一个三角不等式的证明与应用

定理 对于αi,βi,γi∈（0,π）,其中i=1,2,且α1＋α2＋β1＋β2＋γ1＋γ2=2π则sinαisinβ1sinγ1＋sinα2sin2sinγ2≤2sin（α1＋α2）/2 sin（β1＋β2）/2sin（γ1＋γ2）/2（1）当且仅当α1=α2,β1=β2,γ1=γ2时,（1）式取等号。     

兄妹同解“公根”题

哥哥上初三,妹妹念初一,星期日兄妹两人一起做数学题．哥哥做的题是：已知关于x的方程X2－（2m＋1）x＋m2＋m＝0…①和mx2＋（m－1）x1＝0…②（1）求证：不论m为何值,方程①总有两个不等实根,方程②总有实根;（2）如果方程①和②有相同的负实根,试求m的值．妹妹做的题是：已知关于x的方程x－2m相同的根,求m的值．哥哥做完了题（1）,却对题（2）束手无策,正在苦思冥想之时,妹妹做好了她的题,拿过来请哥哥批改．好家伙,妹妹竟用了三种解法：解法一由①得x＝2m＋1．由②得2（2x－3m）＝3（x＋m）－6化简得x＝gm-6．①、②的根相…     

勾股逆定理的推广

用导数方法对勾股逆定理进行了推广，得到了如下结果：在△ABC中，若△a~x＋b~x＝c~x，其中x∈R－［0，1」，则1）当x∈（－∞，0）∪（1，2］时，Cmax＝；2）当x∈［2，＋∞）时，Cmin＝．此外，给出了上述结果的两个推论及其应用．     

《一元二次方程》单元自测题

1．填空①当m______时,关于x的方程＝4是一元二次方程．②把方程x2－8x＋9＝0的左边配成一个完全平方式,得③若方程5x2＋mx－6=0的一个根是3,则它的另一个根是________④在实数范围内分解因式4x2＋8x－1＝________⑤方程（X－4)2＝4－X的实数根是③已知方稷2X2－5X－7＝0的两根为X1、x2,则x1＋X2＝___________________已知关于X的方程kx2十kx＋5＝0有两个相等的实数根,则k的值是_____________选择题①解方程（y-3）2＝24的适当方法是（）（A）直接开平方法;（B）配方法;（C）公式法;（D）因式分解法．②下列方程中,没有实数根…     

一元二次方程的公根问题

一元二次方程的公报问题,在各地中考和数学竞赛中经常见到一这类题型的解法一般都可以把两个方程作差,消去二次项后,运用方程理论进行讨论求解．请看下面例谈．例1若关于x的方程x’－。＋2＝0……①与x’,（m十回）。＋m＝0……②有一个相同的实数根,则m的值为（）（96年山东中考题）（A）3;阳广;（C）4;（D）一上解两方程作差,消去二次项,即①－②得一。＋（m＋l）x＋2－m＝0．整理得。＝m－2……③③代人①,得（m－2）’－m（m－2）＋2＝0．解之,得m＝3．当m＝3时,凸l＞0,凸。＞0符合题意故选（A）．例2m为何值时,方程x…     

两个有趣的不等式

阅读文［１］例５－２７时,产生两个联想．命题１　π２６－１ｎ＜∑ｎｋ＝１１ｋ２＜π２６－１ｎ＋１（ｎ∈Ｎ）．证明：由∑∞ｋ＝１１ｋ２＝π２６,有π２６＝∑ｎｋ＝１１ｋ２＋∑∞ｋ＝ｎ＋１１ｋ２＜∑ｎｋ＝１１ｋ２＋∑∞ｋ＝ｎ＋１１（ｋ－１）ｋ＝∑ｎｋ＝１１ｋ２＋１ｎ,得　　π２６－１ｎ＜∑ｎｋ＝１１ｋ２．又　　π２６＝∑ｎｋ＝１１ｋ２＋∑∞ｋ＝ｎ＋１１ｋ２＞∑ｎｋ＝１１ｋ２＋∑∞ｋ＝ｎ＋１１ｋ（ｋ＋１）＝∑ｎｋ＝１１ｋ２＋１ｎ＋１,得　　∑ｎｋ＝１１ｋ２＜π２６－１ｎ＋１．综上得命题１成立．命题２　…     

解三角题常用的变换技巧

一、变函数例１（１９９５年全国高考题）函数y＝４sin（３x＋π４）＋３cos（３x＋π４）的最小正周期是（）A．６πB．２πC．２π３D．π３解用辅助角法将原函数变为y＝５sin（３x＋π４＋）（其中＝arctan３４），所以T＝２３π．选C．二、变角根据角的积、差、倍、半、互补、互余关系和问题的实际情况，对角进行变换，往往可使问题顺利得到解决．常用的变换有：２α＝（α＋β）＋（α－β），β＝（α＋β）－α＝α－（α－β），π４＋α２＝（π２＋α）／２，π４＋α＝π２－（π４－α）．例２已知sin（x－y）·cosx－co…     

问题出在哪儿？

例1 （北京某名校高三高考前夕第4次模拟题）已知函数 f（x）=sin 2x-cos 2x＋1/2sinx（1）求f（x）的定义域;（2）求f（x）的值域;（3）设α为锐角,且tanα/2=1/2,求f（α）的值.答案（1）{x｜x≠kπ,k∈Z};（3）7/5.第（2）问学生常见错解为：错解由（1）得f（x）=2sin xcos x＋2sin2x/2sinx=√2sin（x＋π/4）.     

赏析一道习题

习题 设n∈N^＊，且n≥2， cosa＋cos（2π/n＋a）＋cos（4π/n＋a）＋…＋cos[2（n-1）π＋a] （1） sina＋sin（2π/n＋a）＋sin（4π/n＋a）＋…＋sin[2（n-1）π/n＋a] （2）的值．     

简述高等数学(一)的要点和规律

高等数学（一）主要是研究微积分，以函数在某点附近或某区间上的局部性质和整体性质为研究对象，用极限的思想方法贯穿，又由一元函数推广到多元函数，进而引申到导数和微分积分的结构体系。即函数——极限——导数（微分）——积分。 （一）遇到一个函数，主要是考虑函数的定义域和对应规律，至于自变量和因变量用什么符号表示，那是无关紧要的。 例如：下列几组函数中哪组相同？ ①y＝与y＝x－2 ②y＝πx与s＝πr ③y＝与y＝x＋1 ④y＝与y＝ 答案是②和④相同。因为①和③两组中从y1化为y是有条件的，即定义域不同，所以为不同函数。 （…     

应用复数解题例说

复数在三角、几何、代数中有着极其广泛的应用．利用复数解题的关键是构作适当的复数，本文枚举部份高考题说明复数法的应用．例1已知正方形ABCD相对顶点A（0，－1））和C（2,5）．求顶点B和D的坐标．（1991年全国高考文科试题）解如图运用复数的几何意义构作复数，设OB＝x＋yi，OA＝－i，则AB＝OB－OA＝x＋（y 1）i，由正方形性质得：由复数相等得例2求sin(2arcsin4/5）的值（1962年高考题4题）注意：Imz代表复数z的虚部，Rez代表复数z的实部．例3已知sina＋sinβ＝1/4，cosa＋cosβ＝1/3，求tg（a＋β）的值．（1990年全国高考题…     

一道三角函数题的错解分析

题：求函数ｙ＝ｃｏｓ（π６－２ｘ）的单调递增区间有两位同学作出了以下两种解法：学生甲：因ｙ＝ｃｏｓｘ的单调递增区间为［２ｋπ－π,２ｋπ］,（ｋ∈ｚ）,所以２ｋπ－π≤π６－２ｘ≤２ｋπ,－ｋπ＋π１２≤ｘ≤－ｋπ＋７π１２,（ｋ∈ｚ）．故所求递增...     

中学生课外基本练习题

初中部分1.1如图，已知CO⊥AE，BO⊥DO，O为垂足，则分别与∠BOC互余和互补的角的个数是（）（A）l，0；（B）2，0；（C）1，l；（D）2，1．l.2已知：z＝ct，(x2＋y2＋z2）（a2＋b2＋c2)＝（ax＋by＋cz）2．求：a/x和b/y的值（用t表示）．2．2如图，已知正方形ABCD的边长为a，DF＝b，EB＝c，EF＝DF＋EB，设正方形面积为S，求证：S＝ab＋bc＋ca．3.1已知a、b、c分别是△ABC的三条边长，方程4x2－4a2x＋b4＋c4－b2c2＝0有相等的实数根，且sin2A（bcosB－ccosC）＝acosA（sin2B－Sin2C），试判断△ABC的形状．3.2如图，已知…     

2005年中国数学奥林匹克试题及略解

第一天 郑州1月22日上午8:00～12:30 (每题21分) 一、设θi∈(-π/2,π/2),i=1,2,3,4.证明:存在x∈R,使得如下两个不等式 cosθ1cosθ2-(sinθ1sinθ2-x)2≥0,① cosθ3cos2θ4-(sinθ3sinθ4-x)2≥0,②     

用三角代换t=sinx+cosx解题

一、求函数的最值例１设－π≤x≤π，求y＝１＋sinx＋cosx＋sinxcosx的最值．解设t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t２－１２，y＝１＋t＋t２－１２＝（t＋１）２２（－２√≤t≤２√）．当t＝－１，即x＝π或x＝－π时，ymin＝０；当t＝２√，即x＝π４时，ymax＝３２＋２√．二、求函数的值域例２求y＝sin２x２（１＋sinx＋cosx）的值域．解设t＝sinx＋cosx，则sin２x＝２sinxcosx＝t２－１，y＝t２－１２（１＋t）＝t－１２（－２√≤t≤２√且t≠－１），故所求函数的值域为犤－２√＋１２，－１）∪（－１，２√－１２犦．三、求sinx＋cos…     

利用导数巧解一道最值推广题

文[1]利用赫尔德不等式给出函数f（x）=α√sin x＋b√cos x,x∈（0,π/2）,α,b∈（0,＋∞）的最值问题的推广,美中不足的是赫尔德不等式本身的证明就很繁,其难度不低于该最值问题本身．本文利用新课标新增内容导数来求解,此法具有居高临下、结论深刻全面的优点,现介绍如下,供参考．     

一类错题的剖析

题目已知3sinθ－cosθ＝1，3cscθ－secθ＝1，求sin2θ．此题常有如下几种解法：整理后得sin20一Zsincoos0一手．一—”一’”—一—————————－3方法2”．’3csc0－see0一1，’．3cos0－Silo—Sllco。S0，又’．’3Slflo－。OS0一1，”．2。OS0－ZSllo一511co0s0－1．两边平方后整理得：（sincoos0）’十10sincoos0－3—0，由求根公式得一10士4／7，＿＿＾Sllco0s02～～！－（负号舍去），—““———一2、。、。一，。·’·SinZ0一ZSifl6COS0—－10＋4H．Bte3“．“3csc6－seco＝1，“．3coso－sll6—Sllco。S0，X”…     

一道三角不等式的多种证法

【题目】已知a∈（0,π/2）,求证：sin＋cosa〉1．这是一道三角不等式证明题,下面从不同度思考,给出该题的多种证法．     

一道IMO预选题的两种证法

第39届IMO预选题的第11题：证明：《中等数学》1999年第5期给出了两种不同的妙证，事实上用均值不等式就能证明．证法1由①＋②＋③得：上述不等式都是在x＝y＝z＝1时取等号．　当且仅当x＝y＝z＝1时原不等式取等号．证法2由①＋②＋③得：上述不等式都在x＝y＝z＝1时取等号．当且仅当x＝y＝z＝1时原不等式取等号．一道IMO预选题的两种证法@李来敏$重庆市武隆县中学!408500     

错在哪里

sinθ=|cost|~(1/2) ①题已知 cosθ=|sint|~(1/2) ②其中θ∈[0,1/4π],求参变量t的取值范围。解’∵≤θ≤1/4π,∴ cosθ≠0,①+②得 tgθ|ctgt|~(1/2),由0≤tgθ≤1可得0≤|ctgt|~(1/2)≤1,故有kπ+1/4π≤t≤kπ+3/4π (k∈Z) 解答错了!错在哪里? 对于“若命题f(p)成立,求参变量p的取值范围(数集M)”这类问题,正确答案应该符合两条标准:(1)若数p∈M,则命题f(p)成立(不混杂);(2)若数pM,则命题f(p)不成立(不遗漏)。本题若t=1/4π,