例谈计算推理在高考立体几何试题中的运用

区别于用定理推理的计算推理已成为近几年高考立体几何试题的一大亮点,不能不引起同学们足够的重视.例1(2007年全国Ⅰ理科卷)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=45°,AB=2,BC=22%姨,平面SBC⊥底面ABCD,SB=SA=3%姨.(1)求证:SA⊥BC;(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小.解析(1)如图1,取BC的中点O,连结AO,SO.因为∠ABC=45°,AB=     

对一道线面角高考题的思考

题目 如图1,棱锥S—ABCD中,AB／／CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1．     

对2011年高考全国卷立体几何题的探究

题目如图1，四棱锥S—ABCD中，AB／／CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2．CD=SD=1．     

在反思中探索 在探索中创新——记一次解高考题的经历

今年高考数学江苏卷的第21题是: 如图1,在五棱锥S-ABCDE中,SA⊥底面 ABCDE,SA=AB=AE=2,BC=DE=3~(1/2),∠BAE =∠BCD=∠CDE=120°． (1)求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示); (2)证明BC⊥平面SAB; (3)用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小(本小问不必写出解答过程)．     

对一道立体几何题的突破

<正>立体几何是高中数学中极为重要的知识点,是高考必考的内容之一.本文以2012年湖南理科数学试题第18题为例,说明如何用传统的几何方法和向量法来解决立体几何题.如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.(1)证明:CD⊥平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.     

高考浙江卷理科第17题（Ⅱ）的别解

题目如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,°PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.图1(Ⅰ)求证:PB⊥DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角.(Ⅱ)别解1(直接法)由题意知,MN∥BC,所以可作平行四边形CBN O,如图1.因为BN⊥平面DANM,所以CO⊥平面DANM.连DO,则∠CDO就是CD与平面ADMN所成的角.设AB=2.在R t△CDO中,CO=BN=2,CD=5,所以sin∠CDO=COCD=105.所以CD与平面ADMN所成的角的大小为∠CDO=arcsin105.说明要确定线CD在面ANMD上的射影,首先要找有关点在面上的射影,注意到…     

一道无棱二面角题目的不同解法

如图所示,ABCD是直角梯形,∠A BC=90°,SA⊥底面ABCD,AD=0.5,求面SCD与面SBA所成二面角的大小.解法一延长BA与CD,交于点P,连接SP.过点A作AE⊥SP,垂足为E,连接DE.∵SA⊥底面ABCD,AD?面ABCD,∴SA⊥AD.∵AD⊥AB,SA∩AB=A,∴AD⊥面SAB,∴AE为ED在底SAB内的射影.∵AE⊥SP,∴ED⊥SP,∴∠A ED即为面SCD与面SAB所成二面角的平面角.在Rt△SAP中,SA=AP=1,∴AE=2/2.在Rt△EAD中,tan∠A ED=12/2/2=22,∴∠A ED=arctan(2/2)点评无棱二面角的求解,关键在于如何寻找二面角的棱.很明显,在这个题目中,已经知道了…     

高频考点突破之空间平行、垂直证明与求体积

<正>考点一:直线、平面平行的判定及其性质与几何体的体积例1[2016年·课标卷Ⅲ,文19]如图1所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面AB CD, AD//BC, AB= AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点。(Ⅰ)证明MN//平面PAB;(Ⅱ)求四面体N-BCM的体积。证明:(Ⅰ)由已知可得:AM=2/3AD=2,     

2010年高考全国卷及部分省市数学卷试题解法集锦：全国卷Ⅰ（理）第19题

题目 如图,四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB／／CD,AD上DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC．     

圆中两值问题

《平面几何》的圆中两值问题是学生在解答过程中最容易出错或者遗漏的问题 ,为了降低出错率 ,在中考前的总复习 ,师生不妨尝试如下的归纳和总结 1　由于圆是轴对称图形 ,所以它的轴对称性会造成两值问题例 1　在⊙O中 ,弦AB与弦CD平行 ,且⊙O的直径为 1 0cm ,AB =6cm ,CD=4 5cm ,求 :AB与CD两弦之间的距离是多少 ?图 1　　　　　　　　图 2解　设弦AB与CD之间的距离是EF由图 1看到EF=OE OF .由图 2看到EF=OE-OF .其中 ,OE =OB2 -EB2 =2 5- 9=4 ,OF =OD2 -FD2 =5.所以 ,AB与CD两弦之间的距离是 ( 4 5cm或 ( 4 - 5)cm .…     

浅析一道高考题的一题多解

<正>(2013全国新课标·理科18)如图1,直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=2?/2AB.(1)证明:BC1∥平面A1CD.(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.(1)证法1:(作辅助线)如图2,连结AC1,交线段A1C于点O,连结OD,则OD∥BC1.     

2005年高考江苏卷第21题(Ⅲ)的简解

题目如图1,在五棱锥S-ABCDE中,SA⊥底面ABCDE,SA=AB=AE=2,BC=DE=3,∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°.图1()求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示);()证明:BC⊥平面SAB;()用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小(本小问不必写出解答过程).题目中的第()问设计新颖,以填空题的试题形态出现,虽对解题的过程降低了要求,但对学生思维能力提出了更高的要求,丰富了学生的解题思路,方法更为灵活.文[1]中的种种解法仍是过分地强调了解题过程,若通过“距离”来考虑将更为简洁.解取CD的中点F,连结SF.在△SCD中,SC=SD=11,CD=3,故S…     

注意讲清二面角的平面角的本质属性

求二面角的大小是高一立体几何教学中的主要内容之一,然而到了高三,经过一段时间的立几复习后,许多学生对二面角的问题仍是一筹莫展,一再出错。譬如我区高三学生在全区性的一次测试中,有这样一道立几题: 如图1,四面体B-ACD中,点B在底面ACD的射影日在AD上,BD与ACD平面所成角的大小为60°,AB⊥BD,∠ACD=120°,AC=CD=3;试求: (1)四面体B-ACD的体积; (2)二面角A-BD-C的大小。     

一道立体几何高考题两种解法之比较

2004年高考(江苏卷)第四大题:在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP(图1).(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小;(2)设点O在平面D1AP上射影为H,求证D1H⊥AP;(3)求点P到平面ABD1的距离.解(1)连结BP,∵AB⊥平面BC1,∴∠APB为直线AP与平面BCC1B1所成角的大小.在RtABP中,AB=4,BP=12+42=17,∴tan∠APB=ABBP=417=41717.故直线AP与平面BCC1B1所成角为arctan41717.(2)∵点O在平面D1AP的射影为H,∴OH⊥AP,∵PC⊥平面AC,AC为AP在平面AC上射影,AC⊥BD.∴BD⊥AP…     

抓住关键来思考

应用面积射影公式求二面角的大小 ,对于 (一 )平面角虽可作出 ,但比较困难 ,计算繁琐 ;(二 )平面角无法作出 ,或很难下手 .如 :1.直三棱柱ABC-A1 B1 C1 中 ,∠BAC=90° ,AB =BB1 =1,直线B1 C与平面ABC成30°角 ,求二面角B -B1 C -A的余弦值 .解 :易知∠BCB1 =30° ,作AD⊥BC于D ,则AD ⊥面BCB1 ,△AB1 C在面BCB1 上射影是△DCB1 .设二面角为θ ,cosθ =S△DCB1S△AB1C,其中AC =2 ,AB1 =2 ,S△AB1C =1,B1 C =2 ,CD =2 33,S△DCB1=12 B1 C·CD·sin30°=33,即二面角的余弦值为 33.1题图 2题图2 .正方体中 ,求二…     

一个优美结论的深度推广

<正>一、结论的引出在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E:y²=2px(p> 0)和点H(3,4)．点Q在E上，且■.(1)求E的方程;(2)若过点H作两条直线l₁,l₂,l₁与E相交于A,B两点，l₂与E相交于C,D两点，线段AB,CD中点的连线的斜率为k，直线AB,CD,     

四面体与它的外接平行六面体

2003年全国高中数学联赛中有这样一道试题:在四面体ABCD中,设AB=1,CD=3,直线AB与CD的距离为2,夹角为π3,求四面体ABCD的体积.如果孤立地考察四面体ABCD,很难把已知条件与体积联系起来.注意到四面体每组对棱所在直线都是异面直线,过每组对棱可以作一对平行平面,三对平行平面围成     

求斜线和平面所成角的四种策略

斜线和平面所成的角是高考的常考内容,怎样求斜线和平面所成的角的大小呢?本文介绍如下四种策略.1.利用定义一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫做斜线和平面所成的角,寻找斜线和平面所成的角,要在斜线上任取一点作平面的垂线,垂足的定位至关重要.【例1】(2005年高考全国卷Ⅱ)如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点.(Ⅰ)求证:EF⊥平面PAB;(Ⅱ)设AB=2BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.(Ⅱ)解1,如图1,延长AE、BC相交于G,连结FG,则FG为平面PBC与平面AEF的交线,而证…     

方程求解向量分解式遇到的问题

正这是一道向量的典型题目,几乎在所有的练习册中都要出现,如果不观察点的位置,盲目列式,就得不到有效的方程组,使问题得以解决,本人用这道题将这个问题进行说明。已知:在△ABC中,点D是边AB的三等分点,点E是边AC的中点,BE与CD相交于点F。求:(1)用AB和AC表示AF(2)用BC和BA表示BF解:(1)方法一:【分析】利用1平面向量基本定理2A、B、C三点共线OA=xOB+yOC且x+y=1列方程组求解。∵点D是边AB的三等分点,点E是边AC的中点     

巧妙构图 tan15°

如何求 tan 15°?学生时常为这个问题所困扰,笔者经研究发现:利用特殊角(30°,45°和60°)之间的关系巧妙地构造几何图形,不难找到一些简捷、精当的方法,下面以含30°的直角三角形为基本图形,商榷几种求 tan 15°值的方法.基本图形:如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1.基本结论:AC:BC:AB=1:3~(1/2):2,即 AB=2,BC=3~(1/2),∠A=60°.1 以30°角为顶角,构造等腰三角形方法1:如图2,延长 BC 至 D 点,使 BD=AB,连结 AD.由作法可知,BD=AB=2,∠CAD=15°.所以CD=BD-BC=2-3~(1/2).