一类特殊三角形的一个性质及其推论

文[1]中给出了二倍角三角形的一个性质及其应用,作为该文的补充,今给出n倍角三角形的一个性质及其相应的一些推论。下面用A、B、C表示△ABC的三内角,以a、b、c分别表示它们的对边 定理 在△ABC中,若A=nB (n∈N),则 a~2=b~2 bc·sin(n-1)B/sinB 证明 在△ABC中,因A=nB,故C=180°-(n 1)B ∴sin~2B sinC·sin(n-1)B=sin~2B sin(n 1)B·sin(n-1)B =1/2(1-cos2B)-1/2(cos2nB-cos2B)     

抛物线与三角形面积一文的补充

本刊93年第5期“抛物线与三角形面积”一文,给出了下面的两个结论:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)当△=b~2-4ac>0时,抛物线与x轴的两交点为A、B,顶点为C,与y轴的交点为D,则本文拟对结论(2)作两点补充: ①若△ABC为等边三角形,则△=b~2-4ac=12,S_(△ABC)=3 3~(1/2)/a~2. ②若△ABC为等腰直角三角形,则△=b~2-4ac=4,S_(△ABC)=1/a~2. 由于△ABC的底边AB=△/|a|,高为|△/4a|;当△ABC为等边三角形时,高为底边的3~(1/2)/2倍;当△ABC为等腰直角三角形时,高为底边的一半,利用这两点,不难证明以上两个结     

高一《三角函数》单元检测试题

一、选择题(每小题5分,共60分)11“θ=60°”是“tanθ=3”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分也不必要条件21cos(-100°)=m,则tan600°=()(A)1-m2m(B)-1-m2m(C)1 m2m(D)-1 m2m31α是第三象限角且sinα=-2425,则tanα2的值为()(A)43(B)34(C)-43(D)-3441cos(20° α)cos(25° α)-(cos70°-α)sin(25°-α)的值为()(A)-22(B)22(C)-1(D)151在△ABC中tanA tanB 3=3tanA·tanB且sinAcosA=34,则△ABC是()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形61sinα sinβ sinγ=0,cos…     

“角余弦定理”的妙用

定理是解题的重要工具,本文介绍一个定理及其应用。定理在△ABC中,有 sin~2C=sin~2A+sin~2B—2sinAsinBcosC。证明在△ABC中,由余弦定理: c~2=a~2+b~2-2abcosC及正弦定理:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可得 sin~2C=sin~2A+sin~2B-2sinAsinBcosC。     

第八届初中《祖冲之杯》数学邀请赛试题参考解答

一、选择题 1.B 2.B 3.C 4.A 5.B 6.C 7.A 提示: 5.因l是方程的根,所以al~2 bl c=0,于是M=4a~2l~2 4abl b~2=4a[al~2 bl c]-4ac b~2=b~2-4ac=△。 6.原方程的判别式△=4>0。而该方程只有一根,所以二次项系数m 2=0,m=-2。 7.易知∠BHC=180°-∠A,在△ABC中,BC=2RsinA,在△BHC中,BC=2rsin(180°-A)=2rsinA。     

错在哪里

1.广西贺县黄田松树冈中学黄健有来稿(邮编;542807)题 在△ABC中,a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边,且∠C=2∠B,试证:C~2=b(a b).证明∵∠C=2∠B,∴∠A ∠B ∠C=∠A 3∠B=180°,∠A=∠180°-3∠B,∴sin∠=sin(180°-3∠B)=sin3∠B,从而有,∠A=3∠B.由此可得∠A=90°,∠B=30°,∠C=60“,∴a=2b.由勾股定理得 c~2=a~2-b~2=(a b)(a-b))=(a b)(2b—b)=b(a b).     

含角平分线的竞赛题解析

与角平分线有关的几何问题在各类考试(竞赛和中考)中屡见不鲜,解决这类问题时,若能通过巧添辅助线构造全等三角形常可使问题化难为易.例1如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB BD,∠C=30°,则∠ABC的度数是(江苏省初中数学竞赛题)()A.45°B.60°C.75°D.90°解:延长AB到E,使AE=AC,连接DE,∵∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD(SAS).∴∠E=∠C=30°.又AE=AB BE,AC=AB BD,∴BE=BD.从而∠3=∠E.∴∠ABC=2∠E=60°.故选:B.反思:若在AC上截取AF=AB,同学们考虑怎样证明?例2如图,已知在△ABC中,AB>AC,AD为∠A的…     

两个相关三角形的勃罗卡角的一个性质

性质 设△ABC的中线m_a、m_b、m_c构成△A＇B＇C＇,O、O＇分别是△ABC和△A＇B＇C＇内一点,且∠OAB=∠OBC=∠OCA=α,∠O＇A＇B＇=∠O＇B’C＇=∠O＇C＇A’=α＇,那么α=α＇。 证明 记△ABC和△A＇B＇C＇的面积分别为△、△＇。在△ABC中,由勃罗卡角等式及正、余弦定理,得ctgα=ctgA ctgB ctgC=cosA/sinA cosB/sinB cosC/sinC=(b~2 c~2-a~2)/(2bc sinA) (c~2 a~2-b~2)/(2ca sinB) (a~2 b~2-c~2)/(2ab sinC)=(a~2 b~2 c~2)/(4△)。在△A＇B＇C＇中,同理可得ctgα＇=(m_a~2 m_b~2 m_c~2)/(4△)。据熟知的结论,有 m_a~2 m_b~2 m_c~2=3/4(a~2 b~2 c~2), △＇=(3/4)△, ∴ctgα=ctgα＇。 又α、α＇∈(0,π/2),故α=α＇。     

我也能做

1．2006年高考(江苏卷)在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=____．2．cot 20°cos 10° 3~(1/2)sin 10°tan 70°- 2cos40°=____．参考答案:1．4(6~(1/2)) 2．2     

Pedoe不等式的再推广

设a,b,c,Δ与a′,b′,c′,Δ′分别代表△ABC与△A′B′C′的三边与面积,则著名的Pedoe不等式是: a′~2(-a~2+b~2+c~2)+b′~2(a~2-b~2+c~2)+c′~2(a~2+b~2-c~2)≥16ΔΔ′,式中等号当且仅当△ABC∽△A′B′C′时成立。文[1]证明了: 设△.表示a~(1/2),b~(1/2),c~(1/2)组成的三角形的面积,则有     

一组三角不等式新证

△ABC中,若a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边,△为△ABC的面积,则有 ctgA=cosA/sinA=(b~2 c~2-a~2)/2bcsinA=(b~2 c~2-a~2)/4△, tg(A)/2=(1-cosA)/sinA=(a~2-（b-c）~2)/4△等。由此以及海伦面积公式,不难得出以下一些性质: 1. ctg A ctg B ctg C=(a~2 b~2 c~2)/4△.     

简解判定三角形形状的选择题

在选择题中常能见到如下一类的判定三角形形状的问题。例1 在△ABC中有(a~3+b~3-c~3)/(a+b-c)=c~2且sinAsinB=3/4,则△ABC必定是( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰三角形或直角三角形。例2在△ABC中有(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,则△ABC是( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形     

一道平几题的证法管见

题目:设等腰三角形的顶角为20°,腰长为b,底边为a,则a~3 b~3=3ab~2 此题,在翟连林等同志编著的《中等数学习题集》,及一些参考书中都采用了三角证法。出于教学工作的需要,为了使一个未学过三角的初中生也能证明。下面给一种简捷的纯几何法。证 (如图) 过A作∠CAD=20°交BC于D。则△ADC∽△BAC ∴ AB/AC=AC/DC:DC=a~2/b 在△ABD中∵∠BAD=60° BD=b-DC=b-a~2/b 曲余弦定理 (b-a~2/b)~2=b~2 a~2-2a·bcos60°整理得:a~3 b~3=3ab~2故,结论得证。     

中线定理的应用

中线定理 设△ABC的∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,AD为边BC上的中线。则AD~2=1/2b~2 1/2c~2-1/4a~2。 证明 如图,由余弦定理得 c~2=AD~2 a~2/4 -2·AD·a/2cosα, b~2=AD~2 a~2/4 -2·AD·α/2cos(180°-α)。 两式相加,整理即得所证。     

余弦定理的向量复数证明及其变式应用

一、余弦定理的向量证明在任意△ABC中,a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边,则a~2=b~2+c~2-2bccosA,b~2=a~2+c~2-2accosB,c~2=a~2+b~2-2abcosC(2011年陕西省理科(文科)第18题"叙述并证明余弦定理").(直接来原于课     

构造轴对称图形解题

<正>我们在解题中,有时可以适当构造轴对称图形,使隐蔽的条件明朗化,使分散的条件集中化,然后根据轴对称图形的性质,简化解题过程.例1(2010北京中考)问题:已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一     

一个定理的一个联想

先介绍定理:在△ABC中,∠A=2∠B的充要条件是a~2=b~2 bc。只要延长CA至D使AD=AB,则显然△ABC∽△BDC。充分性必要性易证,下面主要谈谈由此产生的二个联想: 联想一:若△ABC中∠A=3∠B,三边关系如何? 过A点作AD交BC于D,使     

第十届江苏省初中数学竞赛试题及参考解答

一、选择题 1、在实数范围内,代数式||(1/2)(-(x-4)~2)-1|-2|的值为(A). (A)1(B)2(C)3(D)以上答案都不对 2.设a>b>0,a~2 b~2=3ab,则(a b)/(a-b)的值为(D)。 (A)(1/2)2 (B)(1/2)3 (C)2 (D)(1/2)5 3.若在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB BD,∠C=30°,则∠B的度数为(B)。 (A)45°(B)60°(C)75°(D)90° 4.下面四个命题     

解直角三角形

由直角三角形中除直角外的另外两个元素(其中至少有一条边)求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。 解直角三角形要依据直角三角形的边角关系,在△ABC中,∠C=90°,三边为a,b,c。 (1)角与角的关系:A B=90°。 (2)边与边的关系:a~2 b~2=c~2。(勾股定理) (3)边与角之间的关系:锐角三角比。(略)     

判断三角形形状的多种方法

三角形既可以按边分类也可以按角分类,当我们得到了它们的边(角)之间的关系或最大角的度数时,就能据此判定三角形的形状.下面向大家介绍判断三角形形状的多种方法,相信对开拓同学们的思维,提高解题技能和技巧会有一定的帮助.一、利用因式分解进行判定例1在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,a~2+2ab=c~2+2bc,试判定△ABC的形状.解析∵a~2+2ab=c~2+2bc,a~2-c~2+2ab-2bc=0,即(a-c)(a+c)+2b(a-c)=0,