“和型”不等式的几种求解策略

<正>有关数列前n项和不等式的试题是当下高考的一大热点,今介绍几种常用的应对策略.策略1待定系数法放缩通项例1(2014年全国高考题)已知数列{a_n}满足a_1=1,a_(n+1)=3a_n+1.(1)证明:{a_n+1/2}是等比数列,并求{a_n}的通项公式;(2)证明:1/a_1+1/a_2+…+1/a_n<3/2.     

数列的单调性

<正>数列的单调性通常是由比较数列{a_n}中任意相邻两项a_n和a_(n+1)(n∈N_+)的大小来判断的,常用的方法有:(1)定义法:若a_(n+1)>a_n,则{a_n}是递增数列;若a_(n+1)0,则{a_n}是递增数列;若a_(n+1)-a_n<0,则{a_n}是递减数列。     

双等比数列的性质初探

定义 若数列{a_n}满足关系 a_(2n)/a_(2n-1)=u_1,a_(2n 1)/a_(2n)=u_2,(n=1,2,…)其中u_1,u_2为非零常数.则称数列{a_n}为双等比数列,称u_1为第一公比,u_2为第二公比.当u_1=u_2时,{a_n}称为等比数列. 例如数列: 1,2,2/3,4/3,4/9,8/9,8/27,16/27,…它满足a_(2n)/a_(2n-1)=2,a_(2n 1)/a_(2n)=1/3 所以它是一个双等比数列. 定理1 双等比数列{a_n}的通项公式为     

数列求和常用的三种方法

数列求和是中学数学的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象之一.它对于提高数学思维能力十分有益,下面介绍数列求和的几种常用方法。一、错位相减法设数列{a_n}是等比数列,数列{b_n}是等差数列,则求解数列{a_nb_n}或{a_n/b_n}的前n项和S_n均可用错位相减法.例1设{a_n}是等差数列,{b_n}是各项都为正数的等比数列,且a_1=b_1=1,a_3b_5=21,a_5＋b_3=13,（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式;     

对数列问题中一类不定方程通解的探究

<正>一、问题呈现2014年江苏省南通市高三模拟测试给出如下一个数列问题.例1各项均为正数的数列{a_n}中,设Sn=a_1+a_2+…+a_n,Tn=1/(a_1)+1/(a_2)+…+1a_n,且(2-S_n)(1+T_n)=2,n∈N^*.(1)设b_n=2-S_n,证明数列{b_n}是等比数列;     

恰当分类解题例说

分类的通俗说法是按照一定的标准把研究的对象分成几个部分或几种情况。 恰当分类进行解题,可使解题思路清晰,化繁为简,化整为零,使问题易解,现举二例如下: 例1 已知等比数列{a_n}的首项a_1>0,公比q>-1,且q≠0,设数列{b_n}的通项b_n=a_(n 1) a_(n 2)(n∈N),数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别记为A_n、B_n,试比较A_n、B_n的大小。     

积(幂)问题“对数化”处理方法举例

<正>解法初探:计算n个正数a_1,a_2,…,a_n的积M=a_1a_2·…·a_n的结果是很麻烦的,若将等式两边取以b(b>0且b≠1)为底数的对数,则变成log_b M=log_b a_1+log_b a_2+…+log_b a_n,这样就将一个积的运算转化为和的运算,使运算得以简化。例如,已知正数等比数列{a_n},令b_n=log_c a_n,c>0且c≠1,则数列{b_n}就是等差数列。这种对"积(幂)的形式"进行"对数化"处理的方法是一个重要的解题手段。     

推陈出新 重视拓展——对一道调研试题的思考

<正>江苏省南通市2010～2011学年高三第一学期期中调研考试文科卷第19题值得一看,从中我们可以得到一些启发与思考,这道题目是这样的:已知数列{a_n}满足a_n+a_(n+1)=4n-3(n∈N~*).(1)若数列{a_n}是等差数列,求a_1的值;(2)当a_1=2时,求数列{a_n}前n项的和     

求递推数列通项公式

数列递推公式的意义:若已知数列的第一项a_1且任一项a_n与前一项a_(n-1)之间的关系可以用一个公式表示.类型1形如a_(n+1)=a_n+f(n).解法:把原递推公式转化为a_(n+1)-a_n=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解.例1已知数列{a_n}满足a_1=1/2,a_(n+1)=     

利用零数列求解探索性问题

若数列{a_n}满足a_(。n+1)-a_n=0,且a_1=0,则数列{a_n}为零数列,反之也成立。利用零数列可简便易行求解一类探索性问题,现举例如下:     

一阶线性递推数列通项公式的几种求法

已知数列{a_n}中,a_1=p,a_(n 1)=qa_n r,求通项公式a_n,其中p、q、r为常数,且q≠0,q≠1。 显然r=0时,a_(n 1)=qa_n,这时{a_n}为等比数列,易推得a_n=pq~(n-1);当r≠0,q=1,a_(n 1)=a_n r,{a_n}是等差数列,易推得a_n=a_1 (n-1)r。     

从高考数列题谈起

高考中的数列题难度比较大,考生失分比较多.但其实不然,无论咋变始终是离不开等差数和等比数列的运用.现本人就最近这几年的高考题谈起仅供读者参考.例1(2007天津21题)在数列{a_n}中,a_1=2,a_(n+1)=λa_n+λ~(n+1)+(λ-2)2~n(n∈N~*)其中λ>0     

谈等差、等比数列课中的启发式教学

我在等差数列、等比数列的教学中引导学生对其性质想开去,使学生对这部分知识有了一个较全面而深刻的理解,收到了良好的效果。推广得到的,我们暂且把它们叫做定理。 新课引入,我们学了等差、等比数列,若有数列{a_n}满足a_n-a_(n-1)=d(n≥2)或a_n/a_(n-1)=g(n≥2),则其分别为等差或等比数列。这一节课,我们来研究一下与它们相关的性质。设问,等差数列{a_n}中若去掉前面部分项,摘去其中的一部分,a_s,a_(s 1),a_(s 2),…,a_n…组成的数列是否仍成等差数列?同学们异口同声地答,成     

运用转化思想求递推数列的通项

求递推数列的通项,在近几年高考中凸显地位,这类试题的求解,多是运用转化思想,将所给递推数列转化为等差数列、等比数列或其他特殊数列,下面笔者就几种常见类型举几例高考试题,并对其解法进行探讨、总结.例1数列{a_n}中a_1=2,a_(a 1)=a_n cn(c是常数,n∈N~*),且a_1,a_2,a_3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a_n}的通项公式.     

逆用等差、等比数列的求和公式

有很多问题需要逆用等差、等比数列的求和公式来解决问题.(一)逆用等差数列的求和公式例1已知数列{a_n}满足a_1=1,a_(n 1)=2a_n 1(n∈N~*) (Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式;     

构造函数求解线性循环数列

如果数列{a_n}满足 a_n=c_1a_(n-1)+c_2a_(n-2)+…+C_ka_(n-k).(n≥k+1)(＊),其中c_k≠0,就称{a_n}是一个k阶线性循环数列。在高中数学课本中的等比数列与等差数列就是线性循环数列,因为公比为q的等比数列的定义式是a_n=qa_(n-1)(n=2,3,…).所以等比数列是一阶线性循环数列.因为等差数列的定义式是     

一道习题的“发扬光大”

题目数列{a_n}中,a_1=1/2,a_n=1/2 a_(n-1)(n≥2),求数列{a_n}的通项公式。这是一道求等比数列通项的典型习题,在教学中若仅停留在解答完此题的基础上,确有鼠目寸光之嫌,若能以该题的解答为药引,引导学生对该题加以变形、总结、应用,则有登泰而小天下之感。本文就此题的"发扬光大"总结如下。     

谈Sn=a_1-a_nq/1-q的推导

公式S_0=(a_1-a_nq)/(1-q)教材上使用的是“错位相减法”。这种方法用途很广,比如说在求一个等比数列{a_n}与一个等差数列{b_n}对应项积的数列{a_n·b_n}的前n项和时,就可以如此求得: 设{a_n}的公比为q,{b_n}的的公差为d: S_n=a_1b_1+a_2b_+…+a_nb_n (1) 在(1)两边同时乘以{a_n}的公比q: qS_n=a_1b_1q+a_2b_2q+…+a_nb_nq     

赏析如出一辙的两道高考数列题

2007年高考山东理科数学第19题(以下简称试题1):设数列{a_n}满足a_1+3a_2+3~2a_3+…+3~(n-1)a_n=n/3,n∈N~*(Ⅰ)求数列{a_n}的通项;(Ⅱ)设b_n=n/a_n,求数列{b_n}的前n项和S_n.时隔仅二年,2009年高考湖北卷文科数学     

递推数列已逐渐成为高考中的流行色

给定数列{a_n},若a_n k与a_n、a_(n 1)、a_(n 2)、…、a_(n k-1)之间满足关系式a_(n k)=f(a_(n k-1),a_n k-2,…,a_n),则称此关系式为k阶递推式.由此递推式及初始值a_1、a_2、…、a_k所确定的数列{a_n}称为k阶递推数列.若a_(n k)能表成c_1(n)a_n c_2(n)a_(n 1) … c_(n k)(n)a_(n k-1)的形式,则该递推关系为k阶线性递推关系(等差、等比数列是最简单的一阶线性递推数