灵活应用幂的运算法则

关于幂的运算法则,我们学习了以下四条:(1)am·an=am+n(m、n为正整数);(2)am÷an=am-n(a≠0 m、n为正整数且m>n);(3)(am)n=nmn(m、n为正整数);(4)(ab)n=anbn(n为正整数).并规定了零指数幂和负整数指数幂的意     

有正确答案吗？

问题一个等腰三角形两边的长是m和n(m>0,n>0,m≠n).求该三角形的周长.看起来“问题”很简单,可这里面隐含着重要的基本概念和基础知识,一不留神,便会解错.原题并没有指明m是腰长,因此要分析情况后给出答案:当腰长为m时,三角形的周长=2m+n;当腰长为n时,三角形的周长=2n+m.上面这种解法对吗?先用具体的数值试一试:设m=2,n=1,由上面的解法便有(ⅰ)当腰长为2时,三角形的周长=5;(ⅱ)当腰长为1时,三角形的周长=4.可是,答案(ⅱ)中边长1,1,2不能构成三角形,这说明答案(ⅱ)有误.还有人这样解:当腰长为m时,若m>n2,则三角形的周长等于2m+n;当腰长为n时,…     

我市中考数学压轴题解析

邵阳市2014年中考数学压轴题:在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x~2-(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于J4、B两点(点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C.(1)若m=2,n=1,求4、B两点的坐标;(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是     

不等式的若干证法

我们知道,不等式的证明方法繁多,各种方法各显其能,一般来说可分为两大类:一类是初等方法,另一类是高等方法。下面浅谈数学分析中所诱导出关于不等式的若干证法。一、单调性:定理:区间I上的可导函数f(x),如果在I内部的x恒有f′(x)>O)(n时(m,n均为自然数)(1+n)m>(1+m)~n     

数列通项an的两个常见变形式的相通性及再创新式

我们知道数列通项 an 具有如下两个常见的基本变形式 :差式变形式 :an=(an- an-1 ) (an+ 1 - an-2 ) +…+(a2 - a1 ) +a1 . 1商式变形式 :an=anan-1· an-1 an-2·…· a3 a2· a2a1·a1 . 21式可以应用于求递推关系式为 :an+ 1 =an+g(n)型数列的通项公式 ;2式可以应用于求递推关系式为 :an+ 1 =f(n)× an型数列的通项公式 .而对求递推关系式为 :an+ 1 =kan+g(n) (k≠ 1 ) ( )型的通项公式就失效 .近期有杂志刊文介绍对 an+ 1 =kan+g(n) (k≠1 )型的通项公式求法 .不外乎两种方法 :其一是将an+ 1 =kan+g(n) (k≠ 1 )转化为 :an- h(n) =k{ an…     

从一道高考题谈“放缩”的策略

先看2004年一道高考数学题:已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n(n≥1).(1)写出数列an的前三项a1,a2,a3;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对于任意的整数m>4,都有1/a4+1/a5+…+1/am<87.这是一道涉及探求递推数列的通项公式,特殊数列求和,放缩法证明不等式的题目,有较强的综合性.下面我们主要分析第(3)题.分析1由(1)、(2)可知:an=3/2[2n-2+(-1)n-1](n≥1),从而要证明的不等式可化为:2/1+6/1+1/10+…+3/2·2/(m-3)+(1-1)m-2+2/3·2m-2+(1-1)m-1<7/8.显然该不等式左边无法直接求和,此时应先对左边每一项进行放大变形,然后再求和.但考虑到左…     

指数概念推广以后应注意什么?

指数概念从正整数指数推广到有理数指数,是深入学习指数运算的需要.本文拟从三个方面谈谈指数概念推广以后应注意些什么. 一、注意正确理解概念 1.明确指数概念推广的背景及意义正整数指数幂有五条运算性质:(1)a~n·a~n=a~(m+n);(2)a~m÷a~n=a~(m-n)(a≠0,m>n);(3)(a~m)~n=a~(mn);(4)(ab)~n=a~n·b~n;(5)(a/b)~n=a~n/b~n(b     

续谈正项等差数列的不等式

文 [1 ]研究了正项等差数列不等式 ,本文继续研究这个问题 .为了方便起见 ,本文约定{ an}是公差为 d的正项等差数列 ,d,m,n,p,l为正整数 ,且 man (i 1 ) man im ,i∈N.因为对于正数 a,b,m,a b ma m,易证引理成立 .定理 1　 (1 ma1 ) (1 ma2 )… (1 man)≥(an 1 an 2 … an ma1 a2 … am) 1 d.(当且仅当 d=1时等号成立 )证明　设不等式的左端为 M.若 d=1 ,则因 1 mai=ai m· 1ai=ai mai,故M=a1 ma1· a2 ma2… an man=am 1 am 2 … am (n- m) · an 1 … an ma1 a2…     

由一道例题得到的三个不等式

高中代数下册(必修本)第七页例2: 已知:a、6∈R~+,并且a≠b。求证:a~5+b~5>a~3b~2+a~2b~3 由其指数特征及证明中的差式(a~5+b~5)-(a~3b~2+a~2b~3)=(a~2-b~2)(a~3-b~3)不难得到命题一:若a_1,a_2∈(?)。m,k∈N,m>k, 则 a_1~m+a_2~m≥a_1~ka_2~(m-k)+a_1~(m-k)a_2~k(当且仅当a_1=a_2时等号成立)。证法与上类似。运用命题一又可得到命题二:若a_1,a_2,……,a_n∈R~-,m,k∈N,m>k,则 (a_1~m+a_2~m+……+a_n~m)/n≥(a_1~k+a_2~k+……+a_n~k)/n。a_1~(m-k)+a_2~(m-k)+……+a_n~(m-k)/n(当且仅当a_1=a_2=……=a_n时等号成立)。证明;把对a_1,a_2,……,a_n两两运用命题一得到的n(n-1)/2个不等式:a_1~m+a_2~m≥a_1~ka_2~(m-k)+     

常见数列通项公式求法综述

设Sn是数列{an}的前n项和,n∈N.题型1:由an=S1 (n=1),求数列{an}的通项公式. Sn-Sn-1 (n≥2),题型1:由an=S1 (n=1),求数列{an}的通项公式. Sn-Sn-1 (n≥2)例1 在数列{an)中,a1 a2 … an=3n,求数列{an)的通项公式.     

分解因式一法

当m-十x十l。n不是3的倍数的正整数,m>n,且m与n之和是3的倍数时,则代数式xm+x”十]必有因式x“.二这是一个分解因式的方法,现证明如下。设f(劝二xm+xn+1,要证xZ十x+1是f(x)的一个因式,只需证明x,,2=一1土亿 2多1是方程f(劣)的根。由于卫主了互左一cos夸物l7n粤·“了“!,2,=(co,夸“sin争)+(co,兰二:i:in卫卫一、n+i 、33,cos竺性干1 sin 3旦塑些 3十COS4拄派3干isin些丝丝 3=2‘l,S鲤望竺卫王.cos~些竺二竺二』王 66油in生些竺竺生cos土业生少王+1令m+n二3k(左=1,2,3,…),由于m>n,m和n均不是3的倍数,所以m一n=3艇1,_~,,、~__‘~‘___/。…     

公式S=(n(n-1))/2的用法

初学几何的同学都学过了公式S=n(n-1)2,下面我们就其在《几何》第一章中的用法加以说明.一、确定线段条数例1　图1中有几条线段?解:由公式S=n(n-1)2(n代表点数,n≥2)知:n=4时,S=4(4-1)2=6.所以图1中有6条线段.图1二、确定连线条数例2　有四个点,每三个点都不在一条直线上,则过其中任意两个点画直线,可以画几条?解:由公式S=n(n-1)2(n代表点数,n≥2)知:n=4时,S=4(4-1)2=6.所以任过两点作直线,可以作6条.三、确定角的个数例3　如图2所示,图中有几个角?解:由公式S=n(n-1)2　　(n代表边的条数,n≥2)知:图2n=4时,S=4(4-1)2=6.故图2中有6个角.四…     

一个求和公式的组合证法

<正> 在高中代数中有这样一个求和公式:12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1). (*)这个公式有各种证明方法,这里提供一种证法,供大家欣赏.这一证法主要运用了组合数的定义及性质Cnk+1=Cnk+Cn(k-1).由n2=(n+1)n-n=2·((n+1)n)/2-n中的((n+1)n)/2可     

巧用等比数列求和公式证明不等式

等比数列求和公式为Sn=a1(11--qq n)(q≠1),有时用此公式证明不等式可简化证明过程.将数列知识与不等式知识相融合,既可培养学生思维的灵活性和创造性,又可简化思路、优化解题过程.一、直接公式法例1求证:1+21!+31!+41!+…+n1!<2(n≥2,n缀N).证明1+12!+31!+41!+…+n1!<1+12+212+123+…+21n-1=1×(11--121n)2=2-12n-1<2(n≥2,n缀N).故原不等式成立.小结本题直接运用等比数列求和公式,起到了立竿见影的效果.二、求和公式的逆用例2已知等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中a1=b1=a,a2=b2=b(b>a>0).求证:当n>2且n缀N时,bn>an.证明an=a+(n-1)(b-a)…     

"原子物理"考查的三个重点内容

原子物理包括原子和原子核两部分知识,是高考的必考内容,年年有试题涉及,其中,命题频率较高的体现在以下三个方面。1玻尔理论、能级跃迁分析这类考题应抓住:(1)原子能量的量子化:若用n表示量子数,En和E1表示对应于n的能级和基态,则有:En=nE21,E1=-13.6eV;(2)跃迁假设:用h表示普朗克常数,ν表示光子的频率,则有hν=Em-En(m>n);(3)原子跃迁的光谱线问题:一群氢原子从n级向基级跃迁可能辐射的光谱线条数为N=n(n2-1)。中画例了1氢原(2子00的54年全个国能理综Ⅰ卷考题)如图1级,并注明了相应的能量E。处在n=4的能级的一群氢原子向低能级跃迁时…     

乘法公式应用大全

我们知道运用乘法公式能使计算简便,然而,能否运用乘法公式简捷计算,关键在于熟练掌握运用技巧.本文所述乘法公式的“六用”技巧,相信一定会使你大开眼界.一、直接用例1计算:(-4m-3n)(4m-3n).解:原式=(-3n)2-(4m)2=9n2-16m2.评注:即使直接应用公式,也别忘了符号变化.二、推广用例2计算:(1)(a b c)2;(2)(m-3n 2)2.解:(1)原式=[(a b) c]2=(a b)2 2(a b)c c2=a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac.(2)由(1)得:原式=m2 (-3n)2 22 2m(-3n) 2(-3n)×2 2m×2=m2 9n2-6mn 4m-12n 4.评注:(1)(a b)2=a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac实际上是完全平方公式的推广;(2)第(2)小题又利…     

运用组合公式求特殊级数的部分和

运用组合公式Cnk=Cn-kn,Ckn+1=Ckn+Ck-1n推导并证明了级数∞n=1∑n(n+1)…(n+k-1)(k∈N,k≥1)的前n项部分和的一般公式;同时给出了级数∞n=1∑nk(k∈N,k≥1前n项部分和的求法.     

关于较宽一类数列的通项公式

数列的通项公式揭示了这个数列的内在规律。中学教材中,对等差数列、等比数列作了重点介绍,本文想在此基础上作一些推广。首先我们定义:multiply from i=k to n f(i)=1(k>n) 定理一:在数列{a_n}中已知a_1且满足 a_n=f(n)a_(n-1)+g(n) (n=2,3,4…)则a_n=a multiply from i=2 to n f(i)+sum from i=2 to n[g(i) multiply from i=i to n-1 f(i+1)] 证明:1°n=2,右边=f(2)a_1+g(2)=a_2 2°假定当n=k时命题成立即     

求递推数列通项公式

数列递推公式的意义:若已知数列的第一项a_1且任一项a_n与前一项a_(n-1)之间的关系可以用一个公式表示.类型1形如a_(n+1)=a_n+f(n).解法:把原递推公式转化为a_(n+1)-a_n=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解.例1已知数列{a_n}满足a_1=1/2,a_(n+1)=     

关于代数的短文十二篇

公式C_(n+1)~m=C_n~m+C_n~(m-1)的一个应用利用组合数性质公式C_(n+1)~m=C_n~m+C=_n~(m-1)可以求形如{n(n+1)…(n+k-1)}的数列的前n项和S_n。 [例1] 求和 S=1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2) 解:1/3!S=1·2·3/3!+2·3·4·/3!…+n(n+1)(n+2)/3! =C_3~3+C_4~3+…+C_(n+2)~3=(C_4~4+C_4~3)+C_5~3+…+C_(n+2)~3 =(C_5~4+C_5~3)+C_6~3+…+C_(n+2)~3=…=C_(n+2)~4+C_(n+2)~3 =C_(n+3)~4=n(n+1)(n+2)(n+3)/4!,