求y″ py′ qy=Ae~(ax)cos~βx(或 Be~(dx)sin~βx)型微分方程特解的代数方法

一个微分方程可以刻划某系统的运动状态,其通解可以反映该系统所发生的无数不同的过程,而每一个过程又只与一个特解相对应,所以求一个微分方程的通解和特解就显得十分重要。依线性微分方程解的结构定理知,欲求二阶常系数非齐次线性微分方程y″ py′ gy=f(x) (p,q 是常数)的通解,需求(1)的一个特解 y*,再求相应的齐次线性微分方程y″ py′ qy=0的通解 Y,则(1)的通解即为 y=y* Y.     

常微分方程的通解与全部解的关系

本文针对常微分方程只重视研究通解,而忽视全部解的现象,讨论了通解与全部解的关系:微分方程的全部解应由通解与特解、常数解构成;当特解与常数解都能包含于通解时,通解才是全部解;而对全微分方程、线性方程(组),它们的通解就是全部解.由此可以改进常微分方程的教学体系.     

八四级《高等数学》教学要求

第十六章.常微分方程〔教学要求〕1.正确理解微分方程及其阶、解、通解、特解等概念,了解什么是初始条件,初值问题。2.熟练掌握一阶可分离变量方程的解法,掌握一阶线性微分方程的概念。3.熟练掌握一阶线性齐次、非齐次方程的解法。4.掌握二阶线性,常系数微分方程概念及二阶线性微分方程解的结构定理。5.熟练掌握二阶常系数线性齐次方程的通解解法——特征根法及带有特殊右端的二阶常系数线性非齐次方程的特解的解法——待定系数法。     

利用复函数求解二阶常系数线性非齐次方程的一个特解

二阶常系数线性非齐次方程的通解是对应的线性齐次方程的通解与其自身的一个特解之和,而二阶常系数线性齐次方程的通解已经解决.所以求线性非齐次方程的通解,只需求其一个特解.求其特解有常规的方法,这里主要介绍利用复函数求解二阶常系数线性非齐次方程的一个特解,方法要比常规解二阶常系数非齐次方程的方法思路更为统一,因而更易掌握.     

一类常系数非齐次线性微分方程通解和特解的直接解法

提出了求常系数非齐次线性微分方程通解和特解的新方法:先根据方程的结构和特点,令出它的形式解并代入方程,再根据特征根的不同,直接求出方程的通解和特解.     

关于二阶变系数线性微分方程的求解方法

若知道二阶变系数齐次线性微分方程的一个非零特解,则可以求出它的通解。同时也能推导出相应的二阶变系数非齐次线性微分方程的通解。并且本文也给出了一些求二阶变系数齐次线性微分方程非零特解的构造方法。     

二阶变系数线性微分方程的特解

在已知二阶变系数齐次微分方程的一个非零特解的条件下,可以得到该齐次微分方程和与它对应的非齐次微分方程的通解,本文给出了在二阶变系数齐次微分方程的系数满足一定条件下的特解形式.     

常微分方程中的齐次化原理与Green函数

通过介绍齐次线性微分方程的通解及求非齐次微分方程的特解的一种方法，定义了Green函数。     

求二阶复常系数线性非齐次微分方程特解的公式

文[1]提供了求二阶复常系数线性齐次微分方程通解的公式,文[2]介绍了用算子法求复常系数线性非齐次方程特解的方法。这篇短文利用待定系数法,得到了二阶复常系数线性非齐次微分方程特解的简捷求法,即直接利用公式可写出相应方程的特解。     

非齐次线性微分方程的基本解组与通解

研究了非齐次线性微分方程解的基本性质,证明了其基本解组的存在性,并利用基本解组给出了非齐次线性微分方程的通解公式．     

用改进的试探函数法求解Boussinesq方程

对文献<用试探函数法求KdV方程的孤子解>中所提出的试探函数法进行了两点明显的改进,并把它用于求解非线性数学物理中一个非常著名的非线性偏微分方程-Boussinesq方程,从而简洁地求得了其一般形式的指数函数解,据此不但求得了Boussinesq方程的sech2型钟状正则孤波解,而且求得了其csch2型奇异行波解,最后,利用一些熟知的数学关系式,又求得了其若干其它显式精确解,包括三角函数型周期波解等,所得结果包含了已有的结果和一些新的或更一般的结果.本方法可望进一步推广用于求解非线性数学物理中的其它非线性偏微分方程.     

用变量替换法解微分方程

利用变量变换的方法，得到了一系列微分方程的通解。     

几类有关全微分方程问题的求解公式

利用全微分方程的条件，给出一类微分方程的积分因子及通解公式，得出几类全微分方程中未知函数所满足的微分方程，获得未知函数及全微分方程的通解．     

解一阶微分方程的变换方法

我们运用变换的方法,给出几类可用初等解法的一阶微分方程类型及其求解的一般方法.     

复常系数线性微分方程的解法

文[1]仅给出了y″+(a+bi)y′+(c+di)y=0的通解公式,本文先提出一类高阶复系数齐次方程的通解公式。进而利用待定系数法,得到了二阶复常系数线性非齐次方程特解的简捷求法,即直接利用公式写出相应方程的特解。     

高阶和式差一型与正幂函数线性微分方程的解法

通过把高阶和式次数差一阶型线性微分方程化为可逐次积分的线性微分方程,找出了求这类方程通解的方法与理论,把所得定理给出了严格的证明,同时通过对正幂函数高阶和式差一型线性方程的研究介绍了它的应用.     

不稳定型高阶中立型方程正解的存在性与有界振动

本文研究一类不稳定型高阶中立型微分方程正解的存在性与有界振动。证明了在一定条件下不稳定型n阶中立型方程总存在无界正解，并给出了保证偶数阶方程的一切有界解都振动的充分条件及充要条件，全面推广了文献《二阶中立型微分方程解的振动性》（张炳根．科学通报，1989，34（8）：563～566）、《二阶中立型微分方程解的振动性》（庚建设，科学通报，1989，34（22）：1754～1755）、《不稳定型二阶中立型方程正解的存在性与有界振动》（庚建设，张炳根，系统科学与数学，1996，16（1）92～96），中相应结果。     

扰动泛函微分方程的非振动性

研究了二阶非线性泛函微分方程 的解的性态,得到了使该方程的某些类型的解非振动的充分条件.