加强“变式”练习 减轻学生负担

目前初中数学教学,仍普遍存在着学生负担过重,思维训练尤其是创新思维训练没有充分重视的问题。笔者认为,要解决这一问题,主要途径之一应是通过“变式”练习,让学生在一题多解、一题多变中开阔思路,提高思维能力。一、形异实同型“变式”训练为了使学生对知识的本质加以认识,教师在教学中可构造一些形异实同的“变式”练习,强化知识。例:(1)已知x,y为实数,(x-1)2 y 3=0,求x,y的值。(2)已知x,y为实数,x2 2y y2-6x 10=0,求x,y。(3)已知a2 2 b-5=22a,求a-1a-1 6a 2b 1-6 b-6a的值。(4)已知a,b,c为△ABC的三边,且a2 b2 c2=ac bc ab,求证:以a,b…     

课时三 二次三项式的因式分解

例题分析 例1 已知a b=10，ab=21，求(1)a—b的值；(2)a^2 ab b^2的值．     

少一些预设，多一些生成

本文所录的是笔者一次课堂教学的亲身经历,主要内容为教案中的同一道例题,具体讲授于甲、乙两个不同的班级,其教学过程却“意外”地显著不同.例题“已知向量a、b、c”满足|a|=|b|=|c|=1,且a b c=0.求|a-b|的值.甲班的授课实录:教师:求向量模的常用方法有哪些?学生(齐声):利用模     

从教科书一道经典不等式谈起

<正>目前在全国各地使用的普通高中教科书A版数学必修第一册"第二章一元二次函数、方程和不等式"的复习参考题2中安排的第5题:若a, b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范围.这是一道不等式的经典题,是一线教师比较喜欢用的例题,也是学生初学相对比较容易上手的题目.对照以前用的普通高中课程标准实验教科书A版数学必修5"第三章不等式"是没有这种题型的.在笔者教学实践中,每届学生都比较怕用基本不等式求解这种题型,     

一道习题的推广及应用

在有关初中数学竞赛资料中,常有这样一道题: 已知:a·b·c=1,且a·b a 1≠0求代数式a/(ab a 1) b/(bc b 1) c/(ca c 1)的值。解;∵abc=1,且ab a 1≠0∴原式=a/(ab a 1) b·a/(bc·a ba a) 由此我们还易证:若ab=1,a≠-1,则a/(1 a) 1/(1 b)=1 (*),     

习题教学如何培养学生创新思维

国际２１世纪教育委员会在《教育——财富蕴藏其中》这一报告中指出“教育的任务是毫不例外地使所有人的创造才能和创造潜力都能结出丰硕的果实，……习题教学是高三数学复习的重要组成部分，我们应该通过解题最大限度地发挥例题的教学功能，有意识地激发学生的“主体意识”，让学生积极主动地参与教学的全过程，鼓励学生勇于探索，敢于求异，大胆创新，培养学生创新意识和科学思维品质。 下面就复习利用基本不等式a2+b2≥2ab求函数最值时一道习题的教学过程谈谈如何发展学生的创新思维 习题：a，b∈R+，且a+b=3，求n= + 的最…     

经典的解法学生为什么会遗忘——一道求值题的认知分析和解后反思

正在平时的教学中,有这样一道题,学生易懂,但就是易忘,以致于是屡做屡错.题目:设ab0,a~2+b~2-6ab=0,则(a+b)/(b-a)的值等于____.教师给出的经典解法是:由a~2+b~2-6ab=0得a~2+b~2     

教学“利用和积不等式求最值”的一点体会

利用和积不等式“(a b)/2≥(ab)~(1/2)”求最值时,我们熟知有如下定理: 定理一若两个正变数a、b之积a b=P是定值,则当a=b时,其和S=a b有最小值, S最小值=2P~(1/2)。初学者在应用本定理解题时,有一个常犯的错误:他们往往只考虑“ab=P为定值”的先决条件,而忽视“a=b”这另一个先决条件,致使造成不少有关问题的错解。     

浅谈初三数学复习课的例题教学方法

讲解例题是课堂教学中的一个重要环节,它不仅能使学生学会运用所学的基础知识,加强基本技能的训练;并能帮助学生加深对基础知识的理解和记忆;可以不断地启发学生发现问题,提出问题和解决问题;同时也有利于培养学生独立思考的能力。在多年的教学实践中,我认为“学生思考——教师分析——解题小结”三个环节构成了初三复习课例题教学的较佳模式。就以下例来说明复习中如何实施这三个教学环节。 例 已知抛物线y=-x~2 2(m 1)x m 3与x轴有两个交点A,B,且A点在x轴正半轴,B点在x轴负半轴,设OA长为a。OB长为b。当a:b=3:1时,求m的值,写出此抛物线的解析式。     

慎用韦达定理

有这样一道代数题:巳知a~2=7-3a,b~2=7-3b。求(b~2)/a (a~2)/b的值。 对于这道题,一般同学是这样解的:由条件可知a,b是方程 x~2 3x-7=0的两根,故由韦达定理得a b=-3或ab=-7。所以,(b~2)/a (a~2)/b=(a~3 b~3)/ab     

培养发散性思维的几种习题模式

一、“一题多解”,适当进行“一题多变”的训练在教学过程中教师要善于从不同的认识层次、观察角度、知识背景和问题特点进行一题多解、一题多变的训练,久而久之,学生在解决问题的过程中就会思路广阔、方法灵活、不拘一格,反之,如果教师只关注解决问题中的速度、准确性、格式、工整程度等,学生的思维无法发散,遇到新问题只能束手无策、坐以待毙,例如:已知a b=2,求a2 3ab 2b2-a-3b 2的值。学生的作法千奇百怪,有的同学采取“代入消元”的思路,由a b=2得出a=2-b,代入a2 3ab 2b2-a-3b 2中;也有的同学采取“从整体看问题”的策略,把a b当成一个…     

例释求代数式的值

求代数式的值是初中数学非常重要的代数问题,它题型多样,形式多变,是培养学生多向思维和创新能力的一种重要题型。其“代入”思想是解题的主要思想,代入技巧的掌握可以有效地培养学生分析问题的能力和极大地激发学生学习数学的兴趣。1已知字母的值,求代数式的值———基本题型这类题型主要采用单项式代入法例1,已知:a=-1,b=-2,c=21,求代数式4ac-b2值(解略)2未知字母取值,求代数式的值2.1利用已知条件求出字母的值———采用单项式代入法2.1.1利用解方程(组)求字母的值例2,已知:a-2=0,求代数式(3-a)2-2(a-1)+3的值。分析:由a-2=0,可得a=2,代入原式即可求值。例3,已知:(x-2)2+︱x-2y︱=0,求代数式3x一2y2的值。分析:由非负数的性质可知.xx--22y==00得xy==12再代入求值。2.1.2利用因式分解求字母的值。例4,已知:a2-b2+2b-l=0,求3a2-2b2的值。分析:由已知利用因式分解可得(a+b-1)(a-b+1)=0再利用性质“若ab=0,则a=0,或b=0”得到a+b-1=0a-b+1=0即可求出ab==10再代入求值。2.1.3利用概念求字母...     

顺其自然 因势利导

上习题课时 ,教师为了完成预定的教学任务 ,总希望学生沿着教师指定的解题思路进行思考、解答 .学生稍有“越轨”,教师立即点拨 ,纠正“航向”.这样做 ,虽然完成了教学任务 ,但学生的思维和创新能力受到扼制 .到不如让学生自己去实践、去探索 ,然后根据具体情况因势利导 .让学生沿着自己的解题思路走 ,即使走了弯路 ,也未必不是一件好事 ,至少学生能有所发现 ,知道该如何思考问题 .讲了韦达定理 ,笔者安排了一节习题课 ,其中有一道思维要求较高的例题 :已知 :a2 + 8a + 5 =0 ,b2 + 8b+ 5 =0且a≠ b,求 a + b的值 .这次教学 ,一改过去的做法 …     

介绍几种简捷计算方法

简捷计算 ,对学生有极大的吸引力 ,它既可培养学习兴趣、训练敏捷思维 ,还可节约大量的学习时间 ,下面将几种实用性强、思维方法有代表性的简捷计算法介绍给学生 ,希望对今后的计算有所帮助。一、整体代换法例 1 .已知长方体三边 a、 b、 c的和为 1 2 m,一对角线长为 50 m,求它的表面积。此题按习惯思考 ,似乎应根据已知条件先求出 a、b、c再代值计算 ,其实只要把长方体表面积 (ab bc ac)看作一个整体就可得出结果。解 :由 a b c=1 2得 (a b c) 2 =1 4 4 .即 a2 b2 c2 2 (ab bc ac) =1 4 4 .而 a2 b2 c2 =50 ,∴ 2 (ab bc ac) =1 4 4 -…     

求代数式值的解题方法七巧

一、巧用已知条件: 例1:已知a+b=1,求代数式a3+3ab+b3的值. 解:由已知条件可知:(a+b)3=1即: a3+3ab(a+b)+b3=1 ∴a3+3ab+b3=1     

活用数学公式例说

应用数学公式解题时,不仅要学会直接应用,还应学会根据问题的需要,将公式加以变形而活用.下面通过例题来学习这种方法.一、完全平方公式的活用完全平方公式经过适当移项后得a2 b2=(a b)2-2ab.例1已知a、b为方程x2-3x 1=0的两根,求a2 b2的值.解:由韦达定理得a b=3,ab=1,所以a2 b2=(a b)2-2ab=9-2=7.例2分解因式x4 1.解:x4 1=(x2)2 1=(x2 1)2-2·x2·1=(x2 1)2-(2姨x)2=(x2 2姨x 1)(x2-2姨x 1).二、完全立方公式的变形完全立方公式经过移项后得a3 b3=(a b)3-3ab(a b).例3已知x2-5x 1=0,求x3 12的值.解:由韦达定理得x 1x=5,所以x3 1x3=(x 1x)3-…     

"错误"也是"宝"——结合基本不等式求最值中的错解谈错解的功效

基本不等式a＋b/2≥√ab（a,b∈R＋,当且仅当a=b时取“=”）是求函数最值的重要工具，是新教材教学的重点，也是难点。更是历年来高考的热点内容，但在平时的教学过程中发现，很多学生误用此不等式，很多老师也埋怨怎么进过多次后还是出错．事实上在平时的解题过程中，学生经常会遇到错误，关键是教师要善于利用学生的错误资源为教学服务，为学生的发展服务．下面剖析基本不等式求最值中的错解，同时谈谈反思错解的功效．     

由一道题引发的思考

在高二"不等式的证明"这节内容中有这样一道题:已知a,b,c是△ABC的三条边,比较大小:(a b c)24(ab bc ca).这道题的解答可以用特殊值法.取a=b=c=1,得(a     

对一类分式求值题的变式剖析

题目1已知1/a+1/b=1/3,1/b+1/c=1/6,1/c+1/a=1/9.求abc/(ab+bc+ac)值这是一道分式求值问题,如果我们从已知中分别求出a、b、c,再代入所求分式,显然是一件非常困难的事,考虑到将所求分式取倒数化简,就可以得     

一类基本不等式题型的最值

本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型（x+y）（a/x+b/y）（x,y,a,b都是正数）的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab^1/2≤（a+b）/2（a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab^1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p²/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S^1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求（x+y）（1/x+4/y）的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值.