组合中“立体几何题”的解法

一求解方法1.分类(“和”的思路):把问题分成若干类,用分类计数原理处理.分类时要做到不重不漏.2.剔除(“差”的思路):对有限制条件问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况剔除.3.特征分析:常用立体几何概念或其图形分析.4.构造法:构造几何模型.二例题讲解例1空间有10点,无任何三点共线,且无四点共圆,只有某4点共面.求:(Ⅰ)可确定多少个平面?(Ⅱ)可作多少个四面体?(Ⅲ)10个点任两点连线的所有直线中异面直线有多少对?(Ⅰ)解法1(分类方法):在共面4点中分别取2点、1点、不取,在其余6点中相应取1点、2点、3点,则C16C24+C26C14+C36C04+1…     

四面体的“交汇性”

一、与排列组合交汇 例1空间有10个点，任何三个点不共线，任何四个点不共面，过两点作一条直 线，在这些直线中，异面直线的对数是() A .210对B 495对C.630对D.330对 解这10个点可构成C盖砚10个四面体，每个四面体有三对异面直线，因此这210 个四面体一共有210x3=630对异面直线，故选C. 例2四面体的顶点和各棱中点共10个点，在 其中取4个不共面的点，不同的取法共有() A.150种B.147种 C.1科种D.141种 解在这10个点中每次取4个点，有C备种不同 的取法，其中共面的情况有: (1)每个面上的6个点中每次取4个点是共面的， 有4嵘种情况; (2)…     

直线 平面 简单几何体

平面的基本性质基础篇诊断练习一、填空题1.经过一点可以作个平面 ;经过两点可以作个平面 ;经过不在同一直线上的三点可以作个平面 .2 .“若 A、B在平面α内 ,C在直线 A B上 ,则 C在平面α内 .”用符号语言叙述这一命题为 .3.若平面α与平面β相交于直线 l,点 A∈α,A∈β,则点 A l;其理由是 .4 .三条平行线可确定个平面 .二、选择题1.确定一个平面的条件是 (　　 )( A)空间三点 .　 ( B)空间两条直线 .( C)一条直线和一点 .( D)不过同一点且两两相交的三条直线 .2 .下列命题中正确的是 (　　 )( A)空间四点中有三点共线 ,则此四点必…     

一个组合题的误解分析

《高中代数疑难解析》(河南教育出版社)P285例4:圆周上有10个不同的点,任意两个点都可以联结一条弦,(1)这些弦最多能有几个交点?(2)这些交点最多能有几个在圆内? 该书对(1)的解答如下:“.我们知道这10个点最多能连结C_(10)~2=45条弦,……有C_(45)~2=990个交点,……最多有990个交点。”     

谈高考试题中的正方体模型

正方体模型是集线线、线面、面面平行,垂直于一体的立几基本图形,它倍受高考命题者的青睐.在立体几何复习中,进行模型教学,融高考题于一体,创造性地设计、构造新颖,富有启发性的问题,对于把握立体几何中知识和能力要求的高度,提高授课质量,大有裨益.本文以正方体模型为依托,通过图形的演变揭示一些高考题的构成规律.例1 如图1,已知正方体ABCD—A_1B_1C_1D_1的棱长为a,以它的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(’90高考理科试题,叙述略有改变)分析 在8个顶点中取4个顶点有C_8~4个,由于4点共面不构成四面体,故排除正方体各侧面6个,对角面2个,相对棱共面4个,所求的四面体为C_8~4-12=58(个),故选(C).例2 已知某正方体对角线长为a,那么这个正方体全面积是     

争鸣一则

问题空间四点中,如果任意三点都不共线,那么经过其中三点的平面().A·必定有4个B·4个或1个C·3个或1个D·1个观点14点不共面时有4个;4点共面时,把经过了其中4点也认为符合“经过其中三点”,有一个.答案为B.观点24点不共面时有4个;4点共面时,由于该平面经过了其中4点,而不是“经过其中三点”,因而没有符合要求的平面,答案就是4个或0个.基于以上分析,此题为错题.两种观点针锋相对的实质是怎样理解“经过其中三点”,是只“经过其中三点”,还是不只“经过其中三点”(比如可以是4点).那么,问题本身是清楚的,还是含混的;答案是前者,还是后者?争…     

排列概率 错解剖析

一、交点问题:圆内还是圆外【例1】圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数是.A.A412B.A212A212C.C212C210D.C412错解:因为两条直线相交有且只有一个交点,从12个点中任取2个可确定C212条直线,从剩下10个点中任取2个可确定C210条直线,根据乘法原理,有C212C210个交点.分析:这里错误的原因在于这些直线所产生的交点有可能在圆外了,而题目要求这些交点在圆内.正解:因为两条直线相交有且只有一个交点,任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点,有且只有一个.而要得到一个四边形,需要从12个点中取出4个点…     

数学竞赛中的逆向思维

任何事物都有正反两方面,因此解题时逆向思维与正面推导同样重要,在竞赛中,借助逆向思维寻求解答的问题屡有出现,现举例说明如下。一、直接证明途径不明显,可用分析法或反推法例1 平面上给出n个点(n>4),其中无三点共线,证明:至少可找到C_u~2-3个以上述点为顶点的凸四边形(第11届国际竞赛题)。分析:求证有C_u~2-3个四边形,考虑从n-3个点中任取两个的组合,把问题转化     

三棱锥中二面角的基本性质（续）——从一道错题谈起

2三棱锥中二面角的基本性质 如图4,设三棱锥O-ABC的各个侧面与底面所成的二面角O-AB—C、O-BC-A、O-CA—B分别等于α1、α2、α3,相邻两侧面所成的二面角A-OC-B、B-OA—C、C-OB—A分别等于β1、β2、β3．下面讨论这6个二面角所应满足的基本关系式．     

体积的应用

一、求距离我们知道直线和平面间的距离以及两个平行平面间的距离都是通过求点到平面的距离而获得的。而两条异面直线的距离往往也是转化为直线和平面间的距离或两个平行平面间的距离。因此求点到平面的距离就成为求距离的重要手段了。这里我们用体积的办法求距离。例1.如图,在单位正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,求点A与平面A_1BD的距离。考虑三棱锥A_1-ABD其体积为1/3 1/2 1·1·1=1/6。如果以A为顶点A_1BD为底面,则设其高为x,而S_(△A1BD)=(3~(1/2))/4((2~(1/2))~2=(3~(1/2))/2 例2棱锥S-ABC的底面是边长为4(2~(1/2))的正三角形ABC,侧棱SC垂直于底面所在平面,长为2。有一条直线过S点和棱BC的中点,另一条过C点和棱AB的中点,求此两条异面直线的距离。证:如图     

一道排列组合题的讨论

题:平面A上有不在一直线上的三点,平面B上有4个点(没有任何三点在一条直线上),此外不再有任何四点共面,问这些点能构成多少个多面体? 有一种解法认为可构成63个。这道题目的解答需要讨论,因为除B平面上有四点共面之外不再有四点共面,因而除B平面上四点确定的面可以做多而体的面外,其余任何四点构成的空间四边形均不能构成多面体的面,以三角形面作为多面体的面。具体解法讨论如下: (以下讨论均不排除凹多面体)     

中垂线与中垂面及其应用

定义1在平面内,到线段两端距离相等的点的轨迹是一条直线,我们把它叫做这条线段的垂直平分线,即中垂线.定义2在空间中,到线段两端距离相等的点的轨迹是一个平面,我们把它叫做这条线段的垂直平分面,即中垂面.下面我们来看看它们的一些应用.一、求平面个数例1到三棱锥的四个顶点距离相等的平面有几分个?析:以平面两侧点的个数来分类.如图1,设AA1⊥面BCD于点A1,线段AA1的中垂面为α,则α上各点到A、B、C、D四点距离相等.如图2,设EF是异面直线AB、CD的公垂线段,线段EF的中垂面为β,EF⊥AB、EF⊥CD、EF⊥β,所以平面β到A、B、C、D…     

正方体中的组合数问题

本文初步归纳了正方体中比较典型的与组合数相关的问题 ,特介绍如下 .图 1(1 )正方体的1 2条棱中任取两条 ,有 C1 8· C23=2 4种相交的情形 ,有C1 3·C24 =1 8种平行的情形 ,有 C21 2 - C1 8C23- C1 3· C24 =2 4种异面的情形 .其中 C23是指有公共顶点的三条棱任取两条 ;C1 8对应 8个顶点 .C1 3· C24 是指左右水平、前后水平、上下垂直这三种情形的棱各有四条且从中任取两条 .图 2(2 )正方体的 8个顶点中任取 4个 ,能够形成三棱锥的有 C48- 6 - 4 - 2 =5 8种情形 .其中 6 ,4,2分别表示三类 4个点共面的情形 .上下左右前后是正方体的 …     

以空间图形为背景的轨迹问题例析

例1已知平面α∥平面β,直线l奂α,点Pl,平面α、β间的距离为8,则在平面β内到点P的距离为10,且到直线l的距离为9的点的轨迹是()A.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点解析如图所示,设点P在平面β内的射影是O,则OP是平面α、β的公垂线段,OP=8.在平面β内到点P的距离等于10的点到点O的距离等于6,故点的集合是以O为圆心,以6为半径的圆.在平面β内到直线l的距离等于9的点的集合是两条平行直线m、n,它们到点O的距离都等于92-82姨=17姨<6,所以直线m、n与这个圆均相交,共有四个交点.因此,所求点的轨迹是四个点.选C.例2已知正方体ABCD—…     

三类易错的排列、概率问题

1 交点:圆内还是圆外 例1 圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数是___. (A)412A (B)221212AA (C)221210CC (D)412C 错解 因为两条直线相交有且只有一个交点,从12个点中任取2个可确定212C条直线,从剩下10个点中任取2个可确定210C条直线,根据乘法原理,有221210CC个交点.这里错误的原因在于这些相交直线有重复计算且所产生的交点有可能在圆外了,而题目要求这些交点在圆内. 因为两条直线相交有且只有一个交点,任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点,有且只有一个.而要得到一个四边形,需要…     

排列组合题的求解策略

本文就排列、组合题的求解方法作一归纳总结,以揭示这类问题的求解规律.一、剔除法对有限制条件的问题,先以总体考虑,再把不符合条件的所有情况剔除,这是解决排列、组合题的常用策略.【例1】四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中任取4个不共面的点,不同的取法共有()A1150种B1147种C1144种D1141种分析:在这10个点中,不共面的不好寻找,因此采取剔除法,由10个点中取4个点的组合数C410减去4个点共面的个数,即为所求,4点共面的情形可分三类:第一类:四面体中每个面的四个点共面共有4C46=60种;第二类:四面体的每四个棱的中点构成平行四边形,则…     

共三面角的棱锥体积比例定理及其应用

本文提出的定理如下: 定理 平面α、β截顶点为S的三面角得两个三棱锥S—ABC与S—A_1B_1C_1,它们的体积分别为V和V_1,则V/V_1=(SA·SB·SC)/(SA_1·SB_1·SC_1)。     

解某些复数题可以两边同时取模吗?

题:在复平面上,复数α在两点1+i与1-i连线的线段上运动,复数β在以原点为圆心,半径为1的圆周上运动,求(1)复数α+β的对应点的轨迹?(2)复数α~2β的对应点的轨迹?(3)复数α~2的对应点的轨迹?     

利用反证法证明“点猜想”

<正>在平面中有4个点A、B、C、D,每过两点作一条直线,最多可作6条直线,如图1所示.这时,我们就说A、B、C、D四个点构成一个点图,使每条直线上刚好有2个点.这时,我们自然会联想到会不会存在一个点图,使每条直线上刚好有3个点?或者要求放宽一点,使每条直线上至少有3个点呢?显然,这种点图是存在的,如图2所示,A、B、C三点在同一直线上.由A、B、C三点所构成     

存在性智力趣题与抽屉原理

一本数学智力趣题集中有如下三道趣题.1.平面上有1987个点,若其中任何三点中都有两点的距离小于1,则必存在一个半径为1的圆,它至少盖住这1987个点中的994个点.2.一个正方形被9条直线分割,若其中每一条直线都与正方形的一对对边相交,且把该正方形分成面积比为2∶3的两个梯形,则这9条直线中至少有3条直线交于同一点.3.平面上有n(n≥4)个互不相同的点,每两点间用直线段相连,若其中长度为d的线段有n 1条,则这n个点中至少有1点,从该点出发的线段中至少有3条线段长度为d.上述三道趣题有一个共同点,它们都是与数量有关的存在性命题.关于涉及数量的存在性的证明,有一个简单而强有力的武器——抽屉原理:若将sn b个苹果(s,b,n∈N ,0