等差中项和等比中项的推广及应用

数列是高中数学的重要内容之一,它对学习高中数学有着承前启后的作用。在学习数列的过程中不但要通过观察、分析、归纳、猜想,而且还要综合运用相关知识才能解决数列中的一些问题,这些都有助于学     

等差中项和等比中项的综合应用举例

等差中项和等比中项可以贯通于代数、几何、三角几部分知识之间,构造出许多综合题,值得我们注意。若在 a 与 b 中间插入一个数 A,使 a、A、b 成等差数列,那末 A 叫做 a 与 b 的等差中项.若在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a、G、     

巧用等差等比中项性质解题

在高中数学数列这一章节中利用等差与等比中项来解的题目不在少数，但长期以来，在解其他题型数学题目时，他们的作用却很少体现．[第一段]     

隔项等差(等比)数列

1定义 1.1设数列{an}满足an+2-an=d(d为常数),则称数列{an}为隔项等差数列,d为公差.     

等差中项性质的一例巧用

课本中椭圆方程的推导计算量大而繁 ,若抓住定义中｜MF1｜ ｜MF2 ｜=2a(a>0 )构造出等差数列 ,则简单的多 .解　建立以长 ,短轴为x ,y轴的直角坐标系 ,设M(x ,y)是椭圆上的任一点 ,椭圆的焦距为 2c(c>0 ) ,M与两焦点F1和F2 的距离之和等于正常数 2a(a >0 ) ,则F1、F2的坐标分别为 ( -c,0 ) ,(c ,0 ) .由椭圆定义 ,有｜MF1｜ ｜MF2 ｜=2a ,由等差中项的性质可知 :｜MF1｜ ,a ,｜MF2 ｜成等差数列 ,设公差为d( -c≤d≤c) ,则有｜MF1｜=a d ,｜MF2 ｜=a -d .所以(x c) 2 y2 =a d ,　　 ( 1 )(x-c) 2 y2 =a-d .　　 ( 2 )( 1 )…     

等差中项性质的一例巧用

课本中椭圆方程的推导计算量大而繁,若抓住定义中|MF1| |MF2|=2a(a＞0)构造出等差数列,则简单的多.     

等比恒等式与等差恒等式

两恒等式a_n=a_1·(a_2/a_1)……(a_n/a_(n-1))及a_n=a_1+(a_2-a_1)+…+(a_n-a_(n-1))分别被称之为等比恒等式与等差恒等式。在处理很多数列问题时,若能恰到好处地利用这两个恒等式,则会给求解带来很多方便,下面略举几例。 例1 (2002年浙江等21省市高考题)设数列{a_n}满足a_(n+1)=a_n~2-na_n+1,n∈N~+。 (1)当a_1=2时,求a_2、a_3、a_4,并由此猜想出a_n的一个通项公式。 (2)当a_1≥3时,证明对所有的n≥1有: (i)a_n≥n+2; (ii)1/(1+a_1)+1/(1+a_2)+…+1/(1+a_n)≥1/2。 简解:(1)略。 (2)(i)用数学归纳法:①当n=1,a_1≥3=1+2结论成立。     

等比性质的推广和压缩

等比性质:如果a/b=c/d=…=m/n(b+ d+…+n≠0)．那么a+c+…+m/b+c+…+n=a/b． 因为在等比性质中,每个比的分子、分母的 系数都是1,所以在初中几何课本中直接利用 等比性质的题很少,如果根据分式的基本性质 把等比性质推广,或者是把等比性质压缩,使用 推广或压缩后的等比性质做题,就可以简化做 等比性质:如果a/b=c/d=…=m/n(b+ d+…+n≠0)．那么a+c+…+m/b+c+…+n=a/b． 因为在等比性质中,每个比的分子、分母的 系数都是1,所以在初中几何课本中直接利用 等比性质的题很少,如果根据分式的基本性质 把等比性质推广,或者是把等比性质压缩,使用 推广或压缩后的等比性质做题,就可以简化做     

等比性质的推广及应用

等比性质如果，那么．其中≠０且ｂｊ≠０ｊ＝１２…ｎ现把该性质推广如下．推论１如果，则．其中≠０且ｍｊ≠０ｂｊ≠０ｐｊ∈Ｚｊ＝１２…ｎ证明：∵ｍｊ≠０ｂｊ≠０ｐｊ∈Ｚｊ＝１２…ｎ∴，∴＝ｋ，由性质得＝ｋ即＝ｋ．推论２，那么＝ｋｎ．其中≠０，且ｂｊ≠０ｊ＝１２…ｎ证明略下同推论３如果，那么＝ｋｎ．其中≠０，且ｂｊ≠０ｊ＝１２…ｎ推论４如果，那么＝ｋ±ｐｎ．其中≠０，ｂｊ≠０ｐ是定实数且ｐ≠０例１已知，且ａ２＋ｃ２＋ｅ２＋ｈ２＝４试求代数式ａｂ＋ｃｄ＋ｅｆ＋ｈｇ的值．解：∵，∴，由推论２得．∵ａ２＋…     

等差中项纵横谈

众所周知，三数a、A、b成等差数列的充要条件是A＝a b/2，其中A叫做a与b的等差中项．对于一些题设中直接或间接出现形如a b=2A的数学题，如能联想到等差中项的定义，利用等差中项A作代换：a=A d，b=A-d，则能为解题开辟新的途径．下面笔者就从纵横两方面浅谈等差中项在解题中的应用．一、求代数式或三角式的值例1已知x-y=1/2,x~2 y~2=1，求x~2-y~2的值（1982年高考文科试题）．例2己知5tgx xecx=5，求cosx的值．简析略解；本题常规法是，用万能公式求出tgx/2的值．再用万能公式求得cosx的值．而用等差中项方法求解，更为简便．二、解方程…     

由等差中项引出的若干性质及其应用

众所周知,a+b=2A=a,A,b成等差数列,其中A叫做a和b的等差中项.由不等式的基本性质及基本不等式,不难得到如下若干性质:(证明较简单,略.) (1)当a+b=2A时,可设a=A-d,b=A+d; (2)A≥ab~(1/ab);(a,b∈R+,当且仅当a=b时取等号.) (3)1/A2≤1/ab;     

由等差中项引出的若干性质及其应用

众所周知，a b=2A←→a，A，b成等差数列，其中A叫做a和b的等差中项．由不等式的基本性质及基本不等式，不难得到如下若干性质：     

圆锥曲线中的等比性质的推广及应用

笔者在研究椭圆第二定义时,发现椭圆一个有趣的等比性质,并对其推广,现介绍如下：一、问题提出如图1,在椭圆x^/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）中,直线l过焦点F（c,0）交椭圆于A、B两点。     

巧用等差中项解题

众所周知,等差中项是指:若三个数a,A,b成等差数列,则称A为a,b的等差中项.设d为其公差,则a=A-d,b=A d.当所涉题目含有或隐含以上条件时,若能灵活地利用以上结论探求思路。不仅能迅速找到解题的切入点,而且还能避免冗繁的运算,优化解题过程,提高解题速度.     

等差乘等比型数列的求和方法

罗增儒老师在《数学解题学引论》一书中提出,我们探讨解题方法的实质,就是要透过那机械操作的形式去弄清每一个解题方法与什么样的数学知识相联系,与什么样的数学方法相结合。简而言之,数学方法应重在理解,重在本质。对于等差乘等比型数列的求和问题,通常用错位相减法来解决,倘若我们能从问题的根源入手,则这些问题可全盘皆活,水到渠成。     

等差乘等比型数列的求和问题

在学习和考试中,同学们经常遇到这样一类问题：已知数列{cn}满足cn=anbn（an=an＋c,bn=bqn,q≠0O,q≠1）,求数列{cn}的前n项和。同学们一般运用错位相减法解决这类问题,其实若深入分析,还可以用公式法解决这类问题。现就公式的推导、典型运用进行说明。     

在Word 2003表格中等比和等差序列的实现

Excel 2003作为电子表格软件,为方便对大量数据的统计,提供了的等比和等差填充序列功能。Word 2003却没有提供序列填充功能,这与微软公司对它的角色定位不无关系。不过,有时候难免需要在Word文档中制作长表格,并对表中的数据进行排序处理,这时候,就要手工输入序号,特别在遇到对表中的数据进行增减或调整次序操作后,还需要重新修改序号,很麻烦。能不能像Excel一样,实现序列的快速输入和调整呢？其实,Word的公式和函数功能可以帮我们实现这个愿望。     

“等差等比”型数列前n项和公式及其应用

<正>~~     

一个等比性质的推广及其逆命题的探究

题目 如图1，双曲线b^2x62-a^2y^2=a^2b^2（a〉0,b〉0）的实轴为BC，x轴上一个定点D（m，0）（｜m｜〉a），双曲线上一点A（不重合于顶点），过点D作x轴的垂线l，l与AB，AC及双曲线的交点依次为F，E，G，且G是朋的内分点．求证：｜DG｜^2=｜DE｜·｜DF｜．