一个轨迹问题的引申

引例：若动点P到点F（1,0）的距离比到直线l：x=-2的距离小1,求点P的轨迹. 这是我们耳熟能详的一个问题.它主要考查抛物线的定义,依题意,点P到点F的距离与到直线n：x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以点F（1,0）为焦点,直线n：x=-1为准线的抛物线,易求得点P的轨迹方程为y~2=4x.下面,笔者对该问题作如下几点引申,以供大家教学参考.     

基础知识巩固题精选

一、选择题1.已知F是抛物线y=1/4x²的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF的中点的轨迹方程是（）。A.x²=y-1/2 B.x²=2y-1/16C.x²=2y-1 D.x²=2y-22.已知点A（3,10/3）和抛物线y²=2x上一点P,若点P到抛物线的准线l的距离为d,则当|PA|+d取得最小值时,点P的坐标为（）。A.（0,0）B.(1,2^1/2)C.（2,2）D.（1/2,1）3.若椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）和圆x²+y²=（b/2+c）²。（其中c=（?））有四个公共点,则椭圆     

求直线方程的几个误区

误区1忽略直线斜率不存在的情况 例1直线l经过点P（-2,1）,且点A（-1,-2）到l的距离等于1,求直线l的方程．     

抛物线题的不同证法与变式

例题如图1所示,设抛物线y^2=2px（p〉0）的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O．     

一道高考题的十种解法

（2009年江苏卷）在平面直角坐标系x0y中,抛物线C的顶点在原点,经过点A（2,2）,其焦点F在x轴上． （1）求抛物线C的标准方程; （2）求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;     

点击高考中的抛物线

抛物线与椭圆、双曲线一样是三大圆锥曲线之一,在高考中占有重要的地位,考查的内容有抛物线的定义、标准方程和几何性质等.下面以2012年高考题为例加以说明. 一、考查抛物线的定义 例1已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于(). A.2√2 B.2√3 C.4 D.2√5 分析:利用抛物线的定义,到焦点的距离可以转化为到准线的距离,于是可求出点M的坐标,再运用距离公式即可.     

如何解圆锥曲线综合问题

圆锥曲线的定义的应用、方程及性质是高中解几的重点,也是难点.如何解圆锥曲线的综合问题呢?除了注重利用基本知识、基本概念外,还应注意以下四个方面: 1 灵活应用定义(几何意义)及图形解决问题 圆锥曲线定义是解决问题的出发点,涉及到抛物线的焦半径、焦点弦问题可以优先考虑利用抛物线定义转化为点到准线的距离,这样可以使问题简单化. 例1若(3,2)A,F为抛物线22yx=的焦点,P为抛物线上的任意点,求||||PFPA 的最小值及取最小值时的坐标. 解 抛物线2y= 2x的焦点(1/2,0)F, 准线为1/2x=-.如图, 设P到准线的距离为 ||PH,则||||PHPF=, 因此…     

用发散思维分析焦点弦

例1已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点P（M,4）到其准线的距离等于5。过焦点弦与抛物线G的交点A、B分别作抛物线G的切线l_1,l_2,且l_1,l_2交于点M,试证点M必在一条定直线上,并求出该定直线。     

与抛物线定义相关的最值问题

<正>与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等.通过抛物线的定义,可以实现由抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离,即点与点到点与线的相互转化.因此,利用抛物线的定义,可以解决两类常见问题:一类是将抛物线上的点到准线的距离利用定义转化为该点到焦点的距离,构造出"两点之间线段最短",使问题得解;另一类是将抛物线上的点到焦点的距离利用定义转化为到准线的距离,利用"与直线上所有     

对圆锥曲线极坐标方程的认识

椭圆、双凹线、抛物线可以统一定义为：与一个定点（焦点）和一条直线（准线）的距离之比等于常数（离心率）的点的轨迹．它们的区别仅在于离心率的不同,所以这三种曲线的方程在直角坐标系下很难统一．但若以焦点为极点,过焦点作准线的垂线,垂足与焦点连线的延长线为极轴建立极坐标系,     

一道课本习题的探究与推广

题目 设抛物线y^2=2px（p〉0）的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明：直线AC经过原点O．     

2019年北京卷理科第18题别解与推广

<正>试题已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M、N,直线y=-1分别交直线OM、ON于点A、B,求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.这是2019年北京卷理科第18题,我们首先给出试题的一种新解法.解答 (Ⅰ) 由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),则4=2p,所以抛物线C的方程为x2=-4y     

盘点抛物线的焦点弦问题

设直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A、B两点(直线AB的倾斜角为α),设A (x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,准线方程为:x=-p/2,则关于抛物线C的焦点弦有以下九条常用的性质:(1)2x1x2=p/4;(2)y1y2=-p2.     

圆锥曲线方程

课时一　椭圆的标准方程及几何性质 基础篇 诊断练习一、填空题1.椭圆 4 x2 + 2 y2 =1的焦点坐标为 ,准线方程为 ,离心率为 .2 .椭圆 x29+ y24 =1上任意一点 P到两焦点 F1,F2 的距离之和为 ,三角形 F1PF2 的周长为.3.椭圆 x22 5+ y216 =1上一点 P到右焦点 F的距离是长轴两端点到右焦点 F的距离的等差中项 ,则点 P的坐标为 .4 .椭圆 x24 + y23=1与两对称轴的交点分别为 A ,B,C,D ,则四边形 ABCD的内切圆的面积为 .二、选择题1.设焦距为 2 c =6 ,焦点在 x轴上的椭圆经过点Q( 0 ,- 4) ,则该椭圆的标准方程为 (　　 )( A) x210 0 + y23…     

寻找解析几何解题的突破口

一、从圆锥曲线的定义中寻找例1已知圆的方程为x2+y2=4,两个定点分别为A(-1,0),B(1,0),动抛物线过A、B两点且以圆的切线为准线,求抛物线的焦点的轨迹方程.寻找突破口求轨迹方程的常用方法有直接     

推理类比 探究拓展——对一道课本例题的推广

高中课标教材(人教A版选修2-1)P69例4是一道耐人寻味的题目,给人以角度多,思维入口宽的探索空间,具有着推理、探究、拓展的问题价值.斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.1.问题的求解思路思路1将直线方程与抛物线方程联立,可以求出A、B两点坐标,利用两点间的距离公式求出     

利用定义解题类型例说

数学概念通常是以定义的形式表述的,因此利用定义解题能沟通数学问题内在的本质属性,常常能达到化繁为简、化难为易的效果。本文分类举例说明定义在解题中的运用。 1.利用圆锥曲线的定义 例1 在抛物线x~2=Ay上有两点A(x_1,y_1)和B(x_2,y_2),满足|AB|=y_1 y_2 2。求证:点A,B和这抛物线的焦点三点共线,(1989年广东理工类第二卷第四题 证明:如图,抛物线的焦点为F(0.1)。准线方程为y=-1.点A、B到准线的距离分别为d_1=y_1 1,d_2=y_2 1。     

由一道高考题引出的新结论

2011年浙江高考(理)第21题:已知抛物线C1:x2=y,C2:x2+(y-4)2=1的圆心在点M.(Ⅰ)求点M到抛物线C1的准线的距离;(Ⅱ)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点.若过M,P的直线垂直于AB,求直线l的方程.     

寻找解析几何解题的突破口

一、从圆锥曲线的定义中寻找 例1 已知圆的方程为x^2＋y^2=4,两个定点分别为A（-1,0）,B（1,0）,动抛物线过A、B两点且以圆的切线为准线。求抛物线的焦点的轨迹方程．     

不可忽视定义

先看如下题目: A为椭圆x~2/9+y~2/4=1和抛线物y~2=5x的一个交点,m为A到椭圆两焦点距离之和,n为A到抛物线焦点与准线的距离之比,求m+n的值。照通常解法,此题应先解二元二次方程组求得A点坐标,再求出椭圆和抛物线焦点