圆幂定理在中考计算中的应用

圆幂定理是相交弦定理、割线定理和切割线定理的统称。由于定理的结论均为比例式 ,所以直接用于解比例问题是它们的共同特点。根据教学大纲中关于“圆幂定理应注重于其在计算中的应用……”的精神 ,为帮助学生掌握好这一重要内容 ,本文现以近年来部分省、市中考题为例分类说明如下 ,供学生学习和复习时参考。一、应用切割线定理解中考计算题例 1　如下图 ,PA切○· O于A,PBC交○· O于 B、C,PA=4 3,PC =12 ,则 PB=。 (2 0 0 1年吉林省中考题 )解 :∵ PA=4 3,PC=12 ,由切割线定理得 :PA2 =PB· PC,∴ (43) 2 =12 PB,∴ 4 8=12 PB…     

切割弦定理有妙用

平面几何中有切割弦定理:如图,圆O的切线PA(A为切点)与割线PBC满足关系PA2=PB·PC. 该定理在不等式求最值、求轨迹方程等方面有许多巧妙应用,如均值定理(a b)/(2)≥(ab)(a,b>0)的证明:在上图中割线PBC过圆心O时,设PB=a,PC=b,则PO=(a b)/(2),由切割弦定理PA=(ab),显然PO>PA,再结合a=b有(a b)/(2)≥(ab). 再举几例:     

切割弦定理有妙用

平面几何中有切割弦定理 :如图 ,圆O的切线PA(A为切点 )与割线PBC满足关系PA2 =PB·PC .该定理在不等式求最值、求轨迹方程等方面有许多巧妙应用 ,如均值定理 a b2 ≥ab(a ,b>0 )的证明 :在上图中割线PBC过圆心O时 ,设PB =a,PC=b ,则PO =a b2 ,由切割弦定理PA =ab ,显然PO >PA ,再结合a=b有a b2 ≥ ab .再举几例 :例 1　在平面直角坐标系中 ,在y轴的正半轴 (原点除外 )上给定两点A ,B ,试在x轴的正半轴上求点C ,使∠ACB取得最大值 .　　解析　本题有多种解法 ,利用切割弦定理十分简便 ,如图 1,过点A ,B作一个圆与x轴的正半…     

圆幂定理在几何计算中的应用

初三学生都知道：相交弦定理、割线定理和切割线定理统称为圆幂定理．由于该定理的结论均为比例式，所以直接用于解比例式的习题是它们的共同特点．为帮助初三同学掌握好这一重要内容，了解其在解中考计算题中的应用，本文现以1994年部分省、市启治区的中考题为例分类说明如下：一、应用切割级定理解计算题例1如图1，过国外一点P作圆的一条切线PA和一条割线PBC，A为切点，割线与圆的交点为B、C．若PB＝2cm，弦BC＝6cm，则PA＝（1994年青海省中考题）分析∵PB＝2cm，BC＝6cm，∴PC＝8cm．故由切割线定理得：PA2＝PB·PC＝2×8＝16…     

几何重观 第二章 圆的一些性质

2.1 一点对于一圆的幂我们先回忆一下欧几里德的两个定理:①圆的两条弦 AA′和 BB′相交于 P 点,则 PA×PA′=PB×PB′(图2.1A).②从圆外一点 P 向圆作切线 PT 和割线 PA(PA 和圆交于 A,A′两点)则有 PA×PA′==PT~2(图2.1 B).如果我们把切线看成割线的极限情况,则可以把这两个结果结合起来:定理2.11 如果过 P 点的两条直线分别和一圆交于 A,A′(可能重合)和 B,B′(可能重合),则 PA×PA′=PB×PB′.     

巧妙构圆 简捷求解

在解有关解析几何问题时,可先根据题设条件,构造一个辅助圆,然后运用平几中有关圆的特性将问题转化,使其获得简解·【例1】已知圆O:x2+y2=R2及圆外一点P(a,b),过点P作圆O的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,求直线AB的方程·分析:以P为圆心,以PA为半径构造一个圆,可将问题转化为求两圆的公共弦方程,从而简便求解·如图,由切线长定理及切线的性质得PA=PB,且|PA|2=|PO|2-|OA|2,于是以P为圆心,以PA为半径的圆方程:(x-a)2+(y-b)2=a2+b2-R2,①它与已知圆O:x2+y2=R2,②交于A、B两点·故由①—②得ax+by-R2=0,即为所求直线AB的方程·…     

数学问题与解答—2009年第2期问题解答

756．如图1，线段PA、PB与圆O相切，A、B为切点，PCD是不经过点O的圆O的割线，C在P、D之间，经过点C的圆O的切线交PA、PB于M、N，G是线段CD上一点，且∠CGM=∠CGN，求证：GC=GD．     

天津市’98中考数学第29题的多种证法

题目:已知⊙O的半径为R,过⊙O外一点P作割线PAB不过点O。求证:PA·PB=OP~2-R~2。 本题选自课本练习题,主要考查圆幂定理的部分证明。证法较多,下面给出常见的几种。 证法一:用割线定理证明。 如图1,作割线PCD,且过圆心O。     

数学奥林匹克问题

本期问题 初279如图1,过圆外一点P作圆的切线PA和割线PB1B2,切点为A,交点为B1、B2,再过点P作圆的另一条割线PCD交圆于C、D两点,     

第三章 几何中的函数关系

求两个变量间的函数关系不妨理解为求一个二元方程 ,因为只需一个方程 ,所以此种题目实际上比应用题更为简单一些 .常用内容是相似形 ,即利用相似形对应边成比例建立方程式 ,化简即可 .如有可能应尽量写出自变量的取值范围 .一、例题解析例 1　如图 2 - 3- 1,PA是⊙ O的切线 ,切点为A,PBC是过圆心 O的割线 ,∠ BAD =∠ P,PC=2 0 ,( 1)设 PA=x,BC=y,求 y与 x的函数关系式 ;( 2 )设 PA =10 ,求 AB∶ A C的值和 BD的长 .解 :( 1)∵ PA切⊙ O于 A,PBC是⊙ O的割线 ,∴ PA2 =PB· PC.于是 x2 =( 2 0 - y)× 2 0 .　　 y=- 12 0 x…     

两圆内切的一个性质及应用

两圆内切时有以下一个性质,不妨称作定理(※). 定理(※):半径为 R、r(R>r)的两圆内切于A点,自大圆上任一点P(与A不重合)向小圆引切线,切点为A＇,则PA/PA＇= 证明:如图1,连O1O并延长,则O1O必过A点,设PA交⊙O1于A1,连OP,O1A1,则 PA＇2=PA1·PA,PA’= 因为∠AA1O1=∠A=∠APO, 所以△AA1O1∽△APO,     

课本上一道题目的多种证法

初中平面几何课本第二册第117页第24题:“两个同心圆中.A、B为大圆上的任意两点,过A、B作小圆的割线AXY和BPQ,求证:AX·AY=BP·BQ”.这是一道巩固圆幂定理应用的好题目,有多种证法.     

第七章 圆

一、本章导析圆是初中几何中最为重要的一章 ,它内容多、题型杂、题目活而难 ,又易于与其它内容结合 ,而且中考中所占比例极大 ,是值得我们非常重视的一章 .圆的有关性质、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系是本章重点 .正多边形与圆 (包括弧长、面积、圆锥、圆柱 )应侧重有关计算 .值得强调的是圆周角与相似形在圆中有着极其重要的作用 .二、例题解析例 1　如图 1- 7- 1,P是⊙ O外一点 ,PD为切线 ,D为切点 ,割线 PEF经过圆心 O,若PF =12 ,PD =4 3,求∠ EFD的度数 .解 :连结 D O,∵ PD为切线 ,PEF为割线 ,∴ PD2 =PE· PF.…     

切割线定理的逆定理及其应用

初中课本《几何》第二册 P112切割线定理:已知:点 P 是☉O 外一点,PT 是切线,T 是切点,PA 是割线,点 A、B 是它与☉O 的交点,如图.1,求证:PT~2=PA·PB.笔者这里写出其逆定理和它的应用.     

第六届北方数学奥林匹克邀请赛

第一天一、(25分)已知数列{an}满足 a1=2,an=22nan-1+2n2n(n=2,3…).求通项an(n=1,2,…). (吴树勋供题) 二、(25分)已知PA、PB是☉O的切线,切点是分别是A、B、PCD是☉O的一条割线,过点C作PA的平行线,分别交弦AB、AD于点E、F.     

2005中国西部数学奥林匹克

第一天1.已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.(朱华伟供题)图12.如图1,过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB,A、B为切点,再过点P作圆的一条割线分别交圆于C、D两点,过切点B作PA的平行线分别交直线AC、AD于E、F.求证:BE=BF.(冷岗松供题)3.设S={1,2,…,2005}.若S中任意n个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数,试求n的最小值.(唐立华供题)4.已知实数x1,x2,…,xn(n>2)满足|∑ni=1xi|>1,|xi|≤1(i=1,2,…,n).求证:存在正整数k,使得|∑ki=1xi-∑ni=k+1xi|≤1.(冷岗松供题)第二天图25…     

妙用圆的性质求向量最值

1．利用圆的割线求最值例1已知a,b是单位向量,a·b=0．若向量c满足｜c-a-b｜=1,则｜c｜的取值范围是（）     

一个易被忽视的比值

如图,已知PT切圆O于T,PAB是圆O的割线,连结AT,BT.于是就形成了切割线定理的基本图形.很多同学一看见这个图形,就会立即想到结论:PT~2=PA·PB.而对AT/TB却不大注意.但是     

说明平行的四种常用方法

一、同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行. 例1如图1,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,PA是⊙O的切线,A为切点,割线PBD过圆心,交⊙O于另一点D,试说明PA∥BC.解∵PA是⊙O的切线,∴∠PAB=∠2.∵AB=AC,∴∠1=∠2.∴∠PAB=∠1.∴PA∥BC.     

又一组与圆有关的等积线段

相交弦定理、切割线定理反映的是两组与圆有关的等积线段或比例线段 ,这是再介绍一组 ,供同行参考 .命题 :三角形外接圆上任一点到三角形各顶点的距离与到各顶点所对边的距离之积相等 .此命题试证如下 :设△ABC内接于⊙O ,P是⊙O上任一点 ,连结PA、PB、PC ,分别作PA′⊥BC ,PB′⊥AC ,PC′⊥AB ,垂足分别A′、B′、C′.求证 :PA·PA′ =PB·PB′=PC·PC′ .证明 :( 1 )当点P与A、B、C三点中某一点重合时 ,由点与点 ,点与直线的距离的规定可知此时 :PA·PA′ =PB·PB′ =PC·PC′=0 .( 2 )当点P不与A、B、C三点中任…