偶质数“2”在解题中的妙用

在质数中，2是唯一的偶数，也是最小的质数。因此，当两个质数之和或著是奇数时，则两质数中有且仅有一个是2；当两个质数之积是偶数时，则其中至少有一个是2。这些特性在解某些题是有用的。现举例说明。     

质数2的特殊性

一些有关质数酌计算问题,虽然通过试算也能得出答案,但比较麻烦。如果利用质数2的特殊性(在所有的质数中,只有2是偶数)和奇、偶数的运算规律去分析,就能达到事半功倍的效果了。例1.已知a、b、c都是质数,且a+b=33,b+c=44,c+d=66,那么d=____。我是这样解的。奇、偶数的加法的计算规律:奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,奇数+偶数=奇数。减法的计算规律与加法类似。根据奇、     

整体思考法在解题中的应用

整体思考法是指在思考问题时 ,把注意力放在问题的整体上 .从整体角度 ,寻找各个信息之间的联系 ,观察每个元素之间结构状况 ,探索各个变量之间的变化规律 ,从整体上把握住问题的内容与解题的方向和策略 .现列举四例 ,透视其一斑 .例 1　 (第 16届江苏省初中数学竞赛试题 )已知 a是质数 ,b是奇数 ,且 a2 +b=2 0 0 1,则 a +b=.解 :因为 a2 +b=2 0 0 1是奇数 ,所以 a2与 b必为一奇一偶 ,又 b为奇数 ,所以 a2必为偶数 ,又 a为质数 ,所以 a =2 (因为 2是唯一的偶质数 ) .这时 ,b =1997,故 a+b =1999.评注 :本题是从整体 ( a2 +b =2 0 0 1)入手 ,…     

第50届IMO预选题(四)

数论部分1. 本届IMO第1题. 2.若正整数N满足N=1或N可以写成偶数个质数的乘积(不需要是不同的质数),则称N是"平衡的".给定正整数a、b,定义多项式P(x)=(x+a)(x+b).     

数学奥林匹克初中训练题(37)

第一试 一、选择题(每小题7分,满分42分) 1.99个连续自然数之和等于abcd.若a、b、c、d皆为质数,则a b c d的最小值等于( ). (A)63 (B)70 (C)86 (D)97     

偶数的分类与分级

全体偶数是公差为2的无穷等差数列,做适当的分类和分级后展现的某些性质,可以作为一些(有关偶数Ne的)重要命题分析论证的依据,且能对下面三个命题给出清晰明确的解析论证:(1)相同素因子偶数系的偶数元素表为两个奇素数之和的表法个数r2(Ne)随所在的级数一致增长.(2)同一级的偶数元素中,形如2n的偶数或2npi的超常偶数,表为两个奇素数之和的表法个数r2(2n)或r2(2npi)     

第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2试试题

一、填空胚(每小题6分,共9O分) 1 .12一5十3.6一7令9 8.3于3.6= 2.下面是二个数的加法算式,每个“口”内有一个数字,则 几个加数中最大的是 l口|一l 口|口 l口l一l 3.在一列数2、2、4、8、2、……中,从第3个数开始,每个数 都是它前面两个数的乘积的个位数字。按这个规律,这列数中 的第2(X只个数是 4.若四位数9奋治d能被巧核除,则a代表数字 5.a、b、。都是质数,如果(a b)x(b e)=342,那么b= 6.如果: a口=。x(“ l), “口口二口x(a口 l). 那么l口口口= 7.甲、乙、丙二个网站定期更新,甲网站每隔一天更新l 次;乙网站每隔两天更新1次.丙网站每隔…     

1985年全国高等学校统一招生数学试题

(理科副题)一、选择题(共10分)(l)设M={二二(斌万},a=以万关系中正确的是(刁)a二M,(B)a毕M,(D){a}〔M (2)抛物线,=军的焦点坐标是 J口‘刁~,4 HJ‘、、、八、、~门’~(4)。)(。,矗)·(B)(壳,“)(刀)(l,0)如果O’相似文献   

从统计数据中看“哥德巴赫猜想”

证明哥德巴赫猜想是一个困难的问题。本文以两位数、三位数、四位数等为例，综述了各位数的偶数表示为两个质数之和的组合形式的发展趋势。得出了一个偶数，无论以两质数之和，或以两纯奇数之和，或以一个质数与一个纯奇数之和去表示，总是偶数越大表示为两数之和的组合数越发具有多样性的共同的规律。由此提出了对“哥德巴赫猜想”深信不疑的根据。     

妙用偶质数2巧解题

大家都知道,在自然数集合中,只有一个偶质数2,可奇质数却有无限多个.在许许多多的质数中,偶质数2有两个基本性质:(1)它是最小的质数;(2)它是唯一的偶质数.此外它还具有如下性质:(1)若两个连续的自然数都是质数,则必有2(另一个是3);(2)若两个质数的和或差是奇数,则必有2;(3)若两个质数的和是质数, 则必有2;④ 两个质数的积是偶数,则必有2 .     

从统计数据中看"哥德巴赫猜想"

以两位数、三位数、四位数等为例，综述了各位数的偶数表示为两个质数之和的组合形式的发展趋势．得出了一个偶数，无论以两质数之和，或以两纯奇数之和，或以一个质数与一个纯奇数之和去表示．总是偶数越大表示为两数之和的组合数越发具有多样性的共同的规律．由此提出了对“哥德巴赫猜想”深信不疑的根据．     

组数游戏

用0～9可以组成许多不同的十位数。如1362704589、5489076132……你能找出被11整除的最大的和最小的十位数吗?能被11整除的数有一定的特征,即奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(或反过来)能被11整除。在十位数中,奇数位与偶数位各有5个数字。设奇数位数字之和为a,偶数位数字之和为b。因为十个数字之和0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,即a+b=45。要求十位数能被11整除,(a-b)应该是0或是11、22、33……而a+b=45是奇数,因此,(a-b)不可能是0或22,也不可能是44或更大的数。如果a-b=33,那么a=39,b=6。b是5个数字之和,不可能是6,故(a-b)也不可能…     

2005年北京市中学生数学竞赛(高一)

一、选择题(每小题5分,共25分)1.如果S={1,2,3,4,5},M={1,3,4},N={2,4,5},那么,(CSM)∩(CSN)等于().(A)(B){1,3}(C){4}(D){2,5}2.已知a、b都是整数.命题甲:a+b不是偶数,则a、b都不是偶数;命题乙:a+b不是偶数,则a、b不都是偶数.则().(A)甲真,乙假(B)甲假,乙真(C)甲真,乙真(D)甲假,乙假3.若c、d是不共线的两个非零平面向量,则下面给出的四组a、b中,不共线的一组是().(A)a=-2(c+d),b=2(c+d)(B)a=c-d,b=-2c+2d(C)a=4c-25d,b=c-110d(D)a=c+d,b=2c-2d4.对定义在区间[a,b]上的函数f(x),若存在常数c,对于任意的x1∈[a,b]有唯一的x2∈[a,b],…     

《答读者问》的一点补充

以下将本刊1982年第四期中的《答读者问》简称为文(1),将中国青年出版社1978年出版的《许莼舫初等几何四种》简称为文(2)。关于如何写命题 (甲)若两个数都是偶数,则两个数的和是偶数。的否命题,文[1]的解答不全面,特补充之: 文[1]采用文[2]的方法得(甲)的否命题为 (乙)若两个数中有一个是偶数,另一个不是偶数,则两个数的和不是偶数。     

数学奥林匹克初中训练题(88)

第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.已知ABCA表示一个四位数.若两位数AB是一个质数,BC是一个不为1的完全平方数,CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,则满足条件的四位数共有()个.(A)0(B)1(C)2(D)102.已知a、b为有理数,且a+b、a-b、ab、ba中恰有三个数相等.则(2a)b的值应为().(A)0(B)1(C)-1(D)±13.如图1,EF是△ABC的中位线,O是图1EF上一点,且满足OE=2OF.则△ABC的面积与△AOC的面积之比为().(A)2(B)23(C)53(D)34.设三位数abc能被3整除,且以a、b、c为三条边的长可构成一个等腰三角形(含等边三角形).则这样的三位数…     

用假设法解填空问题

题目:把20以内的8个质数分别填在下图圆圈中(每一质数限填一次),使图中用箭头连接起来的四个数的和相等。分析与解答:设下图是一种满足条件的填法。容易知道只要 A_1 A_2=B_1 B_2=C_1 C_2即可,可见问题是从小于20的8个质数2、3、5、7、11、23、17、19中选出6个数填到 A_1、A_2、B_1、B_2、C_1、C_2、的位置上去,使满足条件。首先注意不能选2。因8个     

应用(ab-a-b+1)=(a-1)(b-1)解竞赛题

本文标题给出的公式是一个广为人知的简单事实 .若巧妙地应用它去解有关问题 ,往往能收到意想不到的效果 .下面以竞赛题为例谈应用它解题的技巧 ,供同学们参考 .例 1　已知三个质数之积恰好等于它们和的 5倍 ,则这三质数为 .解　设这三个质数为a、b、c ,由题意得 :abc =5(a+b +c) ,根据质数的定义知 :a、b、c中有一个等于 5,不妨令a=5,于是bc =5+b +c即 (b - 1) (c- 1) =6 ,显然b≠c ,不妨设b>c,则 b - 1=6c - 1=1或 b - 1=3c - 1=2解得 b =7c=2 或 b =4c=3(不符合题意 ,舍去 )故所求质数为 2、5、7.例 2　求所有实数k ,使方程kx2 + (k+ 1)x…     

五年制小学数学第八册检测题(时间:90分钟)

一、填空。 　　1.看图填空。 (尺子 a元 ) (橡皮 b元 ) (铅笔 c元 ) 　　①一支铅笔和一把尺子共 ( )元。 　　②一块橡皮比一支铅笔便宜 ( )元。 　　③ 3把尺子和 2支铅笔共 ( )元。 　　④ 2把尺子、一支铅笔和 3块橡皮共 ( )元。 　　2.在 1～ 20中，质数有 ( )个，合数有 ( )个，其中最小的质数是 ( )，最小的合数是 ( )， ( )既是质数又是偶数， ( )既是奇数又是合数。 　　3.在 7、 9、 21三个数中， ( )和 ( )是互质数， ( )是 ( )的倍数。 　　4.A=2× 3× 5， B =2× 2× 3× 5,A、 B的最大公约数是 ( )，最小公倍数是 ( )。 …     

第20届俄罗斯中学生数学奥林匹克第3轮试题与解答选编

十年级试题 1.考察数列2,6,30,…,此处第k项是前k个质数的乘积,k=1,2,…。已知这个数列某2个数的差等于3000。试求这些数。 2.在矩形10×19的每个方格中,写上0或1,然后计算每列及每行中各数之和。问可以得不同和数的最大个数是多少? 3.等腰△ABC(AB=AC)的顶角A=30°。在边AB和AC上分别取点Q和P,使∠QPC=45°,PQ=BC。试证BC=CQ。 4.试求这样的最小整数a,使得对于一切的实数x,不等式x~4 2(x~2) a≥4x成立。 5.试证:如果a≥0,b≥0,那么不等式a~3(b 1) b~3(a 1)≥a~2(b b~2) 6~2(a a~2)成立。     

简易逻辑中的常见错误

高一《数学》新教材第一册 (上 )中增加了“简易逻辑”内容 ,从教学实践与一些辅导书上看 ,由于是新增内容 ,师生都不十分熟悉 ,常犯一些典型错误 ,本文根据自己的教学体会 ,就以下常见错误进行剖析 ,并提出建议 :问题 1　“都是”、“所有的”、“至少一个”…的否定形式是什么 ?例 1　写出命题“a、b都是偶数 ,则a +b是偶数”的逆否命题 .(教材P .42 11题 )误解 :a +b不是偶数 ,a、b都不是偶数 .解 :a +b不是偶数 ,a、b不都是偶数 .例 2　“至多有三个”的否定为 (　　 ) .A .至少有三个　　　　B .至少有四个C .有三个　　　　　　D .…