矩阵的秩的一个定理和线性方程组的同解定理

<正> 本文给出了乘积矩阵的秩定理的一个逆形式,并应用它证明了线性方程组的同解定理。文中的符号同[1],在[1]中有以下定理。定理:两个矩阵的乘积的秩不大于每一个因子的秩。特别,当有一个因子是可逆矩阵时,乘积的秩等于另一因子的秩。     

Binet-Cauchy公式的推广

文章在参考文献[1]的基础上，给出了矩阵乘积的广义行列式的一般公式，推广了Binet—Cauchy公式和行列式乘法定理。     

关于“广义正定矩阵与稳定矩阵的关系”的注记

指出广义正定矩阵与稳定矩阵的关系;介绍文[2]的定理1的证明依赖于文[2]的引理1,而文[1]指出文[2]引理1的证明是错误的,证明文[1]的定理1是正确的。     

秩(AB)≤min[秩(A),秩(B)]的一种证法

关于矩阵乘积的秩,我们有定理1设A是数域P上nxm矩阵,B是数域P上mxs矩阵,于是秩(AB)≤min[秩(A),秩(B)],即乘积的秩不超过各因子的秩.此定理的证明方法有多种,可见[1][2][3].本文结合线性方程组给出一种简捷的证法.引理 如果线性方程组AX=θ的解都是BX=θ的解,则秩(A)≥秩(B).证明 不妨设AX=θ的基础解系含有n一秩(A)个线性无关解,BX=θ的基础解系含有n一秩(B)个线性无关解.     

含0子块行列式的计算

本文总结了4种含0子块行列式的计算,在此基础上,结合初等变换,对定理“两个同阶方阵之积的行列式等于两个方阵的行列式的积（即｜AB｜—｜A｜｜B｜）”给出了一种新的证明方法．     

关于"|AB|=|A|·|B|"的几种简便证明方法

关于"矩阵积的行列式等于矩阵行列式之积"的证明,在教科书中一般采用Iaplace定理给出行列式相乘规则,结合矩阵相乘的定义来进行证明,本文给出证明"|AB|=|A|·|B|"的三种简便方法.     

对“关于《矩阵奇异值的一个不等式》一文注记”的注记

本文指出了[1]定理1是已有结果的特例,我们给出了任意个矩阵乘积的任意 K 个奇异值积的上、下界估计,它们推广、改进了[1]定理2.     

对逻辑代数中一个定理的注记

本文提出了逻辑代数的一个重要引理,从这个引理出发,给出了文[1]中定理2的另一简捷证明.     

关于可测空间中非负可测函数序列积分的不等式

Xie在文献[1]给出了一个关于Borel-Cantelli引理的重要的双边不等式,对Borel-Cantelli引理做了一个新的推广.胡舒合、王学军等在文献[2]中指出了在文献[1]中定理的证明及举例有错误,给出了定理的正确证明和例子的详细分析.本文在上述文献的基础之上,主要通过对文献[1]中双边不等式的研究,将Xie的结果推广到可测空间中的非负可测函数序列,得到相应的不等式.     

行列式乘法规则的另一证法

利用初等变换及行列式的性质,给出行列式乘法规则新的证明.     

关于矩阵乘积的广义行列式

文章在参考文献[1]的基础上，给出了矩阵乘积的广义行列式的一般公式，推广了Binet-Cauchy公式。     

一个基于Abel引理的数列收敛定理

本文给出了不动点理论中的一个数列收敛定理.该定理的证明基于无穷乘积和Abel引理.     

关于一类矩阵乘积的初等变换求法

一般情况下,求两个矩阵的乘积都是利用定义法来解决的,本文讨论用初等变换的方法直接求可逆矩阵的乘积.     

矩阵与其同型矩阵的一个关系

给出了矩阵与其同型矩阵的一个关系,即对于两个m×n矩阵A和B（m≤n）,则一个与另一个转置的乘积的行列式等于它们对应的m阶子式的乘积的和;应用该结论给出了拉格朗日恒等式与契比雪夫不等式的又一证明;利用格兰姆行列式的几何意义,给出了当A=B时该结论的几何解释.     

矩阵初等变换的推广及其应用

初等变换对线性方程组与矩阵的研究都起了很重要的作用，向量组的初等变换的概念到目前为止还未曾见到，它是矩阵初等变换的推广。文章首先引入了向量组的初等变换的概念，然后研究了它的基本性质，最后给出了它在判定向量组的等价、判定向量组的线性相关性、证明秩的有关结论度替换定理的证明等四个方面的应用。     

拉普拉斯（Laplace）定理的新证明

利用排列和行列式的定义给出了行列式拉普拉斯展开定理一种简单证明,并得到了排列的两个性质．     

矩阵乘积秩等于因子秩的一个充分条件

本文从讨论乘积矩阵行向量间的线性关系出发,提出了一个矩阵乘积秩等于因子秩的充分条件,并用此条件证明了关于矩阵乘积秩的几个定理。     

线性方程组等价的充要条件及其应用

给出并证明了齐次和非齐次线性方程组等价的充要条件,由此得到了保秩矩阵乘积的一系列结果.应用该充要条件研究了矩阵方幂秩的规律以及伴随矩阵的性质,并由此给出了两个有关幂等阵和幂零阵的伴随矩阵定理的简捷证明。     

行列式的归纳法定义及其性质的证明

通常高等代数教材中以排列逆序为基础定义n阶行列式的值并证明其性质。为简便,也有教材,特别许多工科教材中用归纳法(或称递推法)定义n阶行列式的值,如[1]、[2]等。但教材中对于这种定义缺少系统的叙述,对于其性质也未给出严格证明。本文拟就系统叙述行列式的这种定义,并由此证明其性质。 定义一 把1~2,2~2,…,n~2个数排成正方形数表,并在两旁画两道竖线     

Euler定理的又一证法

文[1]给出三角形内外重垂心的向量表达式,并证明了Euler定理,但较繁．本文给出较简证法,但须如下两个引理．