一道向量题的推广

题目:设点G在△八刀C的内部，且GA十GB GC二0，则△〔粥C的面积与△八刀C的面积之比是剖析:由GA GB GC二0，可知G为△八BC的重心，易知△GBC的面积与△月BC的面积之比为1:3.把题中的条件6产十GB 一、一一盏~J‘一、一、‘C=0变为〔沮 ZGB GC=0结论又如何? l_成.，点.点戈，。点     

一道竞赛题的两种解法

题目口ABCI〕中,BC边的中点为E,AE交对角线召D于点G,如果△BEG的面积是1,则口ABCD的面积是·(1991年全国初中数学联赛题) 解法1连结AC,设AC交BD于点0. ’.‘O、E分别是AC、BC的中点,:.G点是三条中线的交点(即重心).一一。1。叫川。△~一万。△~-1。瓦。口A~’所以,S二ABcD一125△BEG一12.解法2’:BC// AD,‘:△BEG的△DAG.z一4 一一z一2 一一又丫BE:AD一1:2,。,.S△刀那一1,BG BEGD AD…S△DAG一4.又丫可知 S△ABG‘’S△朋口S△~一21︼z 一一S△朋D一S△~十S△AGD一2十4一6.:.5二~一25△~一12.一道竞赛题…     

中考新题型训练——开放题

一、填空题一_,·“日}冬,,,已矢‘,”C=BI,,要‘吏“导△”B‘鉴△DC“,只寻于要士曾力日}}勺4个条‘,,一.1_一走一2·女[,’冬,2,土1一线‘与直乡戈‘一12‘目交’侈成乙’,乙2,乙3,’‘’,乙8,请填!二伯气认为 适合r自一个茶f牛,使得11刀人匕才:B〔/月D刀巨二口图l}冬}2图33.写出一个图象不经过二、四象限的反比例函数的解析式4.写出一个关于、,,的几元二次方程组,使它有一组解是Jl= —一}、=一1. 5.已知数3,6,请写出一个数,使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中J贞,这个数是 6.在△注BC和△注l)口巾,有卜列个结论:j执B=AD,(…     

一个梯形定理帮你解竞赛题

定理如图1,在梯形ABCD中,AD刀CB,过C与BD交于O,设△AOD一S,,△B次二二S:,△AOB~△COD~53.则 S彗=S,S:. __~、‘__,:______.,S, 事实上,△AOD与△CO力等高,故升~ 甲一一’~“一一J~一一一、J’,’~凡同时,鬓一豁,又AD、BC知,豁一箫O一0A一C寻即S支~S,52.口3凡一又 故 例1.(首届希望杯备选题)如图2,刀五为△ABC中位线,△BO(〕与△IX)E面积分别为3和2,则△ABC面积是(). C刁八一\、一2 /一月气‘一图 井︸ C盈 刀(A)(C) 图I5,_了又匕十了万). (D)(B)音(5+2汀)·以上都不对.1矛 9曰 由定理,51~月/万,知应选(B). 例2.(1…     

一经典题的两种证法

题如图1,正方形八B〔少D形内一点且匕忍月B一连结刀E、CE,求证:△形,乙EBA中,E为一15。,。cE为正三角作CGEG 证法BF土AE于F,土BE于G. 易证艺1一乙2 又丫艺AFB一匕CGB AB一BC冷△AFB里△CGB=> BF一BG又’:艺“一30。斗BF一合BE┌─┐│丫│└─┘图1=,BGCG土BE、11、r.l.二二>EC一BC同理ED一A刀丫AD一DC一_{一““BCJ一EC一DC冷△DCE为正三角形. 证法2正三角形E‘ 丫△E‘ :。匕E‘(同一法)如图艺,在正方形ABCD内以DC为边作:。乙ADE‘:。艺刀AE,,连结刀A、E’B.是正三角形,一600,E‘D一DC一一30气一合…     

共边三角形的一个性质及其应用

定理已知△ABC和△DBC共边召C,月9戈其延长线交BC与E,则 S△,刀e AE同.理还有S△p尸王p三P口:S△尸云尸:P王一尸、O、’丛已卫五当__塑二S△P玉尸:P石一P,口:’但S△Pp玉P玉卜S△P尸:F‘+习△P尸、正,,+S八P,P:F‘, . 月.. 一一雌呱从而P口尸口言一C干下;~+,汗牙一+了1甘1厂2叼2“,一卜。以一人,,_P口‘〕乙少沉少它1兄二/!、比一b牙厂一以 工乞岌沪艺,2,3)中至少有一个早‘生. ’一’3也至少有.一个是、飞一,即 j(乞二1,2,3)中,至少有一个)3,星PQ. 图一‘a图}。b, 证明:当B或C点与E点重合时,结论显然成立。当B、C与E不重…     

一道趣题的复数解法

‘,一专}、微。若箫(才任R)W平,一,则当tZ,t,川川︸W一一WW一W=2才:弓一W、t,)〔刀. 犷 下立 矛r气1一叭 ︸得使 不一.W ,一一OJ7了产︸一一/ a.题目.在平面二上任竞给定三条直线l。(无二z,2,3)及△A,A 2 A3,试问: i)是否存在点A,、任l、(壳=1,2,3),使得△A:‘A:zA,‘。△A,A,A,, i是)是否存在点A。产于l:(k=1,2,3),使得△A:/AZ产A,尸丝△姓,A:A,. b.约定.本文约定: 1)△A,产A:产A、尹。△A,A之一1,令今匕A:’二乙A:(k二1,2,3),△A,’A,’A,’哭△A:A ZA,令今△A:‘A,‘A,,的△A,A,A,,且}A:尸A,尸{二}A ZA、}. 2)对复…     

相似形评估检测题

(时间:45分钟)一、筑空(每小题5分,共35分)巳知线。二1c二,若布:犷:二二2:5:3,b二Zcm,。二3cm口它们的第四比例项d二C幻区那么二一29+32 口一2两个相似多边形周长的比是2,3,则它们的面积之比是_.在△A刀C中,之C,900,艺A=45.,BD平分艺ABC,B刀交AC于D,则CD:DA~A刀是△刁BC中艺通的平分线,且△A BD和△ACD的面积之比为2:3,则过及AC二 :nO4 .__~~~A刀通丑,J。。Jn 邓既已翔牙万.自骊百.且泥L,.‘,人。目”.A五二1 .8.则EC二八’蔚沙乙一一一—.二己·‘3一一习己(一、6题)(一、7题)努7二已知:如图,刀E尹且B.BF:FE=4:3,那么A刀…     

（人教版）八年级数学单元测试题

,C ,/一\一一‘刀乙7r达君12 毛气之一﹄、刀 、填空题:(1~6每题2分,7~10每题3分,共24分) 能够完全重合的三角形称为—,全等三角形的对应角— 如图1,△A刀C望△DCB, 1.边2. 、应 对 度,乙A二度 且加二尔之为成与、贝。之斌乡 !一二、“’‘·--‘气卜一该‘犷,川‘刀- {‘一:1:     

错在哪里

高入‘=丫厄一,入‘=丫万~.求S△,‘. 解:如图,,sin。一豁一奈,.’.C=450互2 一一BD一BC 1、安徽休宁县临澳中学许恒德来偏(娜编;245411)皿在平面直角坐标系里,点A的坐标是(4,0),O是原点,在直线,一冬二十3上求一点Q使△QoA为六,.,,、’卜~~JZ一’-一,、‘,‘、场人~场一“/J等腰三角形. (解如下图(l),’:Q应在OA的垂直平分线.’.B=600slnC=.’.A“1800一(B+C)二75。。上,、:二一2,,一冬xZ+3一2,Q的坐标为(2,2)。 ‘,~_一一_~AC BC__根垢止,么正埋得妥涵一赢五,.’. AC刀CXsinB sinA 2又李丫了 乙.2一二-Z-二~=—=J丫乙一丫b…     

四面体重心初探

平面几何中三角形的重心大家是熟悉的,然而,作为立体几何中最基本的图形——四面体的重心似乎被人们忽视了。本文试给出任意四面体重心的概念,并研究它的简单性质。为方便,我们称连接四面体的顶点和相对面三角形重心的线段为四面体的重心线。易证四面体的四条重心线交于一点,并且这点将每条重心线从相对面重心到顶点内分为1:3。事实上,如图1,D′,A′分别是△ABC和△BCD的重心,则AD′,DA′延长交于BC的中点M,故A,D′,M,A′,D共面,AA′与DD′必相交。设交点为G     

双管齐下、一箭双雕在几何证题中的妙用——从梅氏定理谈起

众所周知,梅氏(Menelaus)定理:一直线l截△ABC三边AB、AC、刀C或其延长线分别于D、E、F三点,如下图甲、乙,_._BF CEA刀侧{右孚认·舀币·斋云二1.州月Fc’EA一刀B一上’CG,AB昌令{①②③.今△F‘C。△FDB△GCE。△DAEBF刀B厂’C一GCCE‘CEA一AD/‘‘.沪l古t、l、;代B尸万’C、-之、rB乙二-~~~曰.人一----~~盏下C占L①·②得③·韶,CE DBEA一AD刀FFC CE AD’￡A’万B 甲‘ 其中直线l叫做梅氏直线,D、E、F叫做梅氏点,在证明时所作的辅助线叫做梅氏辅助线。 证明一:平移AB至CG处如图一甲、乙。刃~一一份r二、…     

一个旋转体体积的最大值

定理若周长为l的△ABC绕任一边旋转成的立体体积为V.则96V镇冠“. 证明:设△ABC的边BC一x,BC边上的高为h,则AC AB一l一x.于是△ABC绕BC边旋转成的立,r,,_,~,,1,。.一~一一‘、.‘_一二‘_~曰_体体积V一音动,x.由椭圆第一定义知,在△ABC的 3’、’-一’~川‘~/.’了~‘、’n‘一     

一个几何定理及其应用

一一B一CP一Q定理:在△ABC和△刃尸cl中,若二。+二一,80o,则器一毙瓷轰。BNsin乙1NCsin之2sin匕lsin匕2’②证:在△ABC中,由⑧②得器 尸B一配.AB BC而亡=薪石万;在△A,B‘C,中,A,B‘B,C‘赢万=妥石万’①②”且sinC二sinC‘。~_~~AB岁’~’耳吞A,B,推论:在△ABC和C(二产 国1BCsinA,B,C‘sinA.’△A,B‘C‘中,/C+ 2.证明线段相子 例2在△ABC中,AB>AC,AD为艺BAC的平分线,M为刀C的中点,过衬点作AD的平行线交AB及C通的延长线于P、Q,求证:PB=QC。 证如图, J~.___‘,,.,二,AB BC匕C‘=1800,匕A=艺A,,则弓带若;=.…     

2005年1月号数学潜能知识竞赛题答案

口 1。△ACD…△ABC,△C刀D~△ABC,△ACD…△C召刀 2.3x立=3一立 44 4x生=4一生 5 ·y0) 3.生斌提示: 2 △声丫〕D的底边长为x。,高为为,则S~= 4.、/了(提示:B‘为矩形ABCD的对称中心,即说明 5峨 l一2 己 BB 口 B‘为AC、BD的交点,则AC=ZAB’=ZAB=Zb)5.如图l 6.A 7.A(三角形扫过的面积=5娜,,毗,+S△,,B’。,如图 2所示)8.D 9.云+b aZsZ 10.C 11.无甲=7.20汉乙= 7.03,。2甲=0.138,。2乙二0.015,因为而>元,;2甲>s2乙,所以乙打 包机更稳定.12.可以.(提示:l(+3)一4(xZ)一8(+3)一 11(xZ)一22(+3)一25(x3)一75(+3)一78(xZ)一1…     

数学《相似》单元测试题

、选择且已知男了二mn，则把它改写成比例式后A.三二竺ny B.上二卫刀IX，错误的是C.三=上刀飞n D.三=卫爪y 2.已知△ABc与△A:B，C:相似，且AB:A:B:二l:2，则△ABc与△ABC的面积比为A.l:1 B.l:2 C.l:4 D.l:8 3.如图，用两根等长的钢条AC和刀刀交叉成一个卡钳，可以用来测t工作内榴的宽度，设丝二丝二二.且t得。卜‘，则内槽的宽AB等于OC OD AJnb c.立B.里b D b m I今~刀，~‘/气/!、_I’}\‘叹一爪一;二浅-一卢芳一’D~~~J 01一一~E果4赵团‘_~一‘~.____一一一~~~~~。洛、.，，。~，2~二。.月~.~，，4.期团.九以形A万L刀…     

几何趣题一则

片圆规按定理所述过程作一系列李圆,会得到有连的结果(如图).定理以,七半径你。O,,乡全别以CO‘上任三点为圆心作④02,两相交问三个交点分从⑤03,0口。,两贝}!①0,,①O。, 欲证定理,007红为05,O,O,,1f须如下一些命题: (1泛_入ABC脚垂心儿万,外心为O,A‘是O关于BC的对称点,贝d尺万二OA,。 (2):(i:.(1)中,AC,且刀的对你点,再设召’,C’是O分别关于知j二、A‘召,C,望乙\A力C,且O,H厅别是△且‘B‘〔’阴垂心和外心. (3)在(2)L卜,,亡、A召C,△石了了C,△C万且,△A万乌三犷了Cl,△尸。口,△C‘口A‘,△挂‘口召,外按圆相等,且圆心…     

探索三角形全等的条件检测题

一、坟空题1.判定两个三角形全等,必须具备件是个条件,其中至少有A个条河’2.如图l,A召//A‘B,,AC//A’C‘,AB=A’B,.若乙A二28“,则乙A’=_. 3.在△ABC和△DEF中,AB二刀E,乙A=乙D,AC二DF,则根据判定方法可以说明△ABC望△刀EF. 4.如图2,△ABC是不等边三角形,DE二Bc,分别以点D、点E为顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出个.△二B CB‘C,图1月少。_ Ec月毛.,.!﹄口J.,乙口D尸.、门、︸rL,﹄洲︸、目口5.如图3,BC平分乙ABD,AB=刀刀,P为BC上任意一…     

综合题

产U.了想; (2)若001与00:的半径分别是方程护一4x 3一。的两根,求△日心义)的周长.⑥ 6.已知△训月z叉少中,边邵的长和乙A的余弦值分别是方程(二一粤)(x’--3)一。的两个实数根.若边Ac一~/“’一、一2、一’-一曰J’J’/、~’‘、~一了万,求边AB的长.⑩ 7.如图,在△月仪少中,脚一3,劣边上的高AIj一普,线段肚八过△月仪了的重心G,且平行于彤交AD于点夕.若尸点在肘刃上移动(点尸与M、N不重合),从p作1, G IDI)l- 1.在△月刀口中,。、b、。是其三边,关于z的方程(护一加):, 2丫石二不歹: 1~。有两个相等的实数根,且s认通=Zsin价ose,a=1 2…     

一道例题的推广及其应用

题目如图1,Rt△ABC中,匕八CB一’八刀一八B;(2)C〔)2=AD一BD;(3)政〕,刀D .AB. 证’:艺八CB~90。,〔刃土月刀, :’ Rt△ACD的Rt△(泪D的Rt△八刀C.900,CD土AB.求证:(1)月CZ=D一DB一C 一一.八C AD〔刃‘’丽一入乙’入万五〔刀DAB BCAD图1 :.八CZ一AD·八刀,CDZ~乃D·BD,孩二2~BD·八刀. 此题实际上是人教版《初中几何》第二册第226页例2的推广,旧教材把这个结论称为“射影定理”.近几年的中考题中,经常出现以本题结论为背景的题目,现举例如下. 例1如图2,BC是半圆O的直径,延长CB到尸,作尸A切半圆于A,AD上BC于D,…