绝对值几何意义应用举例

绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容.绝对值的几何意义可以借助数轴加以认识,一个数的绝对值是数轴上表示这个数到原点的距离.如,|a|的几何意义是:数轴上表示数a的点与原点距离.|a-b|的几何意义:数轴上表示数a的点到表示数b点之间的距离.那么|x-a|+|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a、b两点之间的距离之和.对于一些复杂问题,运用绝对值几何意义求解,直观简捷,事半功倍.     

绝对值问题的“分层作图”法

<正>数形结合是一种非常重要的数学思想方法,也适用于绝对值问题,这主要是绝对值的几何意义,|a|为在数轴上数a到原点0的距离,即|a|=|a-0|.据此,我们可以将|a-1|理解为在数轴上数a到点1的距离;而|a+1|,即|a-(-1)|可以理解为在数轴上数a到点-1的距离.为了更加直观地解好绝对值问题,同时便于解后检查,笔者尝试了"分层作图"办法,帮助学生中考前复习.现分类例说如下.一、单个绝对值的问题例1 | x-1|=2,则     

不等式与含有绝对值的不等式的解法

文章给出了一般不等式与含有绝对值的不等式的解法及定理 |a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|在解题过程中的应用。     

上期《你会解答吗?》参考解答

初一年级1．应用数形结合的思想方法求解．由已知条件可知：－a＜0，－b＞0，|a|＜|b|．在数轴上标出a、b、－a、－b各数（如图），从数轴可看出，它们的大小关系是：b＜a＜a＜b．2．若直接计算，计算量是比较大的；若用字母表示数，则运算就简单了．设a—1995，则1996一a＋1．原式=a（＋1）X10001－（a＋1）XaX10001=03．解法一设五个正整数分别为51、1z、13、1。、15，且103分别减去75、79、82、86、90，即得所求的五个正整数为28、24、21、17、13．解法二设五个正整数的和为X，则这五个正整数分别为即103分别减去75、79、82、86、90，…     

绝对值、相反数、倒数的性质及其综合应用

一、绝对值的概念及性质1.数轴上表示一个数的点与原点的距离,叫这个数的绝对值.绝对值的几何意义由数轴可知:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.a的绝对值记作|a|.2.绝对值的主要性质:1若a为有理数,则|a|≥0;2绝对值为某一正数的有理数有两个,它们互为相反数;互为相反数的两个数的绝对值相等;3若|a|=a则a≥0;4若     

解题中的添绝对值变形

解答含有绝对值的问题时 ,我们习惯上考虑化去绝对值的方法。这样常常要分类讨论 ,过程较为繁琐。事实上 ,对于某些问题 ,利用添绝对值的变形 ,可避免分类讨论情况的发生。例 1　已知 ab<0 ,求 a2 |b|- b2 |a|+ab(|a|- |b|)的值。解 :由 ab<0 ,a2 >0 ,b2 >0 ,得 a2 =|a2 |,b2 =|b2 |,ab=- |ab|。原式 =|a2 |· |b|- |b2 |· |a|+(- |ab|) (|a|- |b|) =|a2 b|- |ab2 |- |a2 b|+|ab2 |=0。例 2　若 a>0 ,b<0 ,则方程 |x- a|+|x- b|=a- b的解集是。解 :注意到 a- b=a+(- b) >0 ,∴ |x- a|+|x- b|=|a- b|,∴ |a-x |+|x- b|=|(a- x) +(x- b) |,∴…     

两类不等式几何解法例谈

在 |x a|± |x b|>c;|x a|± |x b|b,它的常规解法分为 x<- a;- a≤x≤ - b;x>- b三种情况进行讨论。这一解法主要依据绝对值的定义 ,它的缺点在于运算繁琐 ,不易得出准确答案。以下介绍一种几何解法 :根据绝对值的几何意义 ,上述不等式可以叙述为到 x轴上两定点 A,B距离之和 (差 )大于 (小于 ) c的点的集合。借助椭圆 (双曲线 )的定义 ,我们上述问题转为在 x轴上寻到两定点的距离 (焦距 )大于 (小于 ) c(长轴 )的点的集合。是x轴上椭圆 (双曲线 )与 x轴交点以外 (以内 )的部分。下面我们…     

一道高考选择题的解法及推广

函数f(x)=∑9n=1|x-n|的最小值为().A·190B·171C·90D·45解法1利用不等式|a|+|b|≥|a+b|∵∑9n=1|x-n|≥|x-1+19-x|+|x-2+18-x|+…+|x-9+11-x|+|x-10|=90+|x-10|≥90,当且仅当x=10时所有的等号成立,∴[f(x)]min=90.选C.解法2借助绝对值的几何意义由绝对值的几何意义知:问题即求数轴上x代表的点与1,2,3,…,19代表的点的距离之和的最小值,易知当x≥19时,f(x)=19x-190≥f(19),当x≤1时,f(x)=190-19x≥f(1),因此使函数f(x)取得最小值的x∈[1,19],且此时|x-1|+|x-19|为定值18,故欲使f(x)最小必须且只需|x-2|+…+|x-18|最小即可,由以上推理知…     

距离与绝对值

任何一个有理数可以用数轴上的点表示。一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。因此 ,在数轴上表示一个数的点到原点的距离 ,只需要求出这个数的绝对值即可。例 1　在数轴上表示一个数的点到原点的距离是 3,求这个数。解 :设这个数是x ,则 |x| =3∵ |± 3| =3,∴x =3或x =- 3.所以 ,这个数是 3或 - 3 在数轴上表示两个数的点之间的距离 ,就是这两个数差的绝对值。例 2　分别求出数轴上两点之间的距离。( 1 )表示数 - 3的点与表示数 - 2的点 ;( 2 )表示数 5的点与表示数 - 3的点。解 :( 1 ) | ( - 3) - ( - 2 ) | =| - 3+ 2 | =…     

巧解一元绝对值问题二法

解一元绝对值问题的一般方法为:零点分段,去掉绝对值,最后进行解题.这种解法的优点是思维直接,方法简单,易为学生接受,而且还有利于培养学生分类讨论的能力,但这种解祛往往过程较繁,计算量较大.本文介绍两种特殊的解法,供大家参考.一、利用绝对值的几何意义|x—a|的几何意义是数轴上任意一点x到点a的距离,利用它可使一些问题避开讨论.     

对绝对值几何意义的探究拓展

绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点与原点之间的距离,用符号｜a｜来表示.而数轴上a、b两点之间的距离可用｜a-b｜来表示.例1若｜m-1｜=2,求m的值.解析：因为｜m-1｜表示数轴上点m与点1之间的距离,而与点1距离等于2的点分别是3和-1,所     

聚焦绝对值

一、难点透视 1.绝对值的意义 1)一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零,这就是说任何实数的绝对值一定是非负数。 2)一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离(也称为“绝对值的几何意义”)。|a|的意义为数轴上表示数a的点     

从距离观点出发解绝对值不等式问题

用距离的观点来解初等数学中的绝对不等式问题有准确、直观、快速的优点,作者在本刊1983年第4期《图象和代数不等式》一文中,曾有探讨。这里对此再作进一步讨论。称绝对值|x-a|为点x到数轴上点a的距离,称绝对值|x+a|为点x到数轴上点-a的距离。这样我们很容易解下面各种形式的问题,它将给初学者解这类问题带来方便并提供一个迅速有效的检验方法。例1.求不等式|x-5|<3的解。     

让绝对值回“娘家”(初一)

我们知道, |x|的几何意义是数x在数轴上的对应点到原点的距离. |x-a|的几何意义是数x和数a在数轴上的对应点之间的距离.因此,绝对值的几何意义总可以通过数轴来体现,我们说数轴是绝对值的“娘家”.让绝对值回“娘家”,是解决此类问题的巧妙方法.     

绝对值学习指导

绝对值的概念是有理数中的一个重要内容,也是学习中的一个难点,下面谈谈怎样学好绝对值． 一、理解绝对值的意义 （1）几何意义：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离．｜a｜的意义为数轴上表示数a的点与原点的距离．｜a-b｜的意义为数轴上表示数a、b的两点之间的距离．     

聚焦绝对值

绝对值的意义 （1）一个数a的绝对值，就是在数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜｜a-b｜就表示数轴上表示数a，b的两点的距离．     

一道绝对值问题的多角度思考

绝对值是一个重要概念,细细思考,规律多多.①|a-b|的几何意义使得问题的处理简明快捷,②函数y=|x-a_1| |x-a_2| … |x-a_n|的图象让问题处理直观明了,③运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|求最值,易于理解.     

四类不等式恒成立问题的解法

<正>恒成立是不等式中一种常见题型,下面仅结合学习体验例析其常见的类型及解法。一、含绝对值不等式的恒成立问题例1对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k恒成立,求k的取值范围。解析:令f(x)=|x+1|-|x-2|,由绝对值的几何定义知f(x)是数轴上的点到-1,2两点的距离之差,故[f(x)]_(min)=-3,由恒成立原理知k<-3。     

1994年初中《祖冲之杯》数学邀请赛试题及参考答案

初一年级一、填空题1.若m人在a天可完成一项工作，那么m n人完成这项工作需要ma/(m n)天．(用代数式表示）．3.设a＜-b＜c＜0，那么|a＋b| |b c|-|c-a| |a| |b|-|c|=b c-a(去掉绝对值符号）4．已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于5．由O点引出的七条射线如右图．已知OA⊥OE，OC⊥OG，∠BOC＞∠FOG，那么在右图中，以O为顶点的锐角共有15个．6．时钟在12点25分时，分针与时针之间的夹角度数为7．某人将其甲、乙两种股票卖出，其甲种股票卖价1200元，盈利20%；其乙种股票卖价也是1200元，但亏损20％．该人此交易结果…     

用绝对值的几何意义解题几例

实数 a 的绝对值|a|,表示数轴上点 x 到原点的距离.|x-a|表示数轴上点 x 到点 a 的距离.在解题中.若注意实数绝对值的几何意义,可以避免冗长的讨论.下面仅举几例加以说明.例1(武汉、广州、福州三市联合竞赛题)已知|x-1|+|x-5|=4,求实数 x 的值.