圆锥侧、表面积与体积的关系

定理设圆锥的侧面积、表面积和体积分别为Mc、Mb和V，则（Ⅰ）4Mc^6≥2187π^2V^4（=｜h=√2r）；     

不等式问题错解分析

一不等式性质应用致错例1 a∈[π/4,π/2],1≥sinα且sinα≥cosα则1与cosα的关系,是____. 错解:∵1≥sinα,sinα≥cosα, ∴由不等式的传递性知1≥cosα. 分析:α∈[π/4,π/2],显然cosα≠1.对于不等式的传递性:a>b,b>c(?)a>c.要正确理解带等号的情况.a≥b,b≥c(?) (两个等号同时成立).而由a>b,b≥c或a≥b,b>c均可得到     

赏析一道习题

习题 设n∈N^＊，且n≥2， cosa＋cos（2π/n＋a）＋cos（4π/n＋a）＋…＋cos[2（n-1）π＋a] （1） sina＋sin（2π/n＋a）＋sin（4π/n＋a）＋…＋sin[2（n-1）π/n＋a] （2）的值．     

关于素数个数的又一个不等式

对于正实数x,设π（x）表示适合p≤x的素数p的个数.对于正整数k、n,设fk（n）=π（x）＋π（2kx）＋…＋π（nkx）及Sk（n）=1k＋2k＋…＋nk.证明了：当x≥4且n≥[（k＋1）e1.2]时,fk（n）≥π（Sk（n）x）.     

求级数∞∑n=1 1／n^2和的另一种方法

利用四维空间中的球：U^2 V^2 W^2 Z^2≤1／2π^2x^2，可以求出这个球内整点数A（x)的渐近公式：A（x)=1/2π^2x^2 O(x^3/2)。另一方面，利用不定方程U^2 V^2 W^2 Z^2=n的解数r(n)的表达式求出A（x)的另一个渐近公式，两个结果比较后得级数∞∑n=1 1/n^2的和为π^2/6。     

一道高三数学调研试题的解法探究

题目:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B,（1）求角B（略）;（2）若b=2,求△ABC面积的最大值.一、解法的缘由因第（1）问题求出B=π/4,S△=1/2acsin B=2^1/2/4ac,由余弦定理得4=a2+c2-2ac·cosπ/4     

丢番图方程|(εn--εn)/(ε--ε)|=1的解数

设a,b,c,k是适合a+b=ck,gcd(a,b)=1,∈｛1,2,4｝,k&;gt;1,而且k在c=1或2时为奇数的正整数；又设ε＝（√a+√-b）／√c,-/ε=√a-√-b)/√c。证明了：当（a,b,c,k）≠（1，7，4，2）或（3，5，4，2）时，至多有1个大于1的正奇数n适合|ε^n--/ε^n)/(ε--/ε）|＝1，而且如此的n必为满足n＜1＋（2logπ)/logκ+2563.43(1+21.96π/logκ）的奇素数。     

2013年全国高中数学联赛B卷第10题的推广与证明

问题（2013年全国高中数学联赛B卷第10题）假设a,b,c>0,且abc=1,证明:a+b+c≤a2+b2+c2.这是一道优秀试题,现给出异于参考解答的几个证明.证法1由均值不等式得a2+1≥2a,b2+1≥2b,c2+1≥2c,a+b+c≥33（abc）^1/2=3,相加得a2+b2+c2+3≥2（a+b+c）=a+b+c+（a+b+c）≥a+b+c+33（abc）^1/2=a+b+c+3.     

亚纯函数分担有理函数的唯一性

采用权弱分担值的思想讨论两个亚纯函数fnf′,gng′权弱分担有理函数的唯一性,得到：设p（z）,q（z）为两个互质的n1,n2次多项式,f,g为两个非常数超越亚纯函数,如果fnf′与gng′分担＂（pq（（zz））,m）＂且（1）当2≤m≤∞时,满足n≥max{11,2n1＋4n2＋3};（2）当m=1时,满足n≥max{13,2n1＋4n2＋3};（3）当m=0时,满足n≥max{23,2n1＋4n2＋3},则f=c1Q（z）exp（α（z））,g=c2Q-1（z）exp（-α（z））,其中：c1,c2为2个常数且Q（z）是有理函数;α（z）为满足（c1c2）n＋1（Q′（z）/Q（z）＋α′（z））2≡（p（z）/q（z））2的多项式,或者f=tg,t为常数且满足tn＋1=1.     

三个优美的姐妹不等式

定理1 设a,b,C,d∈R^＋,则有 a^2（a＋b/c＋d）＋b^2（b＋c/d＋a）＋c^2（c＋d/a＋b）＋d^2（d＋a/b＋c）≥（a＋b＋c＋d）^2/4     

一类带有p—Laplace算子的方程解的有界性

研究方程（Фp（x＇））＇＋λ2Фp（x）＋f（x）=e（t）的拉格朗目稳定性,其中Фp（s）=｜s｜p-2s,p≥2为常数;当x→∞时,扰动项f（x）=o（x）;e（t）为2πp周期函数,且πp=2π（p-1）1/p/psinπ/p.     

正锥体侧面积、底面积与体积的关系

定理1 圆锥侧面积Sc、底面积Sd与体积V有关系S^2cSd-Sd^3-9πV^2．     

两个不等式的加强

文[1-2]给出下列的不等式： 1．已知a≥b≥c,求证： 1/a-bb＋1/b-c≥4/a-c…（1）     

2006年第9期问题

49、设a,b,c∈R＋，且a＋b＋c=1，求证：11（a^2＋b^2＋c^2）-3（a^4＋b^4＋c^4）≥32/9。     

2014年江苏省高考数学试卷压轴题的解答、推广及联想

2014年江苏省高考数学试卷压轴题是：已知函数犳0（狓）＝sin狓狓（狓＞0）,设犳狀（狓）是犳狀－1（狓）的导数,狀∈犖。
　　（1）求2犳1（π）2＋π2犳2（π）2的值;
　　（2）证明：对任意的狀∈犖,等式狀犳狀－1（π）4＋π4犳狀（π）4都成立。
　　解（1）由犳0（狓）＝sin狓狓得狓犳0（狓）＝sin狓,两端取导数得犳0（狓）＋狓犳1（狓）＝cos狓①。对①两端取导数,2犳1（狓）＋狓犳2（狓）＝－sin狓②,将狓＝π2代入②得2犳1（π）2＋π2犳2（π）2＝－1。     

用均值不等式证高次不等式

1．设a,b,c∈R^＋,求证： （a＋2b/a＋2c）^n＋（b＋2c/b＋2a）^n＋（c＋2a/c＋2b）^n≥3． 证明a＋2b/a＋2c＋b＋2c/b＋2a＋c＋2a/c＋2b≥3 ←→（a＋2b）（b＋2a）（c＋2b）＋（b＋2c）（c＋2b）（a＋2c）     

期中测试题

一、选择题（每小题3分，共30分） 1．在式子1/a、2xy/π、3a2b3c/4、5/6＋x、x/7＋6/8、10/y、中，分式的个数是（ ） （h）2个（B）3个（C）4个（D）5个     

一道2007女子竞赛题的简证及推广

题目 已知a,b,c≥0,且a＋b＋c=1,求证：√a＋4^-1（b-c）^2＋√b＋√c≤√3,①（2007年女子数学奥林匹克竞赛试题）     

外淼比克不等式的两个加强式的又一证明

安振平先生在文[1]中利用不等式“abc≥（2/∫3）^2△P＂将外森比克不待式a^2＋b^2＋c^2≥4∫3△的加强式：a^2＋b^2＋c^2≥4∫3△＋2/3（a-c）^2＋2/3（a-b^2）＋b＋c）^2＋（c-a）^2给予证明,请观赏。     

此题漂亮，解法多

题目 如图1,在极坐标系Ox中,已知曲线 C1：ρ=4sinθ（π/4≤θ≤π/2）, C2：ρ=4cosθ（π/4≤θ≤π/2或3π/2θ≤2π）.