走进初中数学“最短路径问题”的奇妙世界

<正>最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径,初中阶段主要以“两点之间,线段最短”“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”为基础的知识。一、学习目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想;数学来源实际服务于生活,培养数学学习兴趣。     

利用对称变换解题二例

利用对称变换，根据“两点之间线段最短”或“三角形任两边之和大于第三边”，常能解决线段和最短或不等问题，下面举例说明．     

三角形三边关系的应用

根据“两点之间,线段最短”,得出三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边;两边之差小于第三边.它是三角形一章的重点内容之一,有着十分广泛的应用,下面举例说明.     

几何证明中辅助线的作法

初中几何中论证边角不等的定理．只有以下几条：①两点之间线段最短;②两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;③三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．所以论证边角不等．在需要论证的线段不在同一个三角形中时．需构筑中介三角形．     

初中数学“三角形的三边关系”问题探究

<正>初中阶段数学学科涉及三角形三边关系的问题,包括“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”,用字母可以表示为a+b>c,a-b相似文献   

盘点初中数学中的最值问题

初中数学中有很多最值问题的研究,无论是代数方面还是几何方面,经常涉及到求最大小值的问题。最值问题和我们的实际生活联系非常紧密,比如怎样最省、最快、最节约材料等。下面,我就初中数学中的最值问题举例说明。一、两点的所有连线中,线段最短,即两点之间线段最短由这个结论我们还可以得到三角形三边的关系：三角形的任意两边之和大于第三边。利用它求最值问题往往和对称、平移联系在一起。例1如图1,在燃气管道L旁有两个镇A和B,要在管道上修一个泵站往两个镇供气,问泵站修在哪里可使所用的输气管线最短？     

几何证明中辅助线的作法

一三角形常用辅助线1.构造中介三角形初中几何中论证边角不等的定理,只有以下几条:①两点之间线段最短;②两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;③三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.所以论证边角不等,在需要论证的线段不在同一个三角形中时,需构筑中介三角形.例题1如图1所示,D为△ABC内部一点,连结BD,CD.     

三角形的“三边关系定理”浅析

通常把“三角形任何两边的和大于第三边”叫做三角形的三边关系定理,它在三角形有关边的不等式的问题中最常用到。初学几何的同学普遍反映,三角形中不等式的证明是个难点,解（证）题时常常摸不着要领,感到无从下手。这在很大程度上与学好用好三角形三边关系有关,那么,怎样才能学好用好三角形的三边关系定理呢？首先要真正理解定理。三边关系定理是由公理“两点之间线段最短”得到的,这个定理告诉我们：三角形的三边中,最大边比其余两边的和小;最小边比其余两边的差大;任何一边都介于其余两边的差与和之间。这里要特别强调定理中的…     

三角形三边关系定理的活用

构成三角形的三边的长度是互相制约的 ,不是任意三条线段都可构成三角形的。只有满足三角形三边关系定理“三角形两边之和大于第三边”及其推论“三角形两边的差小于第三边”的三条线段 ,才能构成三角形。灵活运用三边关系 ,可简捷地解决以下两类问题。一、判断三条线段能否组成三角形设三条线段的长为a、b、c且c≥a ,c≥b ,这时显然有c +b>a ,c +a >b ,故当a +b >c时 ,三条线段能组成一个三角形。由此可得到判断三条线段能否组成一个三角形的简易方法 :“三条线段中 ,如果较短的两条线段的和大于最长的第三条线段 ,则这三条线段能组成一个…     

关于三角形三边关系的讨论

石磊和李明是一对形影不离的好伙伴,对数学的共同爱好是他俩的友谊之桥,在长期的共同学习中,他俩发现了讨论问题的技巧与艺术,他们会利用“反例”这～有力工具推翻对方错误的结论,探讨解决问题的方法,在学习中共同进步．星期天,石磊和李明在一起预习了住角形三边关系》后,你一言我一语地讨论起来．王磊：三角形中任何两边之和大于第三边这个结论是利用了“联接两点的线中,线段最短”得到的．我发现三条线段中,只要有两条线段的和大于第三条线段,便可构成三角形‘如三条线段长分别为3,4,5,由于3＋4＞5,故这三条线段可构成一个…     

再谈“三角形两边之和大于第三边”的证明与应用

<正>近日,笔者对"三角形任意两边之和大于第三边"的证明进行了整理,并对这个定理的应用谈谈自己的见解.一、定理的证明已知ABC中,AB、AC、BC为三边,求证:AB+AC>BC.方法一两点之间线段最短.因为两点之间线段最短,BC是一条线段,而AB+AC不是一条线段,所以AB+AC>BC,所以三角形两边之和必然大于第三边.     

《三角形边的关系》教学实践与思考

学生理解三角形边的关系,一般有以下两种方法:一是用不完全归纳的方法,通过比较任意两边长度之和与第三边长度之间的关系,从中发现三角形任意两边的和必须大于第三边这个规律的。二是利用欧氏几何中"两点之间线段最短"这一公理。上面两种方法中的第一种方法,学生重     

四边形四边关系问题探析

<正>由于受到思维定势的影响,许多同学一看到求多边形边长的取值范围的问题时,就想到用三角形的两边之和大于第三边,或三角形的两边之差小于第三边.其实对于某些问题来说,用"两点之间,线段最短"更为直接简单.一、问题的提出问题1在一个四边形中,已知其中三边长为3、5、12,则第四边的长度x的取值范围是     

初中几何最值问题的数学史模型

<正>几何最值问题背景丰富,形式灵活,往往很难找到突破口.如若析出问题背后的数学史模型,分析其变化特点,往往可以化难为易.初中阶段平面几何最值问题的解法,基本上能转化为以下三种类型:(1)利用两点之间线段最短求最短路径或线段的最小值;(2)利用垂线段最短求解;(3)利用三角形三边关系(三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边)当三点共线时取得最值.而这三种解法背后便蕴含了丰富的数学史模型.     

几何不等式证明方法解析

几何中常见不等关系的证明主要根据以下几个不等的定理:1.在联结两点的所有线中,线段最短.(线段公理)2.在同一三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(三边关系)3.三角形的任意一个外角,大于与它不相邻的任意一个内角.(外角定理)     

几何不等式

平面图形中的几何量 ,包含线段的长度、角的大小以及图形的面积 .每类几何量之间均存在许多的相等关系和不等关系 .研究这些不等关系就构成了几何不等式的内容 .一、基础知识1 .线段不等式( 1 )如果Ａ、Ｂ、Ｃ为任意三点 ,则ＡＢ≤ＡＣ ＢＣ .并且仅当Ｃ点位于ＡＢ线段上时等号成立 .这样就有三角形两边之和大于第三边 ,任两边之差的绝对值小于第三边 .( 2 )三角形中 ,大角 (边 )对大边 (角 ) .( 3)两组对边对应相等的两个三角形中 ,夹角 (第三边 )大的第三边 (夹角 )也大 .( 4)三角形一边上的中线小于另外两边之和的一半 .2 .角的不等式( …     

巧用三角形基本性质求解一类最值问题

<正>三角形两边之和大于第三边这一基本性质,看似简单,但它蕴含了平面几何中距离问题的本质即两点之间线段最短,它在解决平面解析几何的最值问题时尤为重要.笔者以近几年的高考试题为例,从三个方面谈谈如何巧用三角形的上述性质探求一类解析几何中的最值问题.一、有关直线和圆的最值问题利用三角形的上述性质可以推导出直线和圆的如下三个结论.结论 1若A、B两点在直线l的两侧,则     

利用教材探究“线段和的最值问题”

正"两点之间,线段最短"是学生在初中数学中学到的基本定理之一。也是人们在每天的生活中不断验证的事实。近几年,这个事实被广泛"演变"为"线段和的最值问题",频频出现在各省市的中考题和竞赛题中。这类试题考查的知识点主要是点的对称、平移、两点之间线段最短、三角形的三边关系等,考查的思想方法主要是方程与函数的思想,数形结合的思想,化归转化思想等。本文从教科书中溯源,对这类问题进行了探究。类型1特征条件:两个定点,直线上一个动点。     

巧用旋转变换求解线段(和)的最值问题

<正>在初中几何试题中,我们时常遇到求解某条线段或某两条线段之和的最值问题.解决这类问题的常用方法是通过旋转变换作出恰当的辅助线,并借助全等三角形或相似三角形,将相关线段置于某一三角形中,再根据三角形的三边关系,即“三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边”来求解.下面举例说明.一、以三角形为载体1.构造全等三角形例1如图1,等边△ABC的边长为2,点D为BC边的中点,     

解析几何中求最值的常用策略

一、利用对称点转化利用对称点求最值是解析几何中最常见的题型之一,经过转化之后利用两点之间线段最短或三角形的三边关系求解.