ｘ3 -6ｘ2 1 2ｘ -7,且 ｆ(ａ ｂ) =9,ｆ(ａ -ｂ) =-7,则ａ =(　 )Ａ .-2　　Ｂ .0　　Ｃ .1　　Ｄ .2以上题目都是关于ｘ的三次函数 ,初看起来 ,上面的题好像容易解…     

用函数方法巧证不等式

用函数方法证明不等式 ,常常能够方便地给出证明 .用函数方法证明不等式的关键是结合不等式的结构特征构造适当的函数 ,以便于利用这一函数的有关性质证明所给的不等式 .例 1　若ａ >ｂ>0 ,ｍ >0 .求证 :ａｂ >ａ +ｍｂ+ｍ.证明　令 ｆ(ｘ) =ａ+ｘｂ +ｘ.由ａ>ｂ可设ａ =ｂ+ｃ(ｃ >0 ) ,则ｆ(ｘ) =ｂ+ｘ +ｃｂ +ｘ =1+ｃｂ +ｘ.当ｘ∈ (0 ,+∞ )时 ,ｆ(ｘ)为减函数 .∵　ｍ >0 ,∴　ｆ(ｍ) <ｆ(0 ) .即 ａｂ >ａ+ｍｂ+ｍ.注　用函数方法证明不等式 ,往往要利用所构造函数的单调性 .例 2　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ .证明 :ａ2 +ａｃ+ｃ2 +3ｂ(ａ+ｂ+…     

“211杯”函数知识竞赛

一、选择题 :1.已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｍｘ +4 +2ｍ的定义域是Ｒ ,值域是 [1,+∞ ) ,则实数ｍ的集合为 (　　 ) .Ａ .{ｍ|- 1≤ｍ≤ 3}　　Ｂ .{ｍ|1- 5<ｍ <5}Ｃ .{- 1,3}　　Ｄ .{ｍ|ｍ <1或ｍ >3}2 .要使函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +(ａ - 6 )ｘ +2对一切正整数ｘ都取正值 ,其充要条件是 (　　 ) .Ａ .ａ =3　　Ｂ .2 <ａ <18　　Ｃ .ａ >2　　Ｄ .以上都不对3.对每一对实数ｘ ,ｙ,函数 ｆ(ｘ)满足 ｆ(ｘ +ｙ) - ｆ(ｘ) -ｆ( ｙ) =ｘｙ +1,且ｆ( 1) =1,那么满足ｆ(ｎ) =ｎ(ｎ≠ 1)的整数ｎ的个数共有 (　　 )个 .Ａ .0　　Ｂ .1　　Ｃ .2　　…     

不等式中“恒成立”问题的几种处理方法

在不等式问题中常常涉及有关“恒成立”的问题 .解决这类问题需要一定的技巧 .本文通过一些例子说明不等式中有关“恒成立”问题的几种处理方法 .1 借助不等式的有关知识许多不等式或不等关系本身就有“恒成立”的含义 .如ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ ,｜ｓｉｎｘ｜≤ 1等 .利用这些知识就可以达到解题目的 .例 1　已知ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ) (ａ >0且ａ≠ 1 ) ,当ｘ∈ (0 , ∞ )时 ,ｆ(ｘ) <0恒成立 .试讨论函数在 (0 ,∞ )上的单调性 .解 :∵ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ)=ｌｏｇａ(ｘ 2 ) 2ｘ2 4…     

欢迎您—2003

一年一度的佳节———元旦 ,就要来临了 ,为了欢度节日 ,特为数学爱好者 ,提供一组结果均为 2 0 0 3的函数趣题以资助乐 .1　设对于函数 :ｆ(ｘ) =ｘ +3ｘ - 2 ,ｇ(ｘ) =ａｘ +ｂｘ +ｃ ,且有 ｆ[ｇ(ｘ) ] =2 0 0 6ｘ +42 0 0 1ｘ - 1,试求ａ、ｂ、ｃ之值 .解　由题目条件得 :ｆ[ｇ(ｘ) ] =ｇ(ｘ) +3ｇ(ｘ) - 2=ａｘ +ｂｘ +ｃ +3ａｘ +ｂｘ +ｃ - 2=(ａ +3)ｘ +(ｂ +3ｃ)(ａ - 2 )ｘ +(ｂ - 2ｃ) .由题设知(ａ +3)ｘ +(ｂ +3ｃ)(ａ - 2 )ｘ +(ｂ - 2ｃ) =2 0 0 6ｘ +42 0 0 1ｘ - 1,整理得 :( 5ａ - 10 0 15)ｘ2 +( 5ａ +5ｂ - 10 0 15ｃ- …     

不求反函数巧解题

在涉及反函数的一些问题中 ,有时不求反函数 ,反而可以更准确更快捷地解题 .一、求值例 1　若ｆ(ｘ) =3ｘ-4 ,则ｆ- 1 ( 2 ) =.解　设ｆ- 1 ( 2 ) =ａ ,则ｆ(ａ) =2 ,即3ａ-4 =2 ,ａ=2 ,∴ｆ- 1 ( 2 ) =2 .例 2　已知ｆ(ｘ) =ｘ2 (ｘ≥ 1) ,又ｆ- 1 (ｍ)= 4,则ｍ =.分析　∵ｆ- 1 (ｍ) =4,∴ｆ( 4 ) =ｍ ,∴ｍ =42 =16.例 3　若ｆ(ｘ) =3ｘ2 +2 (ｘ ≥ 0 ) ,则ｆ- 1 [ｆ( 2 ) ] = .分析　应用结论 :若函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ ,ｙ∈Ｃ)存在反函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ) ,则ｆ[ｆ- 1 (ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ｃ) ,ｆ- 1 [ｆ(ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ａ) .由上易知ｆ- 1 …     

解析几何的两类对称问题

一、关于点的对称问题1 点关于点的对称点点关于点的对称是最基本的中心对称问题 ,可通过中点公式解决 .一般地 ,设点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )关于点Ｍ(ａ ,ｂ)对称的对称点为Ｑ(ｘ0 ′,ｙ0 ′) .则ａ =ｘ0 +ｘ0 ′2 ,ｂ=ｙ0 +ｙ0 ′2 ,或 ｘ0 ′=2ａ -ｘ0 ,ｙ0 ′=2ｂ -ｙ0 .2 曲线 (包括直线 )关于点的对称曲线曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于点Ｍ (ａ ,ｂ)的对称曲线为 ｆ( 2ａ -ｘ ,2ｂ -ｙ) =0 .证明　设点Ｑ(ｘ ,ｙ)是曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于点Ｍ (ａ ,ｂ)的对称曲线上的任一点 ,则Ｑ关于点Ｍ(ａ ,ｂ)的对称点Ｐ(ｘ′ ,ｙ′)应在曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0上 …     

巧用倒数法解题

所谓倒数法 ,是指将已知或求值的式子取倒数 .用这种方法常可巧解一些含已知条件的代数式求值问题 .请看如下两题 .例 1　已知ｘ + 1ｘ =3.求代数式ｘ2ｘ4 +ｘ2 + 1 的值 .解 :∵ｘ + 1ｘ=3,∴ｘ + 1ｘ2 =9.整理得ｘ2 + 1ｘ2 =7.∴ｘ4 +ｘ2 + 1ｘ2 (将求值的式子取倒数 )=ｘ2 + 1ｘ2 + 1 =8.即　 ｘ2ｘ4 +ｘ2 + 1 =18.例 2　设 ｘｘ2 +ｘ + 1 =ａ ,其中ａ≠ 0 .则ｘ2ｘ4 +ｘ2 + 1 =.解 :∵ ｘｘ2 +ｘ + 1 =ａ ,且ａ≠ 0 ,∴ｘ2 +ｘ + 1ｘ =1ａ(将已知式子取倒数 ) .∴ｘ + 1ｘ=1ａ- 1 .故ｘ4 +ｘ2 + 1ｘ2 (将求值的式子取倒数 )=ｘ2 + 1 + 1…     

点击一元三次函数

近几年来 ,在高考和各级各类的模拟试题之中 .也常常出现一些有关一元三次函数的内容 .以一元三次函数为载体设计的这类情境新颖的试题 ,可考查学生在新情景中吸收信息、处理信息的能力和综合运用数学知识分析、解决问题的能力 .一、以三次函数为蓝本 ,考查数形结合例 1　已知函数 ｆ(ｘ) =ａｘ3+ｂｘ2 +ｃｘ+ｄ的图象 (如图 1 ) ,问ａ、ｂ、ｃ、ｄ中有为零的数吗 ?并确定非零数的符号 .分析　由图知ｘ1 <0 ,ｘ2 <0 ,ｘ3>0 ,ｘ1+ｘ3<0 ,ｘ2 +ｘ3>0 ,ｆ( 0 ) =ｄ <0 .设 ｆ(ｘ) =ａ(ｘ -ｘ1 ) (ｘ-ｘ2 ) (ｘ-ｘ3) .由 ｆ( 0 ) =-ａｘ1 ｘ2 ｘ…     

函数思想的应用

函数思想是数学中的重要思想 ,用运动、变化的观点分析、处理变量和变量之间的关系是函数思想的精髓 .在解题中如能运用函数思想合理选择函数关系式 ,就能使解题思路自然流畅 .例 1　关于ｘ的方程 9ｘ+( 4 +ａ) 3 ｘ+4 =0有实数解 ,求实数ａ的取值范围 .解　方程等价变形为4+ａ =-3 ｘ+43 ｘ .令ｆ(ｘ) =-3 ｘ+43 ｘ ,则ｆ(ｘ) ≤ -4 .∴ 4+ａ≤-4 ,ａ≤-8.ａ的取值范围为 ( -∞ ,-8] .例 2　关于ｘ的方程 9ｘ+( 4 +ａ) 3 ｘ+4 =0有两个实数解 ,求实数ａ的取值范围 .解　令ｔ =3 ｘ,则问题等价于方程ｔ2 +( 4 +ａ)ｔ+4 =0在 ( 0 ,+∞ )上有…     

函数f(x)=x~4 x~3 x~2 x 1的最小值

有的文献证明了对任何ｘ∈Ｒ,ｆ(ｘ)>0.本文获得定理　设ｘ∈Ｒ,则ｆ(ｘ)=ｘ4 ｘ2 ｘ 1在ｘ=ｘ0=-14 3-564 56144 3-564-56144=-060582958…处,取得最小值ｆ(ｘ0)=516[(ｘ0 1)2 2]=067355322…此定理可用微分法证明,同时得知ｘ0是方程ｆ’(ｘ)=0的惟一实根.下面用不等式(Ａ2 Ｂ2)(1 ａ2)≥(Ａ ａＢ)2(=|ａＡ=Ｂ)来证明.对ｆ(ｘ)进行”双配方”,应用该不等式,有ｆ(ｘ)=(ｘ2 12ｘ)2 34(ｘ 23)2 23=(ｘ2 12ｘ)2 (32ｘ 33)2 23≥11 ａ2[ｘ2 (12 32ａ)ｘ 33ａ]2 23.设3ａ=ｂ,13<ｂ<3,则ｘ2 (12 ｂ2)ｘ ｂ3≥14[4ｂ3-(12 ｂ2)2]=(3ｂ-1)(3-ｂ)48>0…     

2002年安徽省高中数学竞赛

一、选择题 (每小题 6分 ,满分 36分 )1.已知集合Ｐ ={ｘ|ｘ2 =1}和Ｑ ={ｘ|ｍｘ =1} .若Ｑ Ｐ ,则实数ｍ可取值的个数为 (　　 ) .(Ａ) 0　　 (Ｂ) 1　　 (Ｃ) 2　　 (Ｄ) 32 .若ａ、ｂ是任意实数 ,且ａ >ｂ ,则下列不等式一定成立的是 (　　 ) .(Ａ)ａ2 >ｂ2 (Ｂ) ｂａ <1(Ｃ)ｌｇ(ａ -ｂ) >0 (Ｄ) 12ａ<12ｂ3.如果圆ｘ2 +ｙ2 =ｋ2 至少覆盖函数ｆ(ｘ)= 3ｓｉｎπｘｋ 的一个最大值点和一个最小值点 ,则ｋ的取值范围是 (　　 ) .(Ａ) |ｋ|≥ 3(Ｂ) |ｋ|≥ 2(Ｃ) |ｋ|≥ 1(Ｄ) 1≤ |ｋ|≤ 24 .已知ＯＰ =(2 ,1) ,ＯＡ =(1,7) ,ＯＢ =(5 ,1)…     

例说向量的广泛应用

高考命题中对知识综合性的考查 ,往往在知识网络交汇点上设计试题 ,而向量则是三角函数、解析几何等多学科知识的交汇点 ,因此也是新高考的命题热点 .例 1　已知 (ｘ-1) 2 + (ｙ-2 ) 2 =2 5 ,求3ｘ+ 4ｙ的最值 .解　设ａ =(3 ,4) ,ｂ =(ｘ-1,ｙ -2 ) ,ａ与ｂ的夹角为θ,则3ｘ + 4ｙ =ａ·ｂ + 11=｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ+ 11=2 5ｃｏｓθ + 11.∴ 3ｘ+ 4ｙ的最大值为 3 6,最小值为-14 .例 2　已知ｘ2 + ｙ2 =4,ａ2 +ｂ2 =6,求ａｘ +ｂｙ的最值 .解　设ａ=(ｘ ,ｙ) ,ｂ=(ａ ,ｂ) ,ａ与ｂ的夹角为θ ,则ａｘ +ｂｙ =ａ·ｂ=｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ…     

高二数学期末测试题

一、选择题1 θ∈ ( 0 ,π2 ) ,直线ｘ +ｙｔａｎθ +1=0的倾斜角是 (　　 )(Ａ)θ　　 (Ｂ) π2 -θ(Ｃ) π2 +θ　　 (Ｄ)π -θ2 设点Ｐ(ａ ,3)在直线ｆ(ｘ ,ｙ) =0上的射影是θ( 1,ａ) ,则ｆ(ｘ ,ｙ)可以是 (　　 )(Ａ) 2ｘ - ｙ +3　　 (Ｂ)ｘ +2 ｙ - 3(Ｃ) 2ｘ - ｙ +7　　 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 73 直线ｌ:ａｘ +ｙ +2 =0与线段Ｐ1Ｐ2 总有交点 ,若Ｐ1( - 2 ,1) ,Ｐ2 ( 3,2 )则实数ａ的取值范围是 (　　 )(Ａ)ａ≥ 32 　　 (Ｂ)ａ≤ - 43(Ｃ)ａ≤ - 43或ａ≥ 32(Ｄ) - 32 ≤ａ≤ 434 两条直线Ａ1ｘ +Ｂ1ｙ +Ｃ1=0 ,Ａ2 ｘ +Ｂ2 ｙ+Ｃ2 =0…     

高等数学练习题1

1　函数1 1　填空题(1 )函数ｙ=ｘ2 - 4 +1｜ｘ- 1｜ 的定义域是。(2 )函数 ｆ(ｘ)的定义域为 (0 ,1 ] ,则ｆ(ｅｘ)的定义域是。(3)设 ｆ(1ｘ) =ｘ +1 +ｘ2 (ｘ >0 ) ,则 ｆ(ｘ) =。(4)若 ｙ =ｓｉｎｘ　 - 2 <ｘ <0ｘ2 +1　 0 ≤ｘ <2,则 ｙ(π2 ) =。(5)设 ｆ(ｘ) =ａｘ-ａ-ｘ2 ,则函数的图形关于对称。答案(1 ) (-∞ ,- 2 ] ∪ [2 ,+∞ )(2 ) (-∞ ,0 ](3) 1 +1 +ｘ2ｘ(4) 1 +π42(5)原点1 2　单选题(1 )函数 ｙ =ｌｎ｜ｓｉｎπｘ｜的值域是 (　　 )。　Ａ .[- 1 ,1 ]　Ｂ .[0 ,1 ]　Ｃ .(-∞ ,0 )　Ｄ .(-∞ ,0 ](2 )下列各对函数中 …     

两个广为流传的错解

例 1　已知函数 ｆ(ｘ) =1ｘ2 + (ａ - 4 )ｘ + 4 - 2ａ,若ａ∈ [- 1,1],则 ｆ(ｘ)的定义域为 (　　 ) .Ａ .( 1,3)　　Ｂ .( -∞ ,1)∪ ( 3,+∞ )　　Ｃ .( 1,2 )　　Ｄ .( -∞ ,1)∪ ( 2 ,+∞ )解 :原命题可等价转化为 :若ａ∈ [- 1,1],求ｘ的取值范围 ,使ｘ2 + (ａ - 4 )ｘ +4 - 2ａ >0恒成立 .这样不妨令函数Ｔ(ａ) =(ｘ - 2 )ａ +ｘ2 - 4ｘ + 4 .由题意可知 Ｔ( 1) >0 ,Ｔ( - 1) >0 ,即 ｘ2 - 3ｘ + 2 >0 ,ｘ2 - 5ｘ + 6 >0 .ｘ∈ ( -∞ ,1)∪ ( 3,+∞ ) ,故选Ｂ .分析 :上面错解在一些师生中广为流传 ,因此有必要予以纠正 .求含参数的…