圆锥曲线一个性质的完善及推广

《福建中学数学》2005年第9期文[1]给出了圆锥曲线的一个性质定理:定理1过椭圆x2/a2 y2/b2=1焦点弦AB的两端点A、B所作的两条切线的交点必在此焦点所对应的准线上.定理2过双曲线x2/a2?y2/b2=1焦点弦AB的两端点A、B所作的两条切线的交点必在此焦点所对应的准线上.定理3过抛物线y     

抛物线切线与焦点弦的若干关系

抛物线的焦点弦是抛物线定义与性质的交汇点.本文就与其相关的切线探索出若干性质.题目抛物线y2=2px(p>0)上不同两点A、B处的切线交于点Q.求证:若AB过抛物线的焦点F,则(1)AQ⊥BQ;(2)点Q在抛物线的准线上;(3)QF⊥AB.证明设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0).对于y2=2px求导,有2yy’=2p,得     

圆锥曲线的一个性质

定理已知圆锥曲线的准线与x轴相交于点E,过相应焦点F的直线与圆锥曲线相交于A、B两点,BC//x轴交准线于C点,则AC经过线段EF的中点.证明(1)若圆锥曲线为抛物线,不妨设抛物线的方程为2y=2px(p>0).当直线AB的斜率不存在时,显然定理成立.当直线AB的斜率存在时,可设直线AB的方程为:y=     

点击抛物线的焦点弦

抛物线的焦点弦有着很多值得思考的性质,这里略举一二.图1(一)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1 x2 p.这由抛物线的定义很容易得到.(二)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-p2.证明:抛物线y2=2px与直线AB:x=ky 2p,联立得y2-2kpy-p2=0,所以由韦达定理得y1·y2=-p2.(三)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,令|AF|=r1,|BF|=r2,则r11 r12=2p.设抛物线的焦点F2p,0,当直线的斜率不存在…     

抛物线焦点弦几个值得注意的性质

1.对抛物线y2=2px(p>0),AB为过其焦点的弦,A(x1,Y1),B(x2,y2),则有:|AB|=x1+x3+p. 证明:抛物线的焦点为F(p/2,0),准线方程是l:x=-p/2.过A、B分别作AA'、BB'垂直于l,垂足为A'、B'.由定义可知     

圆锥曲线焦点弦与准线的相关性

定理1AC是过圆锥曲线的焦点F的一条焦点弦，则两端点A，C处的切线交点M在与该点F对应的准线l上，而且MF⊥AC．     

盘点抛物线的焦点弦问题

设直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A、B两点(直线AB的倾斜角为α),设A (x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,准线方程为:x=-p/2,则关于抛物线C的焦点弦有以下九条常用的性质:(1)2x1x2=p/4;(2)y1y2=-p2.     

抛物线的一个定理及应用

定理过点(k,0)作直线AB和抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则有x1x2=k2,y1y2=-2pk.证明设直线AB的方程为x=my+k,代入y2=2px,有y2-2pmy-2pk=0.因为直线AB与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,于是y1y2=-2pk.由y21y22=4p2x1x2,得到x1x2=y21y224p2=4p2k24p2=k2.推论(焦点弦定理)若AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1y2=-p2,x1x2=p24.在解决某些与抛物线相关问题的时候,应用该定理和推论的内容,能简洁、快速地解题,同时也能达到优化解题过程的目的.例1如图1所示,线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0…     

椭圆焦点弦切线的两条性质

定理1 椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,设A,B是椭圆上异于长轴的两点,过A,B两点分别作椭圆的两条切线,则切点弦AB过焦点的充要条件为：两条切线的交点N在相应的准线上．     

圆锥曲线定点弦与定直线相关性的推广

经文[1]~[4]的不断研究,文[4]得到了圆锥曲线定点弦与定直线相关性的如下两个性质:性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的过定点F(m,0)(m≠0,且m0,b>0)的过定点F(m,0)(m>a)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=a2/m.性质2抛物线y2=2px(p>0)的过定点F(m,0)(m>0)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=?m.本文将这两个性质推广到一般的情形,以更深刻揭示圆锥曲线的几何特征.定理过定点F(x0,y0)的两条动直线AC、BD分别与圆锥曲线相交于点A、B、C、D.设直线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则(1)当圆锥曲线为椭圆22ax2+by2=1(a>b>0),且F(x0,y0)不为坐标原点时,点M、N的轨迹都是定直线l:xa02x+yb02y=1;(2)当圆锥曲线为双曲线22ax2?by2=1(a>0,b>0),且点F(x0,y0)不为坐标原点时,点M...     

圆锥曲线过焦点的弦

由抛物线的定义可以推出,过抛物线y2=2px(p＞0)焦点(P/2,0)弦AB的弦长与弦AB中点的横坐标有着密切的关系:|AB|=x1+x2+p=2x+p,其中A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),x=x1+x2/2.     

圆锥曲线过焦点的弦

由抛物线的定义可以推出,过抛物线y2=2px(p＞0)焦点(P/2,0)弦AB的弦长与弦AB中点的横坐标有着密切的关系:|AB|=x1 x2 p=2x p,其中A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),x=x1 x2/2.……     

x0x＋y0y=R^2的几何意义及其应用

1 x0x y0y=R2的几何意义 我们知道,若P(x0y0)在圆x2 y2=R2上则x0x y0y=R2是过P(x0y0)点的圆的切线;若P(x0,y0)在圆外,过P点作圆的切线PA,PB,其中A,B是切点,则x0x y0y=R2是直线AB的方程;若P(x0,y0)在圆内,直线x0x y0y=R2与圆x2 y2=R2外离,其几何意义是什么?笔者在研究这个问题时,发现其几何意义是:过P(x0,y0)任作一弦AB,过A,B分别作圆的切线l1、l2,l1、l2交点的轨迹是直线x0x y0y=R2.     

圆锥曲线实用小结论荟萃

为了提高同学们的应试能力,特别是能够快捷地解答有关选择题和填空题的能力,本文归纳总结出圆锥曲线部分的实用小结论,以供参考.1椭圆1)椭圆的一般式方程:mx2 ny2=1(m>0,n>0,m≠n)2)椭圆的面积公式S=πab.3)点P(x0,y0)在椭圆xa22 by22=1(a>b>0)内部xa220 yb202<1;点P(x0,y0)在椭圆xa22 yb22=1外部ax202 yb202>1.图14)椭圆焦点弦及焦点三角形的性质:如图1,设椭圆C:xa22 by22=1(a>b>0),左焦点F1(-c,0),右焦点F2(c,0),P(x0,y0)是椭圆上的一点,则①焦半径公式:|PF1|=a ex0,|PF2|=a-ex0.②椭圆上不同3点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则相…     

2006年高考理科数学(全国卷)21题别解与探讨

(2006年全国卷Ⅱ,理21)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两点,且AF=λFB.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明:FM·AB为定值;(Ⅱ)设△ABC的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.解(Ⅰ)由题意知直线AB的斜率一定存在,设AB的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),又F(0,1),则直线AB方程为y=kx 1,代入x2=4y,得x2-4kx-4=0,由根与系数的关系,得x1 x2=4k,x1x2=-4.对y=41x2求导,得y=21x.所以过抛物线上两点A、B的切线方程分别是y=21x1(x-x1) y1,y=21x2(x-x2) y2,即y=21x1x-41x12,y=12x2x-14x22,解出两条切线交…     

关于抛物线焦点弦的几个命题

设直线MN过抛物线的焦点F,与抛物线相交于M、N两点,则MN称为焦点弦.不妨设抛物线Y2=2px(p>0),MN的斜率为k,倾斜角为θ,M(x1,y1),N(x2,y2),MA、NB分别垂直于准线于A、B点.     

圆锥曲线测试题

gxueshengshidai一.选择题1.过定点P(0,2)作直线l,使l与曲线y2=4(x-1)有且仅有1个公共点,这样的直线l共有()A.1条B.2条C.3条D.4条2.设θ是三角形的一个内角,且sinθ cosθ=15,则曲线x2sinθ y2cosθ=1表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线3.已知F1、F2是椭圆1x62 y92=1的两焦点,经点F2的的直线交椭圆于点A、B,若｜AB｜=5,则｜AF1｜ ｜BF1｜等于()A.11B.10C.9D.164.AB为过椭圆x2a2 by22=1中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB的面积最大值是()A.b2B.ab C.ac D.bc5.椭圆x…     

用抛物线切线性质解2005年的一道高考题

先证抛物线切线的一个性质: 定理已知抛物线y=ax2外任意一点A(x0,y0),抛物线上到点A的距离最小的点为B(x1,y1),则直线AB与抛物线上点B的切线互相垂直.     

一道2013甘肃省预赛试题的解法、源头及推广

正1试题及解法题1(2013甘肃省预赛第9题)如图1,抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,已知点A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则|MN|/|AB|的最大值为     

双曲线的几个有趣性质与应用

笔者最近对双曲线的准线作了些研究,得到了几个十分有趣的性质,供读者参考.定理1　设直线l经过双曲线x2a2 - y2b2 =1 ( a >0 ,b >0 )的焦点F,l交双曲线的两条准线于A,B两点,O是双曲线的中心,e是离心率,l的倾斜角为θ(θ∈( 0 ,π) ) ,则OA⊥OB的充要条件是sinθ=1e2 .证明　由对称性,不妨设l的方程为y= k( x - c) (其中k =tanθ) ,分别与x =- a2c 和x =a2c联立,解得两交点A( - a2c,- a2 c2c k) ,B( a2c,a2 - c2c k) ,故OA⊥OB x A.x B y A.y B=0 ,即a4 k2 ( a4-c4) =0 ,或1 k2 ( 1 - e4) =0 .把k2 =tan2θ代入,即得sin2 θ=1e…