求弦的中点轨迹方程的几种方法比较

本文举例说明求二次曲线弦的中点轨迹方程的四种方法.并对各种方法的优劣进行比较和评析.     

略论设而不求与整体消元的解题策略

通过圆锥曲线讲解设而不求与整体消元的解题方法,并利用这种方法归纳弦中点轨迹、中点弦所在直线的规律,给出了解决弦中点轨迹方程、中点弦所在直线方程的方法.     

二次曲线的弦的中点轨迹导数求法

二次曲线的弦的中点轨迹的求解方法可以用代入法、几何法、直线参数方程法等,但这些方法有时比较麻烦。可以利用微分中值定理、导数公式和隐函数求导数法则,求解二次曲线的弦的中点轨迹。     

用等差点法求二次曲线弦的中点轨迹问题举隅

求二次曲线弦的中点轨迹问题,人们通常用直接法、参数法和相关点法求解,这些方法的共同特点是利用题设,建立弦的端点、中点坐标的多个方程组,通过消元得到弦中点轨迹方程,其运算量都比较大.本文根据弦中点坐标与等差数列之间的关系,给出用等差点法求二次曲线弦的中点轨迹方法,并揭示出该解法的简捷性、适用性.     

关于二次曲线弦的中点轨迹的范围

本刊86年第3期《二次曲线中点弦方程和弦中点的轨迹方程》一文例3“过点P(0,1)作直线与抛物线y~2=x相交,求被抛物线截得的弦的中点的轨迹的方程”的答案中说轨迹是抛物线(y-1/2)~2=1/2(x 1/2)位于已知抛物线y~2=x内且在x轴下方的那一段     

利用二次曲线的直径方程求弦的中点轨迹

在中学解析几何中求动点的轨迹,特别是求二次曲线的平行弦与绕定点的转动弦的中点轨迹一般都比较繁难,但如果恰当地使用二次曲线的直径方程,就会较简捷地推出结果.本文仅就二次曲线的直径方程在求二次曲线弦的中点轨迹的应用作一些初步的整理和探讨.     

运用斜率公式解题

求圆锥曲线弦的中点轨迹方程,在教科书和参考书中,都是用消去参数的方法来求出其轨迹方程的。这种方法计算冗长,容易搞错。用斜率公式求弦的中点轨迹方程,只要稍加计算,就能求出其轨迹方程,学生很容易掌握。用斜率公式还能解决一些有关弦的中点的其他问题。为了叙述方便,先介绍圆锥曲线弦的斜率和弦的中点坐标间的关系。如图1所示,AB是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的弦,而M是弦AB的中点。设A、B的坐标分别为(x_1,y_1),(x_2,y_2),弦AB的中点M的坐标为(x,y),     

利用二次曲线的直径方程求弦的甲点轨迹

在中学解析几何中求动点的轨迹，特别是求二次曲线的平行弦与绕定点的转动弦的中点轨迹一般都比较繁难，但如果恰当地使用二次曲线的直径方程，就会较简捷地推出结果．本仅就二次曲线的直径方程在求二次曲线弦的中点轨迹的应用作一些初步的整理和探讨．     

两类中点轨迹方程的一般形式

在解析几何中,经常要求这样两类中点轨迹方程:第一类是求一个定点与二次曲线上任一点的连线的中点轨迹方程;第二类是过一个定点作二次曲线的弦,求弦中点的轨迹方程。本文准备给出这两类中点轨迹方程的一般形式,利用它们,可以直接写出要求的轨迹方程。设一般二次曲线的方程为 Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F=0其中A、B、C不全为零。为了方便起见,我们设f(x,y)=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F,这样二次曲线的     

二次曲线几个结论的矩阵形式

引用实对称矩阵运算和性质推导与表述二次曲线切线方程、平行弦中点轨迹方程、以定点为中点的弦方程。     

圆锥曲线的“共轭直线”及应用

以定点为中点的圆锥曲线弦方程及过定点的动直线与定曲线相交成弦中点轨迹问题,其常规解法是先设直线方程代入曲线方程消元得到一元二次方程再用韦达定理或其它知识求解,其操作并不方便,运算较繁容易出错。本文试给出解这类问题(含切线方程)的一种简易方法。     

探秘圆锥曲线中一类特殊弦的几点性质

在圆锥曲线中,圆与椭圆的图象最为相似,两者的性质也最为接近．例如圆中过定点弦的中点轨迹是圆。椭圆中过定点弦的中点轨迹则为椭圆．一直以来圆锥曲线题型中研究各类线段的中点轨迹最为常见,然而涉及切点弦的中点轨迹却较少,即便有也是限制在抛物线上,例如2013年辽宁高考题（理科）第20题．笔者认为其中主要原因是抛物线的切线方程通过求导容易表达,而椭圆、双曲线的切线方程的形式较为复杂,涉及切线的问题往往难度较大或者计算异常繁琐,课标未作要求,高考一般不予考查．然而涉及切点弦的中点轨迹到底内藏何种乾坤,作为数学教师还是应当一探究竟．下面是笔者的相关探究过程和发现,借此抛砖引：杀．     

有关圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题.这类问题一般有以下三种类型:(1)求中点弦所在直线方程问题;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)求弦中点的坐标问题.其解     

有关二次曲线的中点问题

平面解析几何中,有关二次曲线的中点问题,大致涉及求:“弦所在的直线方程”,“平行弦中点轨迹”,“绕定点转动弦中点轨迹”,“定长弦中点轨迹”,“弦”的长度,这五个方面的问题.一般在解决这些问题的方法上都较繁难.本文就针对这一情况,试以公式化的统一形式给予解决。而使解题方法简单、易行. 设二次曲线为:     

圆锥曲线变动弦中点轨迹方程的统一求法

本文给出圆锥曲线各种变动弦中点轨迹方程的统一求法,这种求法程序简单,便于记忆和应用。在此基础上就几类常见的弦中点轨迹问题分别举例加以说明。 一、一般圆锥曲线变动弦中点轨迹的统一方程及求法 引理:设圆锥曲线C的方程为:F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy 2 Dx Ey F=0（1）记Fx（x,y）=2Ax By D,F＇y（x,y)=Bx 2Cy E假如C以己知点M（Xo,yo）为中点的弦存在,则该弦所在直线的方程为:     

圆锥曲线弦中点轨迹的探讨

<正>1引入例1:直线l过抛物线y²=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例2=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例²:直线l过抛物线y2:直线l过抛物线y²=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x2=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x²=8y相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。分析上述三个例题的轨迹方程,得到如下结论:过抛物线内对称轴上一定点(包括顶点)的直线截抛物线所得弦中点的轨迹是一条以该定点为顶点,通径为原抛物线的一半的抛物线,且所得抛物线开口方向和对称轴与原抛物线相同。     

利用导数求二次曲线的弦的中点轨迹方程

如何求二次曲线的弦的中点轨迹方程,这是中学解析几何中常见的问题之一。目前解决这类问题的主要步骤是:根据所给条件建立弦的参数方程,将它与二次曲线的方程联立后,再求解,得出交点坐标(或将弦的参数方程代入二次曲线的方程后,利用根与系数的关系,求出二根之和),再利用中点坐标公式,便得到二次曲线的弦的中点轨迹参数方程,最后消     

解析几何中的一类中点问题巧解

解析几何中的直线与曲线的关系一直是超级热点,而中点及其相关问题更是经久不衰．这里将对中点弦的存在域给出直观图示,并导出神奇快捷的中点弦方程、弦中点轨迹方程等公式,使解题事半功倍．     

有关圆锥曲线弦中点的问题

有关圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的弦的中点问题,大体可分为两类:一是已知斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(也就是直径)的方程;一是以定点(x_0,y_0)为中点的弦所在直线的方程(中点弦的方程)。下面分别作论述。一、斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(直径)方程定理1.二次曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(即直径)方程是(2A+Bk)x+(B+2Ck)y+(D+Ek)=0①推论二次曲线的直径是一条过斜率为     

圆锥曲线中点弦问题解法探究

<正>直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一,也是高考的热点问题,这类问题一般有以下几种类型:(1)求中点弦所在的直线方程问题;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)弦长为定值时,弦的中点坐标问题等.其解法有点差法、待定系数法、参数法以及中心对称变换法等,但最常用的方法为点差法和待定系数法.一、求中点弦所在直线方程问题【例1】已知一直线与椭圆x24+y22=1交于A、B