关于三角形中线的一个不等式

196 7年 ,V .O .Cordon建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ a2h2b+h2c≥2 .[1] ①文 [2 ]将不等式①加强为∑ a2t2b+t2c≥2(ta、tb、tc 为三角形的内角平分线长 ,a、b、c为△ABC的边长 ,∑ 表示对a、b、c循环求和 ) .本文将证明 ∑ a2m2b+m2c≤2 (ma、mb、mc为三角形的中线长 ) ,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立 .证明 :∑ a2m2b+m2c=∑ 4a24a2 +b2 +c2=∑ 4a22a2 + (a2 +b2 ) + (a2 +c2 )≤∑ 4a22a2 + 2ab + 2ac=∑ 2aa +b +c=2 ,当且仅当△ABC为正三角形时等号成立 .利用上述方法和凸函数的性质 ,易得∑ akmkb+mkc≤2 k- 1　 …     

一个不等式的推广

文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n …     

一道IMO试题的加强及多种证法

196 1年 ,在匈牙利举行的第三届国际数学竞赛中 ,有一道由波兰命题的三角形不等式证明题 :已知三角形的边长分别为 a,b,c,面积为 S,证明 :a2 +b2 +c2≥ 4 3S,(1)并求出在什么条件下等号成立 .这就是著名的魏琴伯克 (Weitzenbock)不等式 (1919年 ) ,等号成立的条件是此三角形为正三角形 .后来 ,Finsler(1937年 )又将它加强成2 bc+2 ca+2 ab- a2 - b2 - c2 ≥ 4 3S.(2 )本文将 (1)左式缩小 ,建立如下的定理 :在△ABC中 ,如上所设 ,有2 ab+c2 ≥ 4 3S,(3)等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .根据三角形面积的不同的表达形式 ,下面给出几…     

关于三角形高线角平分线旁切圆半径的两个不等式

笔者在研究三角形中的不等式时得到下面几个有趣的三角形不等式,即 定理1 在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C,△ABC的中线长为ma,mb,mc;内角平分线长为wa,wb,wc;高线长为ha,hb,hc,旁切圆半径为ra,rb,rc,△ABC的面积为S,则4S√m2a/r2a+m2b/r2b+m2c/r2c≥ab+bc+ac≥4S√m2a/ω2a+m2b/ω2b+m2c/ω2c≥4√3S.(1)     

Weisenbck不等式的三维推广

有一个著名的几何不等式： 　　 a2＋b2＋c2≥43△．① 　　当且仅当a＝b＝c时等号成立． 　　 其中a、b、c及△分别是△ABC的三边长及面积． 　　 式①即Weisenb     

一个国际竞赛题的另证及其推广

第三届(1961年)国际数学竞赛试题中有一个题目:在△ABC中,a~2 b~2 c~2≥4(3~(1/2))△,等号仅当a=b=c时成立,a,b,c为△ABC的三边.本文将给出一个证明,然后用这个方法推广这个命题.先证明两个引理引理1 △≤1/3(3~(1/2))S~2,等号仅当等边三角形时成立.S表示三角形周长之半.证明1 因为周长一定时,以等边三角形面积为最大,所以周长为2S的三角形中以每边长2S/3的三角形面积为最大.     

一类面积不等式

一.从外森比克不等式的几何意义谈起设△ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S,则有 a~2+b~2+c~2≥43~(1/2)S (1)其中等号当且仅当a=b=c,即△ABC为正三角形时成立。 (1) 式称为外森比克不等式,如果以△ABC的三边向外分别作正方形(如图),则(1)式有如下几何解释:以三角形的三边向外分别作正方形,则这三个正方形的面积之和不小于这个三角形面积的43~(1/2)倍。 (1) 式的几何意义使我们联想到:如果在三角形三边向     

也谈Weisenbck不等式的三维推广

Weisenb ck不等式 :设a、b、c和S分别表示△ABC的三边长和面积 ,则a2 +b2 +c2 ≥43S ,当且仅当a =b =c时等号成立 .文 [1 ]将该不等式进行了三维推广 ,得到关于四面体的两个不等式 .本文将对该不等式作进一步的三维推广 ,得出关于四面体的更一般的结论 .引理　设四面体的 6条棱长之积为P ,体积为V ,则P≥72V2 ,当且仅当四面体为正四面体时等号成立[2 ] .命题 1　设四面体ABCD的 6条棱长分别为a、b、c、d、e、f,体积为V .则对任意自然数n有an+bn+cn+dn+en+fn≥6(72V2 ) n6,①当且仅当四面体为正四面体时等号成立 .证明 :根据算术—几…     

一个对称不等式变形的应用

众所周知,若a,b∈R+,则a/b+b/a≥2,等号成立当且仅当a=b.此不等式可变形为如下的一个结论: 结论 若a,b∈R+,则a/b-1≥1-b/a,等号成立当且仅当a=b. 我们可以用上面的结论简证或简解一些对称式或轮换对称式问题,笔者通过举例来说明其运用. 例1 (《数学教学》问题384)设a,b,c是△ABC的三边,求证:a2/b+c-a+b2/c+a-b+c2/a+b-c≥a+b+c.     

Weitzenb(o)ck不等式一个加强的三种证法

1919年,R.Weitzenbǒck[1]给出了下述三角形不等式:△ABC的三个边长与面积分别为a,b,c和△,则有a2+b2+c2≥4√3△,(1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 在1961年举行的国际数学竞赛中,不等式(1)被选为赛题.从此这一不等式广为人知,并被称为Weitzenbǒck不等式.     

Weitzenbock 不等式的一个有趣隔离简

1919年，Weitezenbock提出了关于三角形的著名不等式：a2＋b2＋c2≥4胚，当且仅当AABC为等边三角形时，等号成立．关于它的推广与加强被广泛研究，但大多数是增加不等式右边的项数     

Weisenbck不等式的推广

命题1 设三角形三边长分别为a、b、c,面积为S.则an+bn+cn≥2n*34-n4Sn2(n∈N),当且仅当a＝b＝c时等号成立. 　　……     

欧拉不等式一个加强的再改进

<正>设△ABC的三边为a、b、c,外接圆和内切圆半径分别为R、r,则有著名的欧拉不等式R≥2r.文\[1\]中建立了如下三角形式的加强.定理1设R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径,则有(Σ表示循环和)■当且仅当△ABC为正三角形时取等号.由于式(1)可改写为■,由熟知的不等式■,可知式     

欧拉不等式的最简隔离及推广猜想

设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则有R≥2r,当且仅当△ABC为等边三角形时等号成立.此即欧拉不等式.多年来,我国数学教育界对此不等式进行了广泛和深入的研究,给出了该不等式的多种加强和推广的结论.笔者最近用几何画板进行了一些探究,发现了它的最简隔离!     

费恩斯列尔——啥德维格尔不等式的一个类似

1919年著名的几何学家魏琴伯克首先提出并证明了如下的不等式: 已知三角形的边长为a、b、c,面积为S,则a~2+b~2+c~2≥4 3~(1/2)S……(1)等号当且仅当a=b=c时成立。这个不等式以形式简捷,对称优美而著称于世。1938年费恩斯列尔—哈德维格尔首     

几个新的三角形不等式

最近,笔者在研究三角形的内心及它的性质时,发现以下几个不等式：定理在△ABC中,设I是它的内心,a,b,c分别是＜A,＜B,＜C的对边,R是△ABC的外接圆半径．则有当且仅当△ABC为正三角形时,（1）～（3）式等号成立．由柯西不等式,得（AI＋BI＋CI）2两边开方即得不等式（1）．将以上三式相加,并利用均值不等式,得故不等式（3）成立．当且仅当凸ABC为正三角形时,（1）～（3）式等号成立．几个新的三角形不等式@贾玉友$江苏省新沂市教师进修学校!2241001贺才田.不等式“a3 b3 c3≥3abc”的再一次加强.中学教学(苏州),1996,3…     

一个不等式的加强

1938年,费恩斯列尔——啥德维格尔提出了如下的不等式: 设ΔABC的三边为a、b、c,面积为Δ,则 a~2+b~2+c~2≥4(3~(1/2))Δ+(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2 (1) 其中等号当且仅当a=6=c时成立。 1983年,王玉怀首次把不等     

一个著名几何不等式的推广

第 3届国际中学生数学竞赛有一个几何题是这样叙述的 :设 a,b,c为△ ABC的三边之长 ,S为面积 .求证 :a2 b2 c2≥ 43 S,当且仅当 a =b=c取“=”.这就是著名的 Weisenbock不等式 .本文运用等周定理和幂平均不等式来推广Weisenbock不等式 .命题 1　设△ ABC三边之长分别为 a,b     

构建新不等式的一种思路

V.Ocordon曾给出了三角形的高与边长之间的不等式[1]:∑a2/h2b+h2c≥2 ① (关于△ABC三边及其边上的高的循环不等式,a、b、c为△ABC的三边,ha、hb、hc为对应边上的高,R、r分别为△ABC外接圆半径和内切圆半径)     

从一道美国数学月刊问题谈起

<正>设a、b、c、S表示△ABC的三边长和面积.则有[1]a²+b2+b²+c2+c²≥432≥43^(1/2) S.(1)这是著名的外森比克(Weisenb?ck)不等式.(1)已有很多种形式的加强,其中最著名的是费-哈不等式a(1/2) S.(1)这是著名的外森比克(Weisenb?ck)不等式.(1)已有很多种形式的加强,其中最著名的是费-哈不等式a²+b2+b²+c2+c²≥432≥43^(1/2) S+(a-b)(1/2) S+(a-b)²+(a-b)2+(a-b)²+(a-b)2+(a-b)²(2)