一道组合题的多种解法与启示

一道组合题：从6双鞋中选4只鞋，恰好有一双鞋的选法有多少种?     

排列组合中一类“放球入盒”问题的解法

“放球入盒”问题可以分为两类.一n个不同的小球放入m个不同的盒子里例17个不同的小球放入7个不同的盒子里,有几种不同的放法?分析:先将7个小球全排列,然后依次将小球装入7个盒子里,共有A77=7!种.不能同时将球和盒子都作全排列,因为将球全排列后,每个盒子都有可能装到每个小球.例27个不同的小球放入7个不同的盒子里,恰好有一盒子是空盒,则共有几种不同的放法?分析:运用乘法原理中的分步要不重复,不遗漏.对于本题,第一步,选一盒为空,有C17种;第二步,从7个不同小球中选两个成一组,有C27种;第三步,从剩余的6个空盒中选一空盒装已选的2个球,有…     

平淡出新意 反思觅优解——芜湖市九年级期末考试第23题阅卷反思

<正>通过近两天半的阅卷工作,笔者完成了2021年芜湖市九年级期末考试第23题近千份试卷的批阅任务,感触颇深.本题源自2020年山西省中考数学倒数第2题.参考答案只提供了一种解(证)法,解法过于"标准"和单一,本题还有没有其他解法?纵观试卷中学生的答题,现将第(2)问的各种精彩解法呈现出来,供各位同仁教学参考.     

回味无穷的一道课本复习题

现行高中《平面解析几何》(必修本)复习参考题二第10题是:在椭圆x245 y220=1上求一点,使它到两焦点的连线互相垂直.(以下称原题)此题看似简单却回味无穷,在教学中可从多角度探究其潜能.1　原题的解法探究本题的解法较多,下面仅给出具有代表性的几种解法.解1　设欲求点为P(x0,y0),∵左、右焦点为F1(-5,0),F2(5,0),则PF1⊥PF2,故有kPF1·kPF2=y0x0 5·y0x0-5=-1,即x20 y20=25.又由椭圆方程得x2045 y2020=1.联立两方程解得x20=9,y20=16.由对称性知欲求的点P为(3,4),(-3,4),(-3,-4),(3,-4).解2　∵∠F1PF2=90°,∴以F1F2为直径且过点P的…     

一道传统概率题的多种解法及深层次联系

问题9支足球队参加亚洲地区2006年奥运会足球预选赛,把9支球队任意地分为3组,试求中、韩两队恰好分在同一组的概率.解法1(先无序均匀分组,再求概率):将9个队平均分成三组,该试验共有n=C933C3!6C33种等可能结果.事件“9个足球队中,中韩分在同一组”,可以先从其余7队中任选1队到中韩所在的组,有C71种选法;剩下的6队再均匀分成两组,有C263C!33种方法.因此“中韩分在同一组”包含了m=C712C36!C33种结果.因此该事件的概率为P=nm=C71C36C332!C93C36C333!=41.解法2(先有序均匀分组,再求概率):将9个队平均分到A组、B组、C组,该试验共有n=C93…     

认识本质 领悟深刻

下面提出的三个问题是我们经常碰到的问题.为服务教学第一线,笔者对其给出详细的解答,供师生参考.1.游览问题题目13个班分别从5个风景点中选择1处游览,不同选法的种数是35还是53?[高中数学(人教版B)第二册(下)第88页].解法15个风景点中的每个风景点3个班都可以选择,共有35种不同的选法.解法23个班中的每个班都可以选择5个风景点中的一个,共有53种不同的选法.解法33个班分别从5个风景点中选择1处游览的不同选法等价于从集合A={1,2,3}到集合B={a,b,c,d,e}的映射的个数.可分为三类:第一类3对1,共有5种可能情况;第二类:2对1和1对1,共有C23A25…     

排列组合应用题的几个特殊解法

排列组合应用题题型灵活多变，解题技巧性很强.本文介绍几个解排列组合应用题的特殊方法.现结合实例作简要介绍，供参考.一、集合法用集合观点、文氏图方法，可以将元素间的关系直观、简捷地表示出来，分类时不重复不遗漏，学生也乐于接受.例1某校有篮球队员10名，其中7人能打锋，5人能打卫，现选3锋2卫出场比赛，共有多少种选法？解设A＝（能打锋的队员），B＝｛能打卫的队员｝，则如图示，设C1＝A∩B，C2＝A∩B，C3＝A∩B，则所求的选法数可分为以下三类：第一类：从C1中选1人，C2中选2人打锋，从C3中选2人打卫，有第二类；从C1中选…     

对一道填空题的看法

（一）题目：将(a-4b)/(a~(1/2)+2(b~(1/2)))分母有理化得＿＿＿＿。这是我省今年中考数学试题第一题的第（5）题，“参考答案”上给出的结果是：a~(1/2)-2(b~(1/2)。它是如何得到的呢？由于本题是填空题，所以在试卷上很难反映出来。但是，笔者今年在指导初三数学复习时，恰好让学生训练过这道题。当时有这么几种解法：     

2013年湖北高考数学试题理科13题

题目 设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=____. 本题言简意赅,内涵朴实、解法多样,思想鲜活,是一道难得一见的好题,下面提供6种解法,供同行参考. 解法1 (柯西不等式法)由柯西不等式得:     

图形定位与解题

先看下面两题:题1 过双曲线x/16-y/9=1左焦点F_1 的弦AB=6.设F_2 是右焦点.求△ABF_2 周长.题2 过双曲线X~2-Y/3=1左焦点F_1的弦AB=3.设F_2 是右焦点.求△ABF_2的周长c这两题的统一解法是使用直线的参数方程.题1利用双曲线定义有更简单的处理方法.事实上.如图1.|AF_2|-|AF_1|=2a=8 ①|BF_2|-|BF_1|=8 ②① ②得|AF_2| |BF_2|=16 |AF_2| |BF_1|又|AF_1| |BF_BF_2|=|AB|=6.周长=|AF_2| |BF_2| |AB|=28     

一道与平行有关的解析几何模拟题解法探究

<正>1.问题呈现图1(2022年常州市高三期末考试第22题)如图1,已知椭圆C:■的左焦点坐标为F(-2,0),离心率■.点A是椭圆上位于x轴上方的一点,点B(1,0),直线AF、AB分别交椭圆异于A的点M、N.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线MN平行于x轴,求点A的横坐标.本题关键词是平行,题干简洁,内涵丰富,通过探究发现解法多样,     

一类恒成立转化问题的纠错与反思

<正>一、问题的提出江苏省某高三期末数学试卷上有这样一道解析几何题,题目以及答案如下:试题1如图1,已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点P(4/3,b/3),以AP为直径的圆恰好过右焦点F2,(1)求椭圆C的方程;(2)若动直线m与椭圆C有且只有一个公共点,试问:在x轴上     

一道课本直线方程习题的解题策略

<正>习题 经过点A(1,0)的直线l被直线2x-y=0和x+y+2=0所截得的线段恰好被点A平分,求直线l的方程.这是北师大版高中数学选择性必修第一册第26页习题1-1B组第6题.本题相当于知道线段(弦)的中点,求线段所在的直线方程.以下几种解题策略,对于二次曲线的“中点弦”问题同样适用.一、待定斜率法解法1 易知直线x=1与直线2x-y=0和x+y+2=0的交点分别为B(1,2)和C(1,-3),     

圆锥曲线上两点关于直线对称问题解法探究

我们经常看到一类问题 :已知圆锥曲线和一直线相交 ,试判断圆锥曲线上是否存在两点关于直线对称及相关问题 .对于这类问题 ,学生往往处理得不够得当 ,为此 ,本文以一个题为例 ,通过六种方法探究此类题的解法 .例　已知抛物线C :y =ax2 -1(a ≠0 ) ,直线l:x+y =0 ,在抛物线C上是否存在两点P、Q关于直线l对称 ,若存在 ,求出实数a的取值范围 ,若不存在 ,说明理由 .分析　要求出a的取值范围 ,其关键是如何建立关于a的不等式 ,根据本题的具体条件 ,可以归纳出下列六种解法 :解法 1　区域法假设抛物线C上存在两点P(x1 ,ax21 -1)、Q(x2 ,ax22 -1…     

对排列组合中一类错误解法的探讨

问题:从8位男同志和5位女同志组成的科研组中任选3名代表,问至少有1名女同志的选法有多少种?见文[1]。 解法:分两步完成,首先从5位女同志中任选1名,选法有C_5~1种,其次从剩下的12位中再任选2名(可以是2女或1女1男或2男),选法有C_(12)~2种,以上两步连续完成后就可保证选出的3名代表中至少有1名女同志,故由乘法原理知,选法有C_5~1·C_(12)~2=330种,这与该题的标准答案230种相差甚多,解答肯定是错误的,那么究竟错在哪里呢?本文将对这类错误进行一些探讨。 解决排列组合问题,一般既可以分类完成,也可以分步完成。     

一道全国联赛试题的多种解法

2001年全国高中数学联赛第11题是这样的:函数 的值域是_. 本题解法较多,在不同的数学思想指导下,可以得到不同的解题思路,现归纳如下. 一、运用方程的思想,可以得到如下的解法 解法1(反函数法)由 得 由(2)得x=(2-y2)/(3-2y),代入(1)得y≥(2-y2)/(3-2y),∴1≤y≤3/2,或y≥2,故函数的值域是{y|1≤y≤3,或y≥2}.     

酒杯中的学问——对一道课本题的探究

<正>一、课本题赏析例1一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是χ²=2y(0≤y≤20).在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,那么玻璃球的半径r应满足什么条件?本题是苏教版选修2-1第68页第10题.它是以抛物线为背景的一道应用题,转化为数学问题后可以从不同的视角求解.解法1(几何法)设玻璃球轴截面所在     

絮话着色——从一道高考试题谈起

20 0 3年全国普通高等学校招生统一试题数学理科第 15题 (文科第 16题 )是一道图形着色问题 ,这类问题是排列组合教学中的一个难点 本文以这道试题 (下文中的例 1)为话题 ,谈谈这类问题的常规解法 ,并给出一个简单的计算公式 ,供同行参考 例 1　如图 1,一个地区分为 5个行政区域 ,现给地图着色 ,要求相邻区域不得使用同一颜色 ,现有4种颜色可供选择 ,则不同的着色方法共有多少种(以数字作答 ) 解法 1　先给区域 1着色 ,有Ｃ1 4 种 ,再给区域 2着色 ,有Ｃ1 3 种 ,给剩下的三个区域的着色方法可分如下两类 图 1　　　　　　　　图 2( 1)将…     

湖南省1997年初中毕业统一考试 物理试卷

一、本题共40分,每小题给出的答案中只有一个是正确的,把正确答案的序号填人题后的括号内,每小题选对得2分,错选或未选得0分.1.我国照明电路的电压值是:（）A.110伏.B.380伏,C.220伏.D.36伏.     

猴子分苹果

美籍华人李政道博士在中国科技大学访问时曾对少年班的同学提出了这样一个问题:海滩上有堆苹果,这是5只猴子共同的财产,它们要平均分配,第1只猴子来了,它左等右等别的猴子都不来,它把苹果分成5堆,每堆一样多,还剩1个,它把剩下的1个扔到海里,自己拿走了5堆中的一堆;第2只猴子来子,它又把苹果分成5堆,又多1个,它又扔掉1个,拿走1堆走了.以后每只猴子来了都如此办理.问原来至少有多少个苹果?最后剩下的苹果至少有多少个?这个问题确实有一定难度,解法也很多.下面介绍一种比较容易理解的算术解法.分析第1只猴子将苹果分成5堆还多1个苹果,如果在原…