一个命题及其应用

受文[1]的启发,可得如下的结论: 命题若∑ni=1a2i＝1,(1) ∑ni=1b2i＝1,(2) ∑ni=1aibi＝1,(3) 则ai＝bi(I＝1,2,…,n).(4) 证明 (1) (2)-(3)×2得 ∑ni=1(a2i-2aibi b2i)＝0, 即∑ni=1(ai-bi)2＝0,∴(4)成立.     

柯西不等式的再推广

黄毅老师在文 [1]中给出了柯西不等式的一个变形及其推广 ,本文在此基础上作进一步的推广 .引理 1(赫尔德不等式 )已知 ai,bi ∈ R+ ,i = 1,2 ,… ,n且α +β =1,1)若αβ >0 ,则∑ni=1aαibβi ≤ ( ∑ni=1ai)α( ∑ni=1bi)β2 )若αβ <0 ,则∑ni=1aαibβi ≥ ( ∑ni=1ai) α( ∑ni=1bi) β引理 2　已知 xi,yi ∈ R+ ,i =1,2 ,… ,n1)若 r >1或 r <0 ,则∑ni=1xiyri ≥ ( ∑ni=1yi) r( ∑ni =1x 11 -ri ) 1 -r2 )若 0 相似文献   

关于《几类推广的Minkowski不等式》一文的注记

文 [1 ]建立了如下推广的 Minkowski不等式 :1 )假设 a,b∈ Rn+,则 :∏ni=1(ai+bi) r≥ ∏ni=1air+∏ni=1bir,其中 r∈ R+　　 2 )假设 A(B)是对称 (不必对称 )正定矩阵 ,则 :(det(A +B) ) r>(det A) r+(det B) r.其中 r∈ R+,指出这两个结论未必正确 ,并修正和推广了文 [1 ]、[2 ]的相应结果     

切比雪夫不等式的拓展

设两个实数数列{an}、{bn}: (1) 若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn, 则(1)/(n)∑ni=1aibi≥((1)/(n)∑ni=1ai)((1)/(n)∑ni=1bi);     

一不等式的推广及其应用一例

我们知道,对于二实数a、b有不等式: ab≤(a+b/2)~2 (1)成立,当且仅当a=b时取“=”。不仅如此,我们还可以把它推广到一类特殊复数的情形。定理:对于形如:Z_1=m+ni, Z_2=-m+ni(m、n为实数)的两个复数(明显     

大胡子面具

材料:①旧(jiu)报纸②橡(xiang)皮泥(ni)③塑料布(或者保鲜膜)④水粉(水彩)⑤胶水⑥两根布带(或鞋带)。制作步骤:     

一个含参数的不等式及其应用

由不等式a2 + (λb) 2 ≥ 2λab(a,b∈R ,λ为参数 ) ,得a2 ≥ 2λab-λ2 b2 .由此得到如下一个推论 :若b >0 ,则a2b ≥ 2λa-λ2 b. ( )对于参数λ的任一实数值 ,不等式 ( )总是成立的 ,当且仅当λ =ab 时 ,取等号 .值得重视和有趣的是应用这个不等式可以简捷、巧妙地证明一类分式不等式 .现举例说明 .例 1　设xi >0 (i =1 ,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni=1x2 ixi+1≥ ∑ni=1xi(xn+1 =x1 ) .证明　由xi >0及 ( ) ,得x2 ixi+1≥ 2λxi-λ2 xi+1 .∴∑ni=1x2 ixi+1≥ ∑ni=1(2λxi-λ2 xi+1 )=(2λ -λ2 ) ∑ni=1xi.取λ=1 ,原不等式得证 .例 2　设…     

独特的风铃

材料:药瓶、电光纸、胶(jiao)泥(ni)、硬(ying)纸片、针、线。制作方法: 1.先想办法找到9个小药瓶,把它们洗干     

一道美国竞赛题的推广

题目a、b、c是正实数.证明:(a5-a2 3)(b5-b2 3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.(2004,美国数学奥林匹克)研究该题,笔者发现可以将其堆广.命题若ai∈R ,i=1,2,…,n,则∏ni=1(a2n-1i-an-1i n)≥∑ni=1ain,n∈ .证明:因为ai∈R ,i=1,2,…,n,所以,(ani-1)(an-1i-1)≥0(n∈N )a2n-1i-ani-an-1i 1≥0a2n-1i-an-1i n≥ani (n-1).记Ani=ani (n-1),则由上式知∏ni=1(a2n-1i-an-1i n)≥∏ni=1(Ani).①下面证明∏ni=1(Ani)≥∑ni=1ain.因为1=an1An1 n-1An1=an1An1 1An1 … 1An1,1=1An2 an2An2 1An2 … 1An2,1=1An3 1An3 an3An3 1An3 … 1An3,……1=1Ann …     

whc30的完全解决

whc3 0 (限定的费马问题 ) [1] ,对加权点组{Ai(Pi) }(i=1 ,2 ,… ,n)和任一直线l,试求点x0 ∈l,使得对任何x∈l,∑ni=1AiX0 ·Pi=min∑ni=1AiX·Pi.设平面内n个点为Ai(xi,yi) ,(以l为x轴建立坐标系 ) ,点X (x ,0 )为l上任一点 ,考虑函数f(x) =∑ni=1AiX·Pi=∑ni=1Pi (x -xi) 2 + y2 i,由于 f(x)连续可导 ,且 f′(x) =∑ni=1Pi(x -xi)(x -xi) 2 +yi2 .若存在x0 ,使 f(x)在x =x0 取极值 ,则必有 f′(x0 ) =0 ,由于f′(x)仍可导 ,考虑 f″(x) =∑i=1Piyi2[(x -xi) 2 + y2 i]32下面可分三种情形 :①Pi≥ 0 (至少一个Pi>0 ) ,则 f″(x)…     

一种和式极限的简化求法

利用定积分定义求一些较复杂的和式极限时,常常需要先将和式变形、简化。本文介绍一种较简单的转换方法,可使某些和式极限的求解得以简化。命题设函数 f(x),g(x)皆在 x=0处连续,且(f(x))/(g(x))=a(有限数)。若无穷三角阵(x_(ni)),(y_(ni))(1≤i≤n)的元素满足条件:     

经济数学基础综合练习2

第 6章　数据处理1　填空题1)设有一组数据x1,x2 ,… ,xn,其均值记为 x ,则 ni =1(xi- x) =.2 )一组数据为 2 3,2 5 ,2 2 ,35 ,2 0 ,2 4 ,这组数据的中位数是.2　单项选择题1)设x1,x2 ,… ,xn 是一组数据 ,则其标准差是 (　　 ) .　A 1n ni=1(xi- x) 2 　　　　B 1n ni=1(xi- x) 2　C 1n ni=1(xi- x) 2 D 1n ni=1(xi- x)3　参考答案3.1　填空题1) 0　　 2 ) 2 3.53.2　单项选择1)B第 7章　随机事件与概率1　填空题1)设A ,B ,C是三个事件 ,那么事件A ,C至少一个发生但B不发生表示为 .2 )若事件A ,B满足A+B =U ,AB = 且P(A) =0…     

D_n并图的补图的色唯一性

本文讨论了Pn 与Dn 之间的整除关系 ,由此证明了 :当ni≠ 3k +2 ,ni≠ 5k +3且ni为奇数时 ,(k =1,2 ,… ,i=1,2… ,r) ,则Dn1∪Dn2 ∪…∪Dnr的补图是色唯一的     

关于Vandermonde恒等式衍变式的推导与应用

根据Vandermonde恒等式,提出了4个衍变式:①∑ki=0CinCk-in+k-1-i,②∑ki=1(-1)i-1CinCk-in+k-1-i,③∑ni=0Cia+iCn-ib+n-i,④∑ni=0(-1)iCia+iCn-ib+n-i,利用母函数法或行列式法进行了推导,得出了4个新的恒等式,并利用恒等式证明了杨辉三角子行列式.     

一道数学赛题的物理妙解(高二、高三)

题已知:ai,bi∈R+,(i=1,2,3,…),求证Σaibi/aibi≤Σai·Σbi/Σ(ai+bi). 证法1 柯西不等式因为∑aibi/ai+bi=∑(ai-ai2/ai+bi) =∑ai-∑ai2/ai+bi,根据柯西不等式∑Mi2/ni≥(Σmi)2/Σni得     

吉布斯佯谬

一、吉布斯对系统微观态的配容数进行了什么修正。 设有一经典理想气体组成的系统,该系统的总能量为E。 E=sum from i(ni εi) (1) 这里ni表示能量为εi的粒子数,系统的总粒子数N,很明显,我们有 N=sum(ini) (2) 吉布斯对此系统微观态的配容数进行了修正,按照集合{ni}分布的N个粒子,本来能实现的排列总数,既可分辨粒子的统计权重为     

孝敬爸爸妈妈

放学回家,妮(ni)妮看见爸爸闭着眼睛靠在沙发上,显得很疲倦(juan)。她走过去,轻轻地说:“爸爸,您上班累了,我给您捶(chui)捶背吧。”     

内积的特征向量与常数的内积分解

文章证明了对任意两向量 W和 X的内积 W· X=Σni=1 wixi,存在两个与 W和 X共面的向量 γ1 和 γ2 ,使得 :|γ1 |2 =|γ2 |2 =Σni=1 wixi=W· X。反之 ,对任一大于或等于零的常数 θ(θ≥ 0 ) ,至少可分解为一对 (二维 )向量 W和 X的内积 ,即 :θ=W· X=Σ2i=1 wixi。     

面塑群雁

橡皮泥一盒,小白盘一个。如图(1),先用白橡皮泥搓(cuō)做成雁身。如图(2)搓做出黑色翅膀(chì bǎng),头、眼、嘴、脖、尾,并将它们粘(nián)捏 (niē)在一起。大雁的形状出来后,再用梳(shū)子     

垂心为其顶点的圆内接闭折线的一个性质——兼擂题（65）解答

擂题 (65 ) (熊曾润提供 )　设闭折线A1A2 A3…AnA1内接于圆 ,若它的垂心是它的某个顶点 ,则称闭折线A1A2 A3…AnA1为直顶闭折线。试证明 :若R为直顶闭折线A1A2 A3…AnA1的外接圆半径 ,则∑1≤i相似文献