例析没有数字的数学问题

数学离不开数 ,但在日常生活中没有具体数字的数学问题比比皆是 .这类问题由于没有数字的信息或启发而常使学生望而生畏 ,不知道怎样才能转化为数学问题 .本文通过实例对此类问题略作分析 .例 1　在糖水溶液中再加些糖 ,则糖水变的更甜了 ,这是为什么 ?请从数学角度加以分析 .分析　常识告诉我们 :在糖水溶液中再加些糖 ,糖水变的更甜了 ,这是因为加糖后的糖水溶液的浓度变大了的缘故 .从数学的角度分析 ,只要能说明加糖后的溶液浓度比原来溶液浓度大即可 ,这是两个数 (浓度 )的大小比较问题 .不妨设原溶液为ｂ克 ,溶质为ａ克 ,ｂ >ａ>0 ,此…     

生活中的不等式

不等式和方程一样,在我们的生活中比比皆是. 问题一在a克糖水中含有6克糖(a＞6＞0),现再加人m克糖,糖水变得更甜了.这一实际问题说明了数学上的一个不等式,你能说出这个关系式吗?     

探究一道不等式

<正>例1已知:a、b、m∈R+,且a相似文献   

例析“糖水不等式”的应用

<正>一、"糖水不等式"及其背景问题如果用b千克白糖制出a千克糖溶液,则糖的质量分数为b/a;若在上述溶液中a再添加千克白糖,此时糖的质量分数增加到(b+m)/(a+m).将这个事实抽象为数学问题,并给出证明.这是人教A版教材选修4-5不等式选讲中的一道例题.可以把上述事实抽象为如下     

巧用P＋3Q≥R证明三角形不等式

数学素质教育的核心问题是培养学生的数学创新能力 .笔者注意在不等式证明的教学和兴趣小组辅导中引进创新方法 :Ｐ -Ｑ -Ｒ法 ,巧用定理 :Ｐ 3Ｑ≥Ｒ证明一类三角形不等式 ,收到了较好的效果 ,现介绍给读者 .定理　△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ ,并记Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3 ,　　　Ｑ =ａｂｃ,Ｒ =ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 ,则　　　　　Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ .　　证明　考虑到三角形两边之和大于第三边 ,有(ａ -ｂ) 2 (ａ ｂ -ｃ)=ａ3 ｂ3 -ａ2 ｂ -ａｂ2 -ｂ2 ｃ-ｃａ2 2ａｂｃ≥ 0 ,(ｂ-ｃ) 2 (ｂ ｃ -ａ)=ｂ3 ｃ3 -ｂ2…     

用函数方法巧证不等式

用函数方法证明不等式 ,常常能够方便地给出证明 .用函数方法证明不等式的关键是结合不等式的结构特征构造适当的函数 ,以便于利用这一函数的有关性质证明所给的不等式 .例 1　若ａ >ｂ>0 ,ｍ >0 .求证 :ａｂ >ａ +ｍｂ+ｍ.证明　令 ｆ(ｘ) =ａ+ｘｂ +ｘ.由ａ>ｂ可设ａ =ｂ+ｃ(ｃ >0 ) ,则ｆ(ｘ) =ｂ+ｘ +ｃｂ +ｘ =1+ｃｂ +ｘ.当ｘ∈ (0 ,+∞ )时 ,ｆ(ｘ)为减函数 .∵　ｍ >0 ,∴　ｆ(ｍ) <ｆ(0 ) .即 ａｂ >ａ+ｍｂ+ｍ.注　用函数方法证明不等式 ,往往要利用所构造函数的单调性 .例 2　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ .证明 :ａ2 +ａｃ+ｃ2 +3ｂ(ａ+ｂ+…     

“加糖不等式”的妙用

新、老教材中,不等式的证明方法部分都有这样一个不等式:如果a>b>0,m>0,那么b/a相似文献   

关于一道三元分式不等式链

一类三元分式不等式证明的数学问题 ,屡见于数学竞赛和多种数学杂志征解题中 ,绚丽多姿 .其证明方法虽有多种 ,但颇具难度 .传统证法往往因题而异 ,孤立施证 ,因而难以看出诸不等式之间的内在联系 ,“只见树木 ,不见森林” .本文提出一道三元分式不等式链 :定理　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,并记Ｐ=ａ2ｂ ｃ ｂ2ｃ ａ ｃ2ａ ｂ,Ｍ=ｂ2ｂ ｃ ｃ2ｃ ａ ａ2ａ ｂ,Ｎ=ｃ2ｂ ｃ ａ2ｃ ａ ｂ2ａ ｂ,Ｌ=ａｂｂ ｃ ｂｃｃ ａ ｃａａ ｂ,Ｒ =ｃａｂ ｃ ａｂｃ ａ ｂｃａ ｂ,Ｑ =ｂｃｂ ｃ ｃａｃ ａ ａｂａ ｂ,则Ｐ≥Ｍ =Ｎ ≥ 12 ∑ａ≥ＬＲ1…     

算术—几何平均值不等式

算术———几何平均值不等式是高中数学解题的重要工具 ,特别是二、三元均值不等式 ,无论是在高考 ,还是在竞赛中都有着广泛的用途 .突破均值不等式的变用、活用以及跨学科应用是本讲需要解决的核心问题 .一、基础知识1 .二元均值不等式及其变形ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) ,ａ ｂ≥ 2 ａｂ　 (ａ ,ｂ∈Ｒ ) ,ａｂ≤ ａ ｂ22 　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) ,ａｂ≤ ａ2 ｂ22 　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) .2 .三元均值不等式及其变形ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ,ａ ｂ ｃ≥ 3 3ａｂｃ ,ａｂｃ≤ ａ3 ｂ3 ｃ33 ,ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ) .3.ｎ元均…     

巧证平均不等式

平均不等式 :若ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,则ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ,当且仅当ａ =ｂ=ｃ时 ,取“ =”号 .教材上已给出一种证明方法 ,笔者再给出如下一种简捷证法 ,供读者学习时参考 .证明　由ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,得ａ+ｂ +ｃ+3 ａｂｃ=(ａ+ｂ) +(ｃ+3 ａｂｃ)≥ 2ａｂ +2ｃ· 3 ａｂｃ=2 (ａｂ+ｃ 3 ａｂｃ)≥ 4ａｂ·ｃ 3 ａｂｃ=4 4 ａｂｃ 3 ａｂｃ=44 3 ａ4ｂ4ｃ4=4 3 ａｂｃ .∴ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ.以上证明中等号成立 ,当且仅当ａ =ｂ,且ｃ =3 ａｂｃ,ａｂ =ｃ 3 ａｂｃ ,即巧证平均不等式@徐有林$云南省巧家县第一中学!654600…     

浅谈数学探究式教学的实施

正一、创设情境,培养学生探究意识例1如果用a千克白糖制出b千克的糖溶液,则其浓度为a/b,若在上述溶液再添加m千克白糖,此时溶液浓度增加到a+m/b+m,将这个实例抽象为数学问题,并给出证明.此题的教学过程中,我设置了如下情境:情境1如果用白糖制出糖水,在糖水中再添加白糖,糖水会变甜,请把这个生活经验抽象为数学问题,并加以证明.情境2房间的采光跟窗户的面积与室内地面面积的比     

不等式P+3Q≥R的本质

近日读了西北师大《数学教学研究》上的一篇文章 (见文 [1]) ,该文研讨了关于三角形三边ａ、ｂ、ｃ的一个不等式Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ ,(1)其中Ｐ = ａ3 =ａ3 ｂ3 ｃ3 ,Ｑ =ａｂｃ ,Ｒ = ａ2 ｂ=ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 .今将不等式 (1)中的Ｒ改记为Ｆ ,从而不等式(1)改写为Ｐ 3Ｑ ≥Ｆ ,(2 )其中Ｐ = ａ3 ,Ｑ =ａｂｃ ,Ｆ = ａ2 ｂ .本文将指出 ,不等式 (2 )本质上等价于著名的欧拉不等式 .首先 ,易知不等式 (2 )可以改写为 ａ3 5ａｂｃ≥ (ａ ｂ) (ｂ ｃ) (ｃ ａ) .(3)　　其次 ,由熟知的恒等式 (其中Ｒ、ｒ分别表示三角…     

两个不等式引起的思索

《中学数学教学参考》2 0 0 2年第 8斯 ｐ .2 7上有这样两个不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ａ ｂ =1,则43 ≤ 1ａ 1 1ｂ 1<32 ,32 <1ａ2 1 1ｂ2 1≤ 85 .经过类比、猜测、证明 ,笔者得到两个新的结果 ,兹介绍如下 .定理 1　若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ａ ｂ=1,则32 <1ａ3 1 1ｂ3 1≤ 169.证明　显然 1ａ3 1 1ｂ3 1≥ 1ａ2 1 1ｂ2 1>32又因为 16ａ3 ｂ3 5≥ 16ａ3 ｂ3 12 18ａｂ≥ 3316ａ3 ｂ3 · 14 · 14 18ａｂ=2 1ａｂ ,所以 2 7(1-ａｂ) ≤ 16(ａ3 ｂ3 2 - 3ａｂ) ,所以 3 (1-ａｂ)ａ3 ｂ3 2 - 3ａｂ≤ 169,所以 1ａ3 1 1ｂ3 1≤ 169.所…     

不等式应用问题分类解析

不等式应用问题是高考应用题命题的重点内容之一 .这类应用题大都以函数的面目出现 ,以最优化的形式展现 ,在解题过程中常常涉及平均值不等式、函数、方程、数列等内容 .本文从最常见的所用不等式模型的角度进行分类整理 ,以便从典型突破 ,从而举一反三 .一、平均值不等式21ａ +1ｂ≤ａｂ≤ ａ +ｂ2 ≤ ａ2 +ｂ22模型例 1　有甲、乙两个粮食经销商 ,各自在同一粮食生产基地购了两次粮食 (假设两次粮价不同 ) .甲每次购粮ｍ千克 ,乙每次购ｍ元钱的粮食 ,试问 :甲、乙两个粮食经销商的购粮方式哪一个更经济些 ?解　设两次粮价分别为每千克ａ1 …     

一类条件不等式的证明体系

成功的解题 ,常常体现在 :善于发现规律 ,巧于利用规律 .这是一类常见的条件不等式证明问题 :题设条件是ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ=1.本文试图揭示其证题规律 ,并巧用其规律 .定理　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,则ａ2 ｂ2 ｃ2 ≥ 13≥ａｂ ｂｃ ｃａ ;①1ａ 1ｂ 1ｃ ≥ 9;②1ａ2 1ｂ2 1ｃ2 ≥ 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ ≥ 2 7;③ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 1;④ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 9;⑤ａｂｃ≤ 12 7,或 1ａｂｃ≥ 2 7;⑥ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7;⑦ａ ｂ ｃ≤ 3;⑧ａｂ ｂｃ ｃａ≤ 1. ⑨　　 (当且仅当ａ=…     

代数变换体系f(r_a,r_b,r_c)=f(x,y,z)导出sum(bc/h_a~2)≥4的不等式链

文[1] 介绍了涉及三角形高线的不等式 :ｒ(5Ｒ-ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 ①文[2 ] 在①的基础上 ,建立的如下不等式 :ｂｃｈ2 ａ ｃａｈ2 ｂ ａｂｈ2 ｃ≥ 4②文[3 ] 建立了比②更强的如下不等式 :ｂｃｔ2 ａ ｃａｔ2 ｂ ａｂｔ2 ｃ≥ 4③　　本文提出如下涉及ｈａ,ｈｂ,ｈｃ 的不等式链 :　　 ｂｃｒ2 ａ≥ 2Ｒｒ = ｂｃｈ2 ａ≥ Ｒｒ 2= ｂｃｔ2 ａ≥ ｂｃｒｂｒｃ ≥4, ｂｃｍ2 ａ④而这一不等式④只须巧用三角形中诸元素的代数变换体系ｆ(ｒａ,ｒｂ,ｒｃ) =ｆ(ｘ,ｙ,ｚ)简证之 .1　三角形诸元素…     

构造矩形巧证不等式

在证明不等式时 ,对题设的条件和给出的数量关系进行观察、分析 ,通过合理的联想 ,构造出与之相关的矩形 ,借助矩形的性质来证明 .这种由数想形 ,利用图形的直观诱发直觉 ,领悟问题的实质 ,快速找到解题的思路 ,可简化运算过程 ,对培养学生的创造性思维能力大有益处 .1　联想矩形的面积公式 ,构造矩形例 1　已知ａ ,ｂ ,ｍ ∈Ｒ ,且ａ<ｂ ,求证ａ ｍｂ ｍ >ａｂ .　　分析　欲证 ａ ｍｂ ｍ >ａｂ ,即证ｂ(ａ ｍ) >ａ(ｂ ｍ) ,由此联想矩形的面积公式 ,可尝试构造矩形来证明 .证明　构造以ａ ｍ ,ｂ ｍ为边长的矩形 ,如图 1所示 ,则Ｓ1…     

构造向量的内积证明不等式例说

向量 ,因它在数学、物理学等领域的广泛应用 ,已经作为当今中学生的必修知识列入了中学数学的教科书。向量作为数形结合的工具 ,不仅能够解决几何问题 ,同样也能够解决代数问题。本文就构造向量 ,利用其内积 (数量积 )证明不等式 ,作一粗浅的探讨。利用向量的内积证明不等式 ,解法极为简捷规范 ,其关键与难点在善于根据题给不等式的结构特征 ,巧构两个向量。现例说如下 :例 1　设ａ、ｂ、ｃ为任意实数 ,求证ａ2 ｂ2 ｂ2 ｃ2 ｃ2 ａ2 ≥ａｂｃ(ａ ｂ ｃ)。证明　设ＯＡ =(ａｂ ,ｂｃ,ｃａ) ,ＯＢ =(ｂｃ,ｃａ ,ａｂ) ,向量ＯＡ与ＯＢ的夹…     

成果集锦

一个不等式猜想的证明猜想见本刊2000年第5期”成果集锦”.证明:猜想的不等式等价于2ａ-ｂ-ｃ 2ｍａ≥ｍｂ ｍｃ,即(2ａ-ｂ-ｃ 2ｍａ)2≥(ｍｂ ｍｃ)2.应用中线公式,展开,有Ｔ=16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ)-8ｍｂｍｃ 8ａ2 11ｂ2 11ｃ2 8ｂｃ-16ａｂ-16ａｃ≥0.①∵(4ｍｂｍｃ)2=(2ａ2 2ｃ2-ｂ2)(2ａ2 2ｂ2-ｃ2)=(2ａ2 ｂｃ)2-2(ａ ｂ ｃ)(-ａ ｂ ｃ)(ｂ-ｃ)2≤(2ａ2 ｂｃ)2,∴4ｍｂｍＣ≤2ａ2 ｂｃ.∴Ｔ≥16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ) 4ａ2 11ｂ2 11ｃ2 6ｂｃ-16ａｂ-16ａｃ=16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ) (2ａ-ｂ-ｃ)(2ａ-7ｂ-7ｃ) 4(ｂ-ｃ)2≥(2ａ-ｂ-ｃ)(16ｍａ 2ａ-7ｂ…     

一个生活问题的数学探究

一、问题提出 "我们喝糖水不够甜时可以选择加点糖"这个问题可以从化学的角度解释:在糖水是不饱和的情况下加糖会增加糖水的浓度,所以加糖后会感觉糖水变甜.同样也可以用数学中的不等式来解释:a+m/b+n＞a/b(a表示糖,b表示糖溶液,m表示加的糖).由于是生活中的实际问题a,b,m还应满足a,b,m∈(0,+∞),a＜b.此时这个生活中的实际问题就转化为一个数学问题: