一道“祖冲之杯”竞赛题的改进

第七届“祖冲之杯”数学邀请赛第五题是:实数a、b、c满足(a c)(a b c)<0,证明(b-c)~2>4a(a b c)。 本刊1995年第2期给出的答案如下: 设辅助二次函数:     

几道课本习题的推广及应用

新版高中数学教材第二册 (上 )有这样几道习题 .第 1 1页习题 6 .2第 1题 ,求证 :(a + b2 ) 2 ≤ a2 + b22 可以改写成 a2 + b2 ≥(a + b) 22 .第 1 6页习题 6 .3第 1 (2 )题 ,求证 :a2 + b2+ c2≥ ab+ bc+ ca可以变形为 :3 (a2 + b2 +c2 )≥ a2 + b2 + c2 + 2 (ab+ bc+ ca) ,所以 a2+ b2 + c2≥ (a + b+ c) 23 .第 3 1页第 5题 ,求证 :3 (1 + a2 + a4 )≥ (1+ a + a2 ) 2 ,则是上题的一个特例 .由此 ,我们可以推广之 ,得 :定理 :ai∈ R,i =1 ,2 ,… ,n,则当 n≥ 2时∑ni=1a2i ≥(∑ni=1ai) 2n (1 )证明 :用数学归纳法n =2时 ,a21+ a22 ≥ …     

一个推广命题的证明及应用

高中代数第二册P_(15)第11小题为:求证:(a b/2)~2≤(a~2 b~2)/2,这个结论可变形为(a~2 b~2)/2≥a b/2·a b/2,(1).P_(32)第5小题为:已知a、b、c∈R~ 且两两不相等,求证:     

试解一道国际征解题

《美国数学月刊》第99卷第7期的10238号征解题(由纽约市立大学布鲁克林学院的David M Bloom提供)是: (a)证明:存在无穷多个正整数a,使a 1和3a 1都是平方数;     

对高中教材一个传统命题及证明的商榷

文 [1]第 4 6页总复习参考题第 7题和文 [2 ]第88页复习参考题七B组第 3题是 :把函数 y =f(x)在x =a及x =b之间的一段图象近似地看作直线 ,设a c b ,证明 f(c)的近似值是f(a) +c-ab -a[f(b) - f(a) ] .文 [3]第 14 8页和文 [4 ]第 55页给出的参考解答是 :证明　设函数 y =f(x)的图象上两点A、B的坐标分别为 (a ,f(a)、(b ,f(b) ) .由两点式得直线AB的方程为y-f(a)f(b) - f(a) =x -ab -a,即 y =f(a) +x-ab -a[f(b) - f(a) ] . ( 1)在 y =f(x)的图象上任取一点P(c ,f(c) ) (c∈ [a ,b] ) ,因为 y =f(x)的图象可以近似地看作直线 ,所以将…     

三个二元无理不等式的推广与统一简证

<正>安振平先生在《数学通报》2003年第5期上提出第1435号征解题,即^[1]:设a、b>0,求证:(a/a+3b)[1]:设a、b>0,求证:(a/a+3b)^(1/2)+(b/3a+b)(1/2)+(b/3a+b)^(1/2)≥1.并在2003年第6期运用分拆法提供了一种巧妙的解法.安振平先生在《不等式探究》一书中又提出     

2006年高考英语模拟试题(三)(英文)

第I卷(共三部分满分115分)第一部分:听力部分(30分()略)第二部分:英语知识运用(共两节,满分45分)第一节:单项填空(共15小题;每小题1分,满分15分)21._____in a mountain village,Zhou has nowbecome a famous pop singer.A.It is a school teacherB.He was a school teacherC.Be     

初中数学中一点缺憾的弥补

一、从一道“祖冲之杯”竞赛题说起 第七届“祖冲之杯”数学邀请赛的第五题是: 设实数a、b、c满足(a b)(a b c)<0. 求证:(b—c)~2>4a(a b c). 《数学教师》于1995.2期上刊登此题时给出的参考答案为:设辅助二次函数     

等差数列：一道百年经典题的推广

题目1 如果一个等差数列第p、q、r项分别为a、b、c,证明: (q-r)a+(r-p)b+(p-q)c=0. (引自[英]H.S.霍尔与S.R.奈特著《大代数》上册第四章等差数列练习四b). 题目2 在等差数列中,a_p=a,a_q=b,a_r=c.求证: (q-r)a+(r-p)b+(p-q)c=0. 题目3 设正数a、b、c为等比数列的第p、q、r项,试证:(q-r)lga+(r-p)lgb+(p-     

一道课本例题的解题功能

人民教育出版社出版的高中数学第二册(上)(试验修订本·必修)第六章(不等式)第三节(不等式的证明)中有这样一个例题:已知a、b是正数,且a≠b,求证:a3 b3>a2b ab2.教科书上采用了作差变形来证明,这里不再叙述.     

对一道考题解法的多角度探讨

<正>一、题目与参考答案题目(武汉市2015届高中月考题)设函数f(x)=xln x.(1)求函数f(x)的单调区间和最小值;(2)当b>0时,求证:b^b≥1(1/e)b≥1(1/e)^(1/e);(3)若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln 2≥f(a+b)-f(b).本题第(1)问较为简单,第(2)问可借用第(1)问结论证明,第(3)问是二元不等式的证明,证法较多.下面对第(3)问的解法作一     

第42届IMO第2题简证

第 42届 IMO第 2题是 :对所有正实数 a,b,c,证明 :aa2 +8bc+bb2 +8ca+cc2 +8ab≥ 1.(1)这是一个形式优美的不等式 ,文 [1]介绍了一种基于反证法的证明 .笔者经过思考 ,给出了一种很简洁的直接证法 .证明　 (a43 +b43 +c43 ) 2 - (a43 ) 2=(b43 +c43 ) (a43 +a43 +b43 +c43 )≥ 2 b23 c23 · 4a23 b13 c13=8a23 bc,∴ (a43 +b43 +c43 ) 2 ≥ (a43 ) 2 +8a23 bc=a23 (a2 +8bc) ,∴ aa2 +8bc≥ a43a43 +b43 +c43.同理可证 :bb2 +8ac≥ b43a43 +b43 +c43,cc2 +8ab≥ c43a43 +b43 +c43,以上三式相加 ,即证得 (1)式成立 .第42届IMO第2题简证@姜…     

一道竞赛题的应用

第9届全苏数学奥林匹克竞赛试题中的一道不等式题如下: 题目证明对于非负实数a,b,。,下述不等式: a, 6, 。, 3a6。〕a,(占 。) 吞2(。 a) 。,(a 吞)成立. 此不等式是2(a, 6, 。,))a,(6 c) 6,(c a) 。,(a 6)的一种加强形式.下面给出它的简证: 证明不妨设a办b)c弃0,则有 e(a一c)(     

2001年普通高等学校招生春季考试(北京、内蒙古、安徽)试卷 数学(文史类)

本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。共巧0分。考试时间120分钟。 第I卷(选择题共60分)参考公式:三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式“eos刀二合〔91·(a 月卜·i·(a一月):合:·,·(a 月卜S*·(a一刀):合。。。S(a 。卜一(a一。):S台侧 e)lasin刀=其中。‘、c分别表示上、下底面周长,l表示料高或母线长球体的体积公式aeos月=肠 4_、=代丁~叮找- jeos(a 月)一eos(a一月)l其中尺表示球的半径侣.1一,︸asin月=一sln cos cossin34一选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符…     

用平均值代换法证一不等式

题　设实数 a,b满足 ab>0 ,证明 :3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 10 ab b212 ,并求等号成立条件 .一般地 ,证明 :对任意实数 a,b均有3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 ab b23,并求等号成立的条件 .这是《数学通讯》2 0 0 1年第 2 1期上刊登的第 14届爱尔兰数学奥林匹克第 1试第 5题 .参考解答在证这道题的后一部分时用了分类讨论法 (分 ab>0 ,ab≤ 0 ) ,这里用平均值代换法 ,可以一气呵成 .证明　设 x=a b2 ,y=a- b2 ,则 a=x y,b=x - y,不等式3 a2 b2 (a b) 24≤a2 ab b23等价于3 (x2 - y2 ) x2 ≤ 3x2 y23,等价于 2 7(x2 - y2 ) x2≤ (3x2 y2 ) 3 ,即 2…     

超强考题

来来来,这可是相当典型的“妙趣”考题,没有一定历史知识真答不上来!第一题:黄花岗起义时,开第一枪的人是谁?(a)黄兴(b)宋教仁(c)孙文(d)罗福星第二题:黄花岗起义时,开第二枪的人是谁?(a)黄兴(b)宋教仁(c)孙文(d)罗福星第三题:黄花岗起义时,开第三枪的人是谁?(a)黄兴(b)宋教仁(c)孙文(d)罗福星这三题的答案都是(a),因为美钟出版社的教材里有一句话:“黄兴朝向空中鸣了三枪,揭开了黄花岗起义的序幕!”超强考题     

2007高考英语模拟试题

本试卷分为第I卷(选择题)和第11卷(非选择题)两部分。共150分，考试时间120分钟。第I卷《三部分.共115分)第一部分:略第二部分:英语知识运用(共两节，满分45分)第一节:单项填空(共巧小题;每小题1分，满分15分) 21.Companies in Zhong多laneun all have their own eharacteristies，but they all share_sPirirof ereativity and seientilie sk沮that have made Zhongguan- CUn SUCCeSS- A.the:a B.不填;a C.the;不填D.a:a 22.一You didn，t lock the back door.一Youare~ngl_. A .have locked jt B .lock it myself C .did lock it…     

第2006个数是多少

问题:按规律排列的一串数:2,5,9,14,20,27……求这串数的第2006个数是多少?这是一道求数列(一串数)中某项(某个数)的巧算题。其特点是已知它的前6项a1、a2、a3、a4、a5、a6,要求第2006项a2006等于多少。解题的关键是先找出第n项an与序数n的数量关系,并熟悉等差数列求和公式。公式:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2可以这样思考,先把前6项从第二题起拆开写成和:a1=2,a2=5=2+3,a3=9=2+3+4,a4=14=2+3+4+5,a5=20=2+3+4+5+6,a6=27=2+3+4+5+6+7。于是找到规律。规律:数列第n项an等于n个连续自然数的和。其中第一个数(首项)是2,最末一个数(末项)…     

由一道习题引起的思考

九义教材六年制小学数学课本(人教版)第九册P_(104)第13题:“某农具厂原计划每月生产农具400件。实际9个月的产量就超过全年计划a件。这9个月实际生产农具多少件?”有些学生在解答此题时,错误地列式为:400 a;400(?) 9a或(400 a)·9。其原因是没有认真     

课本中两道不等式的研讨

高中代数课本下册第16页习题第18题中第(1)题为:“求证:(x~2 2)/(x~2 1)~(1/2)≥2”。此题证明方法较多,但常见的证明是运用基本不等式“a 1/a≥2,其中a>0,此式当且仅当a=1/a,亦即a=1时取等号”来证明,把不等式左边写成:(x~2 2)/(x~2 1)~(1/2)=(x~2 1)~(1/2) 1/(x~2 1)~(1/2)≥2,当(x~2 1)~(1/2)=1/(x~2 1)~(1/2)时,即x=0时等式成立,此处用