巧用基本不等式妙求3/cosx＋2/sinx的最小值

问题 求3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）的最小值。 文[1]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到解决,文[2]利用导数也将此问题获解．经笔者研究发现,此类问题用基本不等式也能很好的解决,而且相比之下,较文[1]和[2]似更巧妙、明快、简捷一些,给人们一种耳目一新的感觉．现将此问题的解答过程表述如下．     

利用凸函数性质巧求3/cosx+2/sinx的最小值

问题 求y=3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）（＊）的最小值 文[1]、文[2]分别利用柯西不等式的推广、导数知识将此问题得以解决,文[3]巧用基本不等式,通过两次缩小妙求问题的答案．最近笔者研究发现,利用凸函数性质也可以巧妙获解．本文给出这个巧解,以飨读者．     

巧用加零法,妙求3/cosx+2/sinx的最小值

问题 求3/cosx ＋2/sinx（o〈x〈π/2）的最小值． 文[1]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到解决,文[2]利用导数也将此问题获解,文[3]又利用基本不等式将此问题解决．受文[1]、[2]、[3]的启发,笔者经过研究发现,此问题可用加零法,引入参数也能很方便的求解．而且相比之下,此方法更为简捷,技巧性不强,更容易让学生接受与掌握．现将此问题的解答过程呈现如下：     

巧用赫尔德不等式求最小值

题目设p、q∈R＋，x∈（0，π/2）,求函数f（x）=p/√sin x＋q/√cos x的最小值。 这是数学奥林匹克小丛书《平均值不等式与柯西不等式》中的一道题目．书中是用带参数的柯西不等式证明的；而且用了两次，证明的难度之大、技巧性之强都是罕见的．本介绍使用赫尔德不等式的简捷解法。需要说明的是，恰当地使用赫尔德不等式的关键在于选择好指数对（p，q）．因为本题表达式中已用字母p和q，故在下面的解法中改用（α，β）．[第一段]     

用sinx≤x≤tanx巧解三角竞赛题

众所周知，sinx≤x≤tanx,x∈[O，2/π]（^＊），当且仅当x=0时等号成立。证明（^＊）很容易，在此略。     

求和的最小值与最大值

例1 三个英语词CAR，BUS，JEEP中，共有九个不同的英文字母（其中E重复一次），它们分别代表0-9这十个数字中的9个不同数字，使得右边加法竖式成立，也就是说，两个三位数的和是四位数，那么这个和最小、最大各是多少？     

构造不等式妙求最值

例1 若直角三角形的周长为1，求它的面积的最大值。     

具有相同规律的一组数学竞赛题

先看下面的一个公式:设ai∈R,bi∈R+,i=1,2,…,n.则a21b1+a22b2+…+a2nbn≥(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn.这个公式是由柯西不等式稍加变形后得到的,用它处理一类分式不等式问题十分方便.下面举例说明.例1已知a、b、c∈R+.求证:ab+c+bc+a+ca+b≥32.(第26届莫斯科数学奥林匹克)证明:ab+c+bc+a+ca+b=a2a(b+c)+b2b(c+a)+c2c(a+b)≥(a+b+c)22(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca)=32.例2设a、b、c∈R+,且abc=1.则1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.(第26届IMO)证明:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=a2b2c2a3(b+c)+a2b2c2b3(c+a)+a2b2c2c3(a+b)=b2c2a(b+…     

含参方程与含参不等式的求参问题的探求

一些简单的含有参数的不等式、方程的恒成立或有解的情形,将其同解变形,参数分离,转化成①“a=f(x)”有解;②“af(x)”恒成立的数学模型,将①转化为求f(x)的值域;②转化为af(x)max.解题的难点在于如何同解变形,使参数“a”孤立在方程、不等式的一边,完成对“a”的分离.1含参方程的有解问题     

再谈一类三角函数的最小值

用平均值不等式研讨了一类三角函数的最小值,但对所含参数的研讨范围仅限于正整数,我们将对此问题中的参数范围作进一步的研讨。     

求一类三角函数的最小值

（数学问题338）《数学通报》2008年第6期P61《探求一类三角函数的最值问题》等诸多文献,已深入讨论并得出了三角函数f（x）=a/con^nx=b/sin^nx（0〈x〈π/2,a,b〉0）,对n∈R^＋的最小值为（a2/n＋2＋b2/b^n＋2）^n＋2/2.进一步地,我们探讨：     

谈谈几何图形在三角函数中的应用

我们在解数学题时，常常喜欢先画画图，通过对几何图形的考察，以求得解题的思路。这是因为几何图形是研究数学问题的重要辅助工具，它具有直观性，能使问题中的数量关系形象化，能沟通具体的事物和抽象的思维之间的联系，促使“生动的直观”向“抽象的思维”的转变。因而在初等数学的解题过程中，几何图形被广泛的采用。正确地运用几何图形，能帮助我们开拓思维，提高认知与解题能力。     

一道竞赛题及其推广题的解法再探

题1 0〈θ〈2/π，求y=cosθ/8＋sinθ/1的最小值。     

函数y=a/sinx b/cosx的最小值

本文应用待定系数法和柯西不等式给出下面函数的最小值 .定理　函数 y=asin x bcos x,x∈ ( 0 ,π2 ) ,a,b为正常数 ,则 ymin=( a23 b23) 32 .证明　设 m,n为待定正常数 ,由柯西不等式 ,有( asin x bcos x) ( msin x ncos x)≥ ( am bn) 2 ,1( m2 n2 ) ( sin2 x cos2 x)≥ ( msin x ncos x) 2 . 2由 1 ,2得asin x bcos x≥ ( am bn) 2m2 n2 . 3而 3式中等号成立的条件是 1 ,2式中的等号同时成立 ,即 :amsin2 x=bncos2 x且 msin x=ncos x,亦即 :m=3ak,n=3bk( k>0 ) ,代入 3式整理得asin x bcos x≥ ( a23 b23) 32 .下面举例说…     

对“再谈f(x)=3/cosx+2/sinx最小值的初等求法”的商榷

正某刊中给出了"贴近学生实际的求f(x)32=+(0cosxsinxπx)最小值的初等求法",笔者阅读后发现其解法中存2在不等式中易犯的一个错误,特提出与原作者商榷.先看原文给出的解法(限于篇幅,已作简化):     

例谈求参变量取值范围问题

函数是中学数学中永恒的主题，并且它与方程、不等式等内容的联系非常密切。本文针对一类含参变量方程和不等式问题进行探讨，通过利用函数的有关性质，使这些问题化难为易。     

求函数y=(a/cosx)+(b/sinx)最值的方法

求函数y=sinx+cosx的最值,同学们都觉得容易,但是求函数y=(a/cosx)+(b/sinx),其中a,b>0,x∈(0,(π/2))的最值就有难度了.本文将给出三种解法.     

应用向量不等式解题的构造策略

解题需要不断地转化，如何转化？类比联想相似的结构，借用模式是转化的有效手段．应用向量不等式解题，其实质就是根据问题的结构特征与向量不等式的结构特征的相似性，通过构造适当的向量解决问题的，是一种典型的借用模式的解题方法．透彻认知向量不等式中所蕴涵的模式，准确把握问题结构的本质，是有效构造向量解决问题的关键．