一个分式不等式的别证

<数学通报>2004年第2期"数学问题解答"栏第1472题是: 已知a,b∈(0, ∞),a b=1,求证:     

对一个不等式的推广证明及进一步猜想

该文受一个征解不等式问题启发,得到并证明了推广的不等式及其等价不等式,并且提出了进一步的猜想.     

一个不等式的简证

<数学通报>2005年1月号问题1533是:     

一个三角形不等式的巧证

《数学教学》2 0 0 1年第 2期问题 532是 :在△ ABC中 ,∠ A,∠ B,∠ C的对边 BC=a,CA= b,AB=c,试证明 :2 bcos C2 +2 ccos B2 >a+b+c. (1 )这是一个形式优美的不等式 ,第 3期给出化边为角的常规的证明方法 ,下面我们给出另一种简便证法 .分析　观察不等式 (1 ) ,我们设想 ,如果能够构造出以 2 bcos C2 ,2 ccos B2 ,a+b+c为边长的三角形 ,则 (1 )式成立就不言而喻了 ,于是我们自然得到如下证法 .图 1证明　过 A点作直线 l∥ BC,BB′平分∠ABC,CC′平分∠ ACB,且 BB′∩ l=B′,CC′∩ l=C′.再过点 B作 BD∥ CC′,BD∩ l=D…     

一个三角形不等式的证明--兼擂题(69)的解答

本刊2004年第5期有奖解题擂台(69)中,孙文彩和万家练老师提出了如下不等式问题:     

一个下界不等式的简证

文[1]提出了一个猜想不等式: 设x,y,z∈(0,+∞),则有     

一个不等式的加强与巧证

文〔１〕给出了不等式１＋１２２＋…＋１ｎ２＜２的证明．文〔２〕给出了１＋１２２＋…＋１ｎ２＜１３１４ｎ－１＋５３的证明．下面我们将给出不等式１＋１２２＋…＋１ｎ２＜２的一个加强式，然后利用放缩法巧妙地给出它的证明．加强式　设Ｓｎ＝１＋１２２＋１３２＋…＋１ｎ２，则Ｓｎ＜１１９７２，且ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ＞１１６７２．证　１＋１２２＋１３２＋…＋１ｎ２＝４９３６＋１４２＋１５２＋…＋１ｎ２＜４９３６＋１３×５＋１４×６＋…＋１（ｎ－１）（ｎ＋１）＝４９３６＋１２１３－１５＋１４－１６　＋…＋１ｎ－１－…     

一个不等式的另证及推广

给出《数学通报》问题1748另外两种利用函数的凸凹性及柯西不等式的证明,并加以推广,列举出此结论的简单应用．     

一个不等式的新证

1996年<中等数学>第2期数学奥林匹克题初40题为:已知x,y,z为正实数,求证:(x)/(2x y z) (y)/(x 2y z) (z)/(x y 2z)≤(3)/(4).     

关于一类非齐次不等式的一个定理

文 [1]利用“消去———配方法”所证明的一类三元非齐次条件不等式问题 ,均可转化为形如ｘｙ ｙｚ ｚｘ-ｔｘｙｚ≤Ｍ的不等式问题 .利用下文的定理 ,或证明定理的方法 ,可以使这类不等式获得统一的解决 .定理　已知ｘ ,ｙ ,ｚ均为非负实数 ,且ｘ ｙ ｚ=Ｍ　 (Ｍ >0 ) ,ｔ∈Ｒ ,则ｘｙ ｙｚ ｚｘ -ｔｘｙｚ≤12 7(9-ｔＭ)Ｍ2 (0 <ｔ≤ 94Ｍ) ;　　　 (1)14Ｍ2 (ｔ >94Ｍ) .　　　 (2 )证明　由于不等式关于ｘ ,ｙ ,ｚ轮换对称 ,不妨设ｘ=ｍｉｎ{ｘ ,ｙ ,ｚ} ,因为ｘ ｙ ｚ=Ｍ ,所以 0≤ｘ≤Ｍ3.(1)当 0 <ｔ≤ 94Ｍ 时 ,由于ｘｙ ｙｚ …     

一个不等式错证引起的思考

笔者在翻阅近期出版的一个杂志时 ,发现一篇题为《一个不等式的简证》的短文 ,全文如下 :已知 :ａ3 ｂ3=2 .求证 :ａ ｂ≤ 2 .证明 :由ａ3 1 1≥ 3 3 ａ3·1·1 =3ａ ,知ｂ3 1 1≥ 3ｂ ,两式相加得ａ3 ｂ3 4≥ 3 (ａ ｂ) .由ａ3 ｂ3=2 ,得ａ ｂ≤ 13 (ａ3 ｂ3 4) =13 × 6     

一个不等式的别证

文[1]中提出并证明了一个不等式:已知正数a,b满足a+b=1,m,n是正数满足m+n≥4,求证:(1/a^m-a^n)(1/b^m-b^n)≥(2^m+n-1/2^n)^2(1).进而提出一个加强式:已知正数a,b满足a+b=1,k是整数且k≥3,求证:(1/a-a^k)(1/b-b^k)≥(2^k+1-1/2^k)^2(2).     

一个不等式的简证

文[1]在证明华罗庚教授提出的两个不等式时给出了如下引理:设x≥u≥0,则有16(x-u)3/2≤(1+3x)2-12u. 下面我们给出引理的一个简单证明.     

关于一个三角不等式的进一步思考

文[1]用导数的方法证明了下面的结论在△ABC中,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC<2.注意到A:B=C=π/3时,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC的值等于3~(1/2),笔者不禁产生联想:`     

一个分式不等式的证明

文[1]末提出如下一个不等式问题：     

一个代数不等式的证明

《中学数学教学》有奖解题擂台(82)为:设x、y、z是正实数,满足x~2 y~2 z~2=1,n是正整数,证明或否定:1/(1-x~(2n)) 1/(1-1y~(2n)) 1/(1-z~(2n))≥(n n1)~(1 1/n)(1)这个不等式是成立的,本文给出证明.证明当n=1时,由已知及均值不等式(1)式左端=1-1x2 1-1y2 1-1z2=y21 z2 z2 1x2 x