用判别式法求函数y=(mx~2+nx+p)/(ax~2+bx+c)的值域

如果a≠0,函数可化为 y=m/a+(dx+e)/(ax~2+bc+c)。因而只考虑分式函数y=(dx+e)/(ax~2+bx+c)就行了。 1.b~2-4ac<0。此时对任何实数x,     

分式函数f(x)=(ax~2+bx+c)/(dx+e)迭代的一个问题的探究

用初等方法给出方程f~2(x)=x的所有解,其中f(x)=(ax~2+bx+c)/(dx+e)(a,b,c,d,e∈R)。     

当a+b+c=0时

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

y=dx~2+ex+f/ax~2+bx+c的值域求法的一点注记

利用判别式求函数y=((dx~2+ex+f)/(ax~2+bx+c))(a~2+d~20)(1)的值域的方法是大家熟知的,但不全面地进行讨论,往往仍会发生错误,我们通过例题来说明这一点.例1 试用两种方法求函数y=8/(x~2-4x+5)(2)的值域.(《高中数学教材补充题(第一册)》23页第99道第(2)小题).     

整系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)整数解存在性的讨论

定理1.整系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)存在整数解x=0的条件是c=0;存在整数解x=1的条件是a+b+c=0;存在整数解x=-1的条件是a-b+c=0。证明:x=0是ax~2+bx+c=0的解     

一元二次方程的图象解法

二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),当函数值y=0时,ax~2+bx+c=0就是一个一元二次方程.换句话说,一元二次方程的根即是二次函数.y=ax~2十bx+c的函数值为零时相应的自变量的值.因此,我们可以这样求解一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0):     

关于方程(ax~2+b)/(cx~2+d)=((-dx+b)/(cx-a))~(1/2)的一个定理

在发表文[1]时,编者按中提出了方法的适用范围、可靠性、步骤等尚可探讨.下述定理完满地回答了这一问题.定理方程(*)(ax~2+b)/((cx~2+d)=(-dx+b)/(cx-a))~(1/2)(a,b,c,d∈R,ad≠bc)与方程 (1)(ax~2+b)/(cx~2+d)=x(x≥0)和(Ⅱ){(a~2+cd)x~2+(ad-bc)x+d~2+ab=0,(ax~2+b)/cx~2+d≥0,a~2+cd≠0}等价.     

根与系数的关系在二次函数中的应用

一元二次方程ax~2+bx+c=0和二次函数y=ax~2+bx+c的关系密不可分。在y=ax~2+bx+c中,当y=0时,就变成了ax~2+bx+c=0。而一元二次方程ax~2+bx+c=0的两根x_1,x_2,就是二次函数y=ax~2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。因此,根与系数的关系不但可以用于方程这中,也常用于二次函数之中。 一 求待定系数的值 例1 抛物线y=x~2-(2m-1)x-2m与x轴的     

一元二次方程变形的应用

某些一元二次方程的代数问题,如对方程进行适当的变形后进行代换,常常使所求问题化繁为易.现举例介绍几种常用的变形技巧,供参考.一、将一元二次方程 ax~2+bx+c=0变形为 ax~2=-bx-c,或ax~2+bx=-c 或 ax~2+c=-bx 进行代换     

探究函数f(x)=(ax~2+bx+c)/(dx~2+ex+f)的值域

<正>求函数的值域是我们经常遇到的一类问题,我们往往能够如数家珍地列出许多求函数值域的方法,那么哪些方法适用于求函数f(x)=(ax²+bx+c)/(dx2+bx+c)/(dx²+ex+f)的值域呢?我在平时的学习过程中总结出了三种方法,即判别式法、导数法和均值不等式法。这三种方法各有各的特点,下面介绍一下这些方法的适用情形。     

函数y=(a_1f~2(x) b_1f(x) c_1)/(a_2f~2(x) b_2f(x) c_2)值域的求法

本刊1985年第1期《论函数y=(ax~2 bx c)/(mx~2 nx l)(m≠0)值域的求法》中的方法可以推广,今用该法求函数y=(a_1f~2(x) b_1f(x) c_1)/(f_2f~2(x) b_2f(x)) c_2)的值域。一、如果f(x)的函数值可取一切实数。令u=f(x),转化为该文讨论的函数。 [例1] 求函数y=(sin~2x-2sinxcosx 3cos~2x)/(sin~2x 2sinxcosx-3cos~2x)的值域解:1°当cosx=0时,y=1。 2°当cosx≠0时,该函数可化为 y=(tg~2x-2tgx 3)/(tg~2x 2tgx-3) 因为tgx可取一切实数值,且该函数的分子分母无公因式,于是 (1-y)tg~2x-2(1 y)tgx 3(1 y)=0 则Δ=[-2(1 y)]~2-4×3(1 y)(1-y)≥0 2y~2 y-1≥0     

一道例题的订正

贵刊83年第5期第28页讨论了一道例题: 例6.当(?)(4x-(ax~2-bx+c)~(1/2)=3时,求a,b。解∵(?)(4x-(ax~2-bx+c)~(1/2)=(?)(4x-(ax~2-bx+c)~(1/2)·(4x+(ax~2-bx+c)~(1/2)/(4x+(ax~2-bx+c)~(1/2)=((16-a)x-b)/(4+a~(1/2),(·) 由条件有((16-a)x-b)/(4+a~(1/2)=3,     

一元二次方程变形的应用

某些一元二次方程的代换问题,若对方程进行适当的变形后进行代换,会使所求问题化繁为简。现举例介绍几种常用的变形技巧。一、将一元二次方程ax~2+bx+c=0变形为ax~2=-bx-c,或ax~2+bx=-c或ax~2+c=-bx进行代换     

与ax~2+bx+c相关联的一元二次型

与ax~2+bx+c(a≠0)相关联的一元二次型,在中学数学教学内容中占有重要的地位。本文主要研究它们之间的相互联系及其一些初步的运用。     

探索一类试题的命制规律

近年来高考和竞赛中,经常出现如下一类最值试题,这类试题有一定的难度.本文和大家一起来探索这类试题的命制规律,以期帮助大家提高解决这类问题的能力.题1已知二次函数f(x)=ax~2+bx+c(b>a)对于任意实数x都有f(x)≥0,求(a+2b+4c)/(b-a)的最小值.     

直线与抛物线的位置关系

求直线y=kx h与抛物线y=ax~2 bx c的切点坐标,需要解方程组 y=ax~2 bx c, y=kx h. 此方程组有没有解?如果有解,又有几解?这是直线与抛物线的位置关系问题.这个问题可通过以下方法解决: y=ax~2 bx c, y=kx h ax~2 bx c=kx h ax~2 (b-k)x (c-h)=0. 其判别式为△′0=(b-k)~2-4a(c-h). ①△′>0 直线与抛物线相交,设交点为 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2);     

y=ax~2+bx+c 中的 a、b、c

一、y=ax~2+bx+c中a、b、c的几何意义 1.抛物线开口向上,则(a>0,抛物线开口向下,则a<0;2.抛物线与y轴交于x轴上方,则c>O,与y轴交于x轴下方,则c<0.3。抛物线的对称轴位于y轴左侧,则a、b同号,对称轴位于y轴右侧,则a、b异号。例1 二次函数y=ax~2+bx+c图象如图所示,试决定a、b、c符号。解∵抛物线开口向上,∴a>0,抛物线与y轴交于x轴上方,∴c>0,又对称轴位于y轴左侧,故a、b同号,由于a>0,∴b>0,∴a>0,b>0,c>0。     

巧用二次函数性质证明不等式

根据二次函数y=ax~2+bx+c的图象,可得如下两个性质: 性质1 若a>0,且△=b~2-4bc≤0,则ax~2+bx+c≥0. 性质2 若a>0,且ax~2+bx+c≥0,则△=b~2-4 ac≤0. 利用二次函数的这两个性质,可以简捷巧妙地证明一些不等式,今举数例:     

一道中考题的数形结合分析

1 案例的呈现2005年天津市中考有一道代数综合题:例已知二次函数 y=ax~2+bx+c.(1)若 a=2,c=-3.且二次函数的图象经过点(-1,-2),求 b 的值;(2)若 a=2,6+c=-2,b>c,且二次函数的图象经过点(p,-2),求证:b≥0;(3)若 a+b+c=0,a>b>c,且二次函数的图象经过点(q,-a),试问当自变量 x=q+4时,二次函数y=ax~2+bx+c 所对应的函数值 y 是否大于0.并证明你的结论.本题的核心内容在第(3)问(第(1)、(2)问只是其