一道三角函数题的简捷解法

八七年高考理科第兰题是: 求sinlo。·s三n3。“·sinso‘·sin70。的值。 解:设sin10。·sin30。·sin50。·sin70。二=x,两边同乘以eoszo。,得eosx0Ox=coslo“.sin10“一sin30。一sin50。一sin70。=告sin20。-一sin50“一sin7o。=一矛sin20一eos20o .sin50。=告sin40“一eos40。=壳sin80。=去eos10“。从而得到x=责。即5 1 n10。·sin30“·sin50。一sin70。=去。 实际上,此解法应用了公式 sinZa二Zsina.eosa。一道三角函数题的简捷解法@罗洁$湖北随州市二中二(1)班~~…     

三角式的和与积

、三角函数式的和设a、,aZ,d(夕年2无万)…,a。,为等差数列,公差为则有熟知公式习“i”a’“5 in(a 宁‘,S‘·晋“ dS‘n丁乙cosa‘=eos(a十牲二鱼d) 2 (1)5 in兰d2 ds‘n丁(2)应用公式将sina d‘“‘”万,c 05“‘ 了5 In一 2化和差立得.同样的积化和差,可证公式(d钾无二)n一1乙5 1 na,c 05“’‘_,in(a。 a,)5 in(a。2 51几d一a:)刀一125 ind, (3)C 05夕土Szn口i十i。艺间=丝州乡士夕工珍11叮夕 2 sind。一a,) n一1 25 in夕(4)n‘1乙e osaicos。, ;琳eos(a。 aJ)eos(a。一a2 sind2了一1 2eosd, (5)乙5 ina,sin“,千eos(a。 a,)eos(a,…     

利用“1”的代换计算不定积分

在不定积分计算中利用“1”的代换,有时会很方便,请看以下两例。5 inZa+eosZa=1例1.求丁 1x(l+x)(1+x+XZ){dx一dX原式=日inlx+eosZx亿吕in3x一eos“x户!J + 解原式=f由(1+x+x“)一x(1+x) (xZ+x+1)一x(1+x)=1有sin“x dxeos!x dx亿sin名x一eos‘xx(l+x)(1+x+xZ) 11x(1+x)1+x+x:dx〕dx亿sinax一eos6x sin名x dxeo:‘x切毛萝牙 f eosZxdx+J丽矛万讶云毛云‘了es产...,口.1‘ 一一一一 XX+l一一退丝are二J了承d(‘gX)一丁(。tgX)一;d‘。,gX)了x一2训ctgx+C. g 二‘2一3 ,l了3‘g黯,C·2..宁、;rljln例2·求I夕示百获二石丽畜又dx(作者…     

反三角函数的统一表达式

设x,a为实数,〔妇表示不超过a的最大整数.则有 a r e 5 in(5 1 nx)=‘一‘,〔,(一〔令合〕·),a r eeos(eo sx)=‘一‘,〔a(x一印一羞一)‘r。七;(t、二,二一〔万‘合〕·‘x“‘ 号,‘任z,,ar。c。‘(c t gx)=x一〔器〕‘(x今k爪证令一k任Z)。k,‘粤(无任z) 乙则i一2李、k落: 石兀取‘=〔聋·扫X一汀.1、\十丁J兀少X一兀尹Ik 一 X声‘、 n .‘1 S则凳 韵为偶),产.、/饭、nX5 InX十合)为奇)X一才尹..叹户了、s一/!lj、;一(一1)〔盖 告〕5 1 nX-:a re sin(sinx)=(一l)〔七.全〕a r C 51·{(一i)〔乞 5 in(一〔器 扫二)}:一〔穿 合〕今.…     

《代数恒等式证法种种》一文补正

拙作《代数恒等式证法种种》中例13证明有误, _证明:设a三乡ina,b移osa,e二“in日,则由ae+bd=0得习Ina匀in目+eosaeos尽“0 正确的证明应为:d二eos日, 井即eos(以一日)二0…a一卜=匕获+万(k任Z) 山 兀 北““k成+玄十氏则a’+c’“5 in’以十“主n’日“““in’(k兀+百+p)+“in’日二“o‘2日干‘i几’,”万b:+d之二eo习Za+eosZp“eo。“(k“+言+6)+eos忿日 石二。inZp+eos么p“1江一么ab+ed二5 1 nacosa+sin日eoop“。in(k“+ 兀+日)co“(k北+万+日)+。in日eo。日 ”(士cos日)(不51特此更正,井向指正的读者汤3)+日in日eos日龙致谢。二一…     

cos(sinθ)>sin(cosθ)的又一证明

对任意实数e,易知!cose一 1 510 el《了、<晋厅一2 n︸一.tL 在lsin夕l数,烤一‘co武’:COS义内是减函 。05(.5‘n“,)>co:(一晋一“·。s”, ‘sin(!eosol) 丫,cosot>coso,而sin二在〔一今晋扛递增, sin(1 cosst))sin(eos6)注意到eos(卜in61),cos(51。夕)知cos(51动)>si。(eos口)证毕cos(sinθ)>sin(cosθ)的又一证明@周海燕$湖北秭归县归州镇中学~~     

勾股定理的推广

设R名△ABC的勾,股,弦分别为。,b口,那么关系式a+b)c,。,+石2=。,,a’+b3<。3,启发我们,有如下定理. 定理函数l(劝=护+b‘一c‘当。咬:<2时为正,!(2)=O,当:>2片为负.证明f‘·,二二「(誉)’·(粤)’〕.由:(劲’·(劲2一‘,=夙n。,则互=。。。。,o<。<叮 Cla一c一命考虑甲(x)二/a\劣Ib\忿t—I十t—I\C/\ClSin公a+eos思a。 (下转35页)(上接38页)命x=2+了,则 势(劣)=甲(2+劣,) =sin“十之产a+eosZ十二,a =sin Za,sin,,a+eosZa.eos,,a。 当0<:<2时,:产<0,5 in,,a>z, eos,产a>J, 尹(x)>sin“a+eosZa=J,e’>O,故了(幻>叭 当x二2时,x,二o, …     

关于反三角函数数列求和

设,任N,。任R,则如下各等式成立:i)are sin〔 拼牡(n+1)·(侧(:+1)2一那2一侧几“一仍2)〕=are“in竺一aresin一下哭 几拜甲1({号…、1)arCC08+训(n“一mZ)〔(忍+1)“一仍:〕‘,r3二l]明儿(刀+1)二are eos一卫L-一are 凡+leos塑 牡丝{簇1、路l/are七g饥(2几+1)了.、iii=aretg(叨戈0)(n+l)2哪一ar。tg兰,仍iv)a retg竺(3n2+3忍+1)____工_(n十1)2__,n“一己tU‘g—一a工习毛g;、二了 71乙打‘ (mv)等0)arCC七gf土丝二七哎一arCCog几阴功一arCctg几+1。(叨等0)饥设are oin竺=x,5 ifl 饥刀+1=夕C、Jar竺2(劣,夕任〔一色,2则。in劣=巡,5 in…     

关于正余弦方幂数列的求和

文〔1〕讨论了如下两个公式:e0Sa一+eosa:+…+eosa了:·。s(一+尹一ld 2竺d艺 n ;‘ S、j了.一~一姐一一一,(1)d一2 n S5 1 nal+SinaZ+…+sina51·(·;+鉴“)·‘11普“:二一一一-一一--一一(2)5 Ind2其中,a,,…,a,是以d(d年0)为公差的等差数列. 现在考虑数列{cos”a*.},王。in”a、} (:为自然数,{“、}为非常数等差数列,公差为d),应用余弦降幂公式及公式(1) (2)即可推导它们的公式. 例1.求证c。。Za;+cooZ“:+…十cos’。。eog4a、=3几 8、乙卜 eos〔Za:+(刃一1)d〕sin泥d甲一一Zsind co82〔Za,+(路一1)d〕sinZnd十一eos〔Za,+(兄一l…     

关于形如arcsin(sinx)的求值

、关于aresin(sinx)的求位2.当:〔〔一要, 乙晋〕时,a‘c,‘n(,‘nx)=X。证明:’.‘sinx〔〔一1,1〕 。rcs;n(s;。劣)。〔一号,二、2,月.sin〔aresin(sin二)〕二sinx又:〔〔一要, ‘二2而正弦函数在〔一要 石创上是增函执.’.ar“s恤(51”‘)·‘·证毕 ,.推论:当“〔一备,蛋,时,如,有了一“,二〔一二,吞〕,l!.厂”‘忍寻公、丈价有51;、x~:in。,),!{laresin(sinx)~a。 仁”,:求a rcs‘n〔,‘n(一梦,〕的值. 川‘:原式-一‘·〔S‘n(一二一誓)〕 一。rcs;n〔一in(二+誓,, 一ar。5 in(s‘n誓, .丝 7 二、类似地,当x在其它反三角丙数的值域中…     

一道数学竞赛题的几何模型

,、、、,了了 北京市一九五七年中学生数学竞赛高三第二试第3题是 “方程51矛月十si价B十si护C=1中设刁,但A与B+O是锐角, s‘n“》“‘n(即有二一B一OB,C都是锐角,求证:号叹“十”十叮《‘”·从而A》要一B一c,即A 乙十B十。》粤. 艺- 该题的原证法[l1如下:由题设 51护」=1一sin,B一sin,G=cos,B一sin,O =eos,B一sin,Ceos,B+sin,口eos,B 一日i扩O 二eos,刀cos,口一Sin.口Sin,B =(eosBeosC一sinCsinB)(cosBeosO +sinC3inB) 二eos(B+C)eos(B一C).今B和o都是锐角,故eos(B一a))o,从而eos(B+O))0,即B+G也是锐角,因此刁+B十C簇忿…     

每期一题

题:函数习=“inxeo:x 。in: eo。。的最大值是,一___,_.。(1990年高考理科数学题) 1。三角法 解法1夕二sinxcosx sinx cos二=专“详2x 了百成n(x十士幻,当x二2寿”十寺二(k任Z)时,sinZx和sin(x 像一二)同时取得最大值,故夕。。二=专十了万。 解法2’.’,=(1 eoox)(1 “inx)一1 =4eos之士xeo32(十兀一士x)一1 =〔eo。十厂 co。(x一去万)〕“一1 《(专了丁十1)2一1=专 训万,=专十了丁。3,.’百=士(5 inx cosx 1)2一1=于〔训丁:in(x 十二) 1〕2一1(一爹(了丁十1)2一1=专十训丁,故y。。:二士 了丁。 2。不等式法 解法4,.’g《于(s inZ丈十c。…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

第工卷(选择题共45分)参考公式:三角函数的积化和差公式·inac。、=告〔·in‘a+。)+·、·(一。)〕c~叩二sin(。+俘)一。in(。一日)」eos(。+俘)+。05(a一月)]sinasi叩=eos(。+月)一cos(。一俘)」正棱台、圆台的侧面积公式S台,=告‘一+。)‘其中一、·分另。表示上、下底面周长,,表示斜高或母线长球体的体积公式坛=粤二护其中R表示球的半径’环一3’““尸、’‘“一卜、‘,’一,一“J”一一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。(l)设集合A={xl尸一l>o},B=}x一10臣x>o},则A…     

三角函数的复数表示及其应用

④⑤ 设复数:二一玄5 in日,且之之‘sin口,易得eo。夕 isin口,则:=eos夕赶向叫得 cos理夕二11之之=cos口一51、工,,夕=一乡(一 会)扮\劲 22”一卜1一2尹 之2公一1=2万元丁’Cos白二1/1\丁又万十万)=尸一卜〕丽一’5 inn日eos,了口尸倪一:一15 in口二1/~丫一几!Z一22\2一12成“(2’” 1)f.。05夕, 乞5 in口,,之2= ⑥eos夕2①②③之一 一一、、./产Jl一之tg夕=5 inoeos夕之2一1 tg刀口二 另外,卜艺。是n召:,若;则:之:二。o。(口, 夕2)一卜isin(夕,(了“ 1);‘口:)根据棣美弗定理,我们可以得到:22=cos‘乡,一夕2卜isin(口:一o:). ︸沁 2/l、1…     

一九七九年全国高等学校招生考试数学副题及解答(理科)

、计算: 解法1tgs“ etgs“一Zsee8o。·coss。十一万一二己一 5 111勺(6分) 25 in艺5。 eos25“:原式二eos80“eoss“sins“ 25 1 n 10。38eos5Osins“ 2Zsin5Oeoss“=0。解法2:原式二tgs。 。tgs“一 25 1 n10“=tgs“十etgs。- 15 insoeoss。=tgs“ etgs“ sin 25。 eos25。 sins“eoss。=tgs。 etgso一tgs。一etgs。=0。二、在实数范围内分解因式: xs一gax之 27a2x一26a8(a今0)(6分) 在长方体ABCD一A:仑;C:D;中,连结BDs ,.’ AB土AD,.’.BD3=aZ b名 又D;D一平面ABCD, .,. D ID土BD, .’.L2=aZ b“ eZ .’.L=了a, b‘ e“…     

应用三角代换解题

一、证明不等式 例1已知护十5犷一4x,=2,求证:’!x十:}(2了了. 分析:将条件二’十5刀’一4T夕二2的左边配方,得(x一2必’十犷=2.由三角公式sin’8+eo:’口二1,想到(v/丁sins)’+(、/万cos的’二2,故可作如下三角代换,①、②联立解得{X=万二代入}x十川即可。 证明:由x’+5万’一连x万二2得仕一2妇2丫一2刀二了丁s笼no 万二训丁eos口,解得产!、、令 ,曰 一一 万 十令 fx一29== 场二了丁了丁s如力eos白 {认一二了了(51。夕+3cos口) 又夕二了丁co:日.,.}x十刀}=、/丁{5 in夕+3eos夕)=训百。、‘丁6{:;n(口+印)}①②解方程4二、l一“)-(1+x’)侧…     

错在哪里?

一、湖南湘阴一中李一麟李涧源来稿 题:试在能使(亿了十‘)m二(1十:’)’成立的正整数。、”中,分别求出。、n为最小的值。 解法一:(亿丁+‘).=(l+t’).可变为 〔2(cos古北+i。,ln古兀)〕. =〔切百(eos去九+isin去北)〕.,即Zm(eos古协兀+fsin古拼北) =2”2(eos去。二+isin十。二)。依复数相等的条件,得 解法二中,注意了模相等的条件,但却忽视了若。os古。二二cos十,二,并不一定总有5 in古。:二。in去n二。 正确解法是利用“两个非零复数相等2rl且仅当它们的模与辐角的主值分别相等”及“终边相同的角同名函数值相等妙的结论,2范=2“,:eos古…     

一九八八年辽宁省高等师范院校招生考试数学试题(理工类)

一、选择题(本题满分30分,共10个小题,每小题3分) (1)若二任R,P二{(x,一3x一1)+(xZ一sx一6)i,2,1},口二{109‘64,一3},当P门Q={3〕时,则x的值为() (A)6或一1;(B)一1; (C)4或一1;(D)4或6。 (2)下列公式中不正确的是()(遵)。。S夕Sina=告〔55,1(刀+a〕+sin(a一幻〕;(幻eos夕eosa二专〔eos(夕+a)+eos(夕一叮)〕,(C)Sin尽eosa二专〔sin(吞+a)一sin(口一a)〕,(D)Sin夕s呈na二专〔eos(夕+a)一eos(a一夕)〕。 (3)一个大球球面面积是小球球面面积的26倍,那么大球体积是小球体积的() (月)5倍;(B)25倍;(C)125倍; (D)625倍。 (4)当0<日<二/2时,…     

两角和与差的三角函数单元测试

一、选择题 炸sin6x+c os6x的最小正周期是 7T一4 D. 于 等 值 叮一3的 口口一2 C一 A .2叮 B.叮 2.如果ieos夕卜 l 5’ 5叮_ —<沙相似文献   

三角函数

一、选择题 1.如果一个含有3个元素的集合可表示为弋sins,。。50,1},也可以表示为{sin20,sin口 cos口,o},那么sin20o7口 eosZoo,口的值为(). A.0 B.1 C.一1 D.士1x3十sinx一Za=0,4夕3 sin夕eos少 a=0.则cos(x 2刃的值为 9.在△ABC中,已知sin Aco扩C二~,A 3.一万十“‘n以05“万