巧用平面区域知识解决圆锥曲线问题

知识:二元一次不等式Ax By C>0(<0)在平面直角坐标系中表示直线Ax By C=0在某一侧面所有点组成的平面区域.方法:由于在直线Ax By C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax By C所得实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取某一个特殊点(x0,y0),从Ax0 By0 C的正负即可判断Ax By C>0(<0)表示直线哪一侧的平面区域.我们可以用二元一次不等式表示平面区域的方法来分析圆,椭圆,抛物线,双曲线把平面分成的平面区域,得到如下结论.结论1:对于圆x2 y2=r2及平面内任一点P(x0,y0),把点P(x0,y0)代入x2 y2,当x02 y02=r2时,点P(x0,y0)…     

巧用平面区域知识解决圆锥曲线问题

知识：二元一次不等式Ax＋By＋C＞0（＜0）在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C=0在某一侧所有点组成的平面区域.     

向量视角下的平面区域问题

根据平面向量基本定理,我们知道：选定平面向量的一组基底→OA、→OB,那么对于平面内任一向量→OP,有且只有一对有序实数对x、y,使→OP=x→OA＋y→OB.再结合共线向量定理,一个向量系数和为1的结论经常被用到：点P在直线AB上的充要条件是x＋y=1（如图1）。     

二元一次不等式与平面区域“巧对应”

二元一次不等式Ax＋By＋C〉0（或〈0）（A^2＋B^2≠0）在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C=0右上方或右下方或左上方或左下方的某个平面区域,在教材[1]中采用的是“直线定边界,特殊点定区域”方法来处理的,     

巧定平面区域

高中数学教科书中介绍了二元一次不等式表示平面区域的方法：对在直线Ax＋By＋C=0同一侧的任意一点（x,y）,把它的坐标（x,y）代入Ax＋By＋C,     

利用法向量判定二面角的大小

利用法向量求二面角时,两平面的法向量所成角与二面角是“相等”还是“互补”成为难点和关键,文[1]、文[2]引入“卦限向量”来判定,本文依托线性规划中二元一次不等式表示平面区域的判定方法,运用“类比法”得到利用法向量求解二面角的一种简洁有效的方法．     

对一个课本知识的"学习发展提高"--二元一次不等式表示的平面区域的再思考

已知二元一次不等式确定其表示的平面区域非常方便,只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.但对于问题:"已知直线l:ax+(2a-1)y+1=0,不等式ax+(2a-1)y+1<0表示直线l的下方区域,求a的取值范围."上述方法势将无能为力.怎么办呢?仔细阅读课本,可以发现一条解题思路,为了以下叙述方便,不妨摘录如下:     

平面向量中一个重要定理的多角度研究

正平面中有关三点共线的一个重要的定理:定理1:设OA,OB为平面内不共线的两个向量,且OC=xOA+yOB(x,y∈R),则A,B,C共线的充要条件是x+y=1.文[1]探究了以上定理中将"x+y=1"中右边的"1"一般化后动点C的轨迹问题,得到了如下的结论:定理2:设O,A,B为平面α内不共线三点,OC=xOA+yOB(x,y∈R),过O与直线AB平行的直线为ι0,则满足x+y=k(k∈R)的动点C的轨迹是一条平行(重合)于ι0     

对确定平面区域方法的探究

线性规划是优化的具体模型之一,而线性规划问题中最基本的一环节就是正确表示出二元一次不等式(组)所表示的平面区域。人教版数学必修五中第三章第三节着重讲了此问题,文章做了一定的探讨。     

线性规划在解题中的应用

线性规划是研究目标函数在约束条件下的最值问题．而二元一次不等式在平面直角坐标系中表示一个平面区域,在平面区域内,点在直线划分的区域内遵循“同侧同号,异侧异号”的原则．它的应用相当广泛,下面结合新高考专题复习,举几个用线性规划知识解决的例子,仅供参考．     

二元一次不等式表示平面区域的教学案例

本文通过探究点与直线的位置关系,得出二元一次不等式表示的平面区域,进而得到二元一次不等式(组)所表示的平面区域.在学习过程中,使学生体会到数形结合的数学思想,发展学生应用数学的意识;同时让学生进行数学探究,体验知识的形成、应用过程,鼓励学生通过观察类比发现问题、分析问题、解决问题,增强学生数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度.     

向量三点共线结论的拓展与妙用

正结论1 P是平面OAB(OAB)上的一个动点,→OP=→x OA+→y OB(x,y∈R),若点P,A,B共线,则x+y=1;反之,若x+y=1,则点P,A,B共线.结论 1可作进一步推广:结论 2若点P与O落在直线AB的2侧,则有x+y1,反之也成立.证明设OP与AB所在的直线交于点P',则存在实数λ,使得→OP=λ→OP'且λ1.由上述定理     

创设问题情境 提升核心素养——以“二元一次不等式(组)与平面区域”教学为例

课程标准指出,高中数学教学应该以发展学生核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质.数学的核心是问题和解,数学教学活动是以数学问题、数学情境为载体的.数学情境包括现实情境、纯数学情境、科学情境,问题则是在这3种不同的情境中蕴含的问题.数学教学要为学生创设恰当的数学情境,提出合适的数学问题,发展思维能力,提升核心素养.     

坐标法在向量最值问题中的应用

<正>在近年高考中,向量由于其具有数、形结合的双重特性越来越受到命题者的青睐,尤其是与平面向量最值相关的题型精彩纷呈,极富挑战性.此类问题的解法众多,颇有"百花争艳"的意味,有些问题利用几何法甚至可以达到"秒杀"的效果,使人赞叹不已,但不管是当年的考生还是现在的同学,这类问题却常成为他们的"滑铁卢",让人扼腕叹息.究其败因,正是向量的抽象性使问题的理解出现了困难,如何突破这一障碍显得异常重要."坐标法"可以使向量运算     

向量与平面几何融合问题探析

平面向量集数形于一体,具有几何和代数的双重特性,利用平面向量处理平面几何问题,最重要的是先在平面几何图形中寻找具有向量因素的特征,如共线、平行、垂直、线段的倍分等,然后利用向量求解。基本途径有:(1)把线段向量化,直接用向量运算的定义和性质来解决,此为非坐标法;(2)先选取适当的坐标系,求出有关向量坐     

让探究成为一种习惯——以一道向量高考题为例

<正>数学探究活动是围绕某个具体的数学问题开展自主探究、合作研究并最终解决数学问题的过程.具体表现为:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索、合作研究论证数学结论.[1]在数学探究过程中,学生既能获得概念与规律,又能掌握研究的方法,形成研究事物所必需的探究能力.本文从一道江苏高考题的微型探究说起,旨在呼吁让数学探究成为一种习惯.     

二次函数图象上点坐标的求法

<正>对于求解函数图象上点坐标的问题,不少学生找不到解题的方向和突破口.事实上,平面直角坐标系中的点坐标是一对有序实数对(x,y),x,y分别是点的横坐标和纵坐标,根据方程的意义,只要知道两个条件,便可求出这两个未知数.这里介绍这类问题的常用解法.     

平面向量的数量积及其应用

平面向量的数量积在近几年高考中多次出现,在各地的高考模拟试题中也常常考查,试题多以小题的形式出现.向量知识经过这几年的锤炼,考查的方向已从最初的以"三点共线"为代表的初级阶段,过渡到以"三角形四心"为代表的提高阶段,直到现在的以"各种运算的几何意义"为代表的灵活运用阶段,对向量几何意义的理解将使我们大大加快解题速度,提高解题的效率.     

线性规划中确定平面区域的几种方法

在教学中,笔者发现学生对二元一次不等式表示的平面区域是哪一部分不能直接给出。有没有一种简单易行的方法昵？例如,一看到式子2x＋y-1〈0知道其所表示的区域在直线2x＋y-1=0 的左下方,或直线2x＋y-1=0左下方的区域表示不等式2x＋y-1〈0的解集。用什么方法就能如此快速地作出判断呢？结合教学实际。本文就二元一次不等式表示平面区域的判定方法作一简单的归纳和总结。