“连杆变换”模型及其应用

<正>一、“连杆变换”模型如图1,O是定点,点A在图形(或运动轨迹)lA上,对于点A在运动中的每一时刻,连结OA,把OA绕点O逆时针旋转角度θ,变为OA′,在射线OA′上截取OB,使OB:OA=a:b,点B对应的轨迹图形(或运动轨迹)是lB.借用机械装置结构中的一些专用名词,我们不妨把OA称作主动杆,把OB称作从动杆,把这种先将一个图形绕点O旋转,再把旋转后的图形以点O为位似中心进行均匀放缩的变换称作连杆变换.     

五道竞赛题的统一证明

1.(AIME—10)在ΔABC中,A′、B′和C′分别在BC、CA和AB上,已知AA′、BB′、CC′共点于O,且AO/OA′ BO/OB′ CO/OC′=92.求AO/OA′·BO/OB′·CO/OC′的值。     

一道IMO预选题的探索

第37届IMO预选题的第16题[1]为:设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在的圆于另一点A′,BO交△COA所在的圆于另一点B′,CO交△AOB所在的圆于另一点C′.证明:OA′·OB′·OC′≥8R3.①并指出在什么情况下等号成立?由于不等式①即OA′·OB′·OC′≥8OA·OB·     

为什么要这样画——对“作一个角等于已知角”的探索

在《用尺规作线段和角》一节中,学习了利用尺规作图作一个角等于已知角.它的操作步骤如下所示:已知: ∠AOB,求作: ∠A′O′B′=∠AOB.作法:(1) 以点O为圆心,任意长为半径(用圆规)作弧,分别交 OA,OB于点C, D.(2) 作射线O′A′,以点O′为圆心, OC 的长为半径作弧交O′A′于点C′.(3) 以点C′为圆心, CD长为半径作弧,交前弧于点D′.(4) 作射线O′B′过D′点.∠A′O′B′即为所求作的角.图1　　　　　　　　　　　　　　图2我们大都用模仿复制的方法记住了这个操作步骤,那么,怎么会想到这样画呢? 下面我们一起来探索这个作图的操…     

巧用公式■=(■+λ■)/(1+λ)妙解向量题

1　定理定理 1　若A、B、C三点共线 (如图 1) ,且AC=λCB ,O为任意一点 ,则有OC =OA+λOB1+λ .证明　∵OC =OA +AC =OA +λCB=OA+λ(OB- OC) ,　　　　图 1∴OC =OA+λOB1+λ .变式　若A、B、C三点共线 ,且AC=mn CB ,O为任意一点 ,则有OC =nOA +mOBn+m .定理 2　若OC =λOA +μOB　 (λ ,μ∈R) ,则A、B、C三点共线的充要条件是λ +μ =1.证明　 (必要性 )如果A、B、C在一直线上 ,则存在一个实数m ,使得AC =mCB ,由定理 1得OC =OA +mOB1+m =11+m OA+m1+m OB .令λ=11+m,μ =m1+m,所以λ+μ =1.(充分性 )如…     

有关线段间倒数和的证明

有关线段间倒数和的证明,通常是把倒数转化为线段比,再利用等线段或中间比对其进行代换.1与张角定理及推论有关的命题,可用张角定理证明,也可用其它方法例1如图1,已知P为∠XOY平分线上任一点,过P任作两直线交两边于A、B、A′、B′,求证:1OA+O1B=O1A′+1OB′.证明由张角定理知,O1A+O1B=O2P·cos∠BOA,O1A′+O1B′=O2P·cos∠B′OA′,又因为∠BOA=∠B′OA′,所以cos∠BOA=cos∠B′OA′,所以O1A+O1B=O1A′+O1B′.另证连结AB′交OP延长线于K,利用赛瓦定理:OB′O-B OB·BK′AK·OAO-A′OA′=1①,又OK为角平分线,…     

八年级数学单元测试题（课标人教版）

一、填空题(每空2分,共18分)1.两个能够完全重合的图形称为____________,全等图形的__________和大小完全相同.2.如图1,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠C=20°则∠OAD=_____________.3.如图2,已知AB=AD,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是(只需填一个)____________.4.如图3,P是∠AOB的平分线上一点,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则图中相等的线段有__________________.5.在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,∠A=∠B′,AB=A′B′,则下列结论①AC=A′C′,②BC=B′C′,③AC=B′C′,④∠A=∠A′中,正确的是____…     

利用向量来研究三角形的另一性质

题目:△八工3C的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,且OH=m(OA OB OC),则实数m=(2005年河南高考OB)二O, :.(m一1)〔〕A·(OCOBZ)=0, :.(m一1)〔〕A·(OC-OB) m(OCZ数学试卷巧题) 思路一:所给问题是一个填空题特例法来解决. 解法一:令△ABC为等腰直角三角形,则O为BC中点,A与H重合,故O月二m·乙一 B(〔无A OB OC)可变为aA=m OA,.‘.m=1. 思路二:考虑利用三角形故考虑用OB)二O冷A(H)(m一1)〔无A·BC=0 同理(m一1)OB·(执一1)(扒.CA=O (m一1)OC·(〔从(m一1)OC任3A=0①(口八一OC)=0净②OC一OB)二0冷③若三角形…     

考查学生独立获取知识的能力

要变教会学生知识为教会学生学习 .学生独立获取知识的能力就是会学习的一种重要表现 .近年来 ,在部分省市的中考试卷中出现了具有这方面导向作用的试题 ,现举两例 ,仅供参考 .例 1　如图 1,在平面上 ,给定了半径为r的⊙O ,对于任意点P ,在射线OP上取一点P′ ,使得OP·OP′ =r2 ,这种把点P变为点P′的变换叫做反演变换 ,点P与点P′叫做互为反演点 .图 1图 2( 1)如图 2 ,⊙O内外各一点A和B ,它们的反演点分别为A′和B′ .求证 :∠A′ =∠B .( 2 )如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形 ,那么 ,这两个图形叫做互…     

重视数学设想,提高解题能力

设想是数学上一种很独特的思维方式.探究问题的成败,往往系于分析过程中是否大胆合理的设想.设想是分析过程中不断获得新思路的动力.1从图形“已知”设想例1如图1,用A,B,C表示三个村庄,现要建一座希望小学,让三个村庄都来上学,为使希望小学到三个村庄的距离相等,学校应设在何处?分析设想学校O点已作出,则O点与A,B,C三点的距离相等.即OA=OB=OC.若让OA=OB,则O点必在线段AB的垂直平分线上,若让OB=OC,则点O又在线段BC的垂直平分线上,因此,O点在线段AB,BC垂直平分线的交点处.作法(1)连结AB,BC.(2)分别作AB,BC的垂直平分线,两线…     

构造单位圆,巧解三角题

有些三角问题 ,若根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,巧妙地构造单位圆 ,化数为形 ,利用单位圆的直观性 ,便可简捷地求得问题的解 .例 1　已知sinA +sin 3A+sin 5A =a ,cosA +cos 3A +cos 5A =b ,求证 :当b≠ 0时 ,tan 3A =ab.证明　如图 1,因点A′(cosA ,sinA)、B′(cos 3A ,sin 3A)、C′(cos 5A ,sin 5A)均在单位圆上 ,连结OA′、OB′、OC′ ,则有∠A′OB′ =∠B′OC′=2A ,于是｜B′A′｜ =｜B′C′｜ , A′B′C′为等腰三角形 ,其重心必在B′O上 .又 A′B′C′的重心坐标x =13 (cosA +cos 3A +cos 5A) =13 b ,y…     

一道中考几何题的多方位探索

题目　如图 1,CB与⊙O相切于点B ,半径OA⊥OC ,AB、OC相交于点D .求证 :( 1)CD =CB ;( 2 )AD·DB =2CD·DO .( 2 0 0 1,江苏省连云港市中考题 )1　试题探源该题源于人民教育出版社 ( 1994年版 )《几何》(第三册 )第 117页B组第 2题 :图 2如图 2 ,OA和OB是⊙O的半径 ,并且OA⊥OB ,P是OA上任一点 ,BP的延长线交⊙O于Q ,过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R .求证 :RP =RQ .2　试题的证法探索对于题目 ( 1)欲证CD =CB ,可根据已知条件和圆的有关性质 ,通过作辅助线 ,有很多不同的证法 ,其中以连结OB或过点A作⊙O的切线证明…     

一道赛题的另解及推广

2004全国高中数学联赛第4题:O为ABC内部一点,且有OA+2OB+3OC=0,则ABC的面积与AOC的面积之比为()(A)2(B)23(C)3(D)35原解OA+2OB+3OC=0可变形为(OA+OC)+2(OB+OC)=0.(*)如图1,取AC中点M,BC中点N,则OA+OC=2OM,OB+OC=2ON,代入(*)有2OM+4ON=0,OM=-2ON.∴M、O、N共线,且|OM|=2|ON|,∴S OAM=S OMC=2S ONC.设S ONC=S,则S OAM=S OMC=2S,∴S OAC=4S,S MNC=3S.∵MN为ABC中位线,∴S ABC=4S MNC=12S,∴SS OABACC=142SS=3.现提供另一种解法,并将问题推广到一般情形.另解如图2,分别延长OB到B1,OC到C1…     

"存在"而非"任意"

1常规中出特例,发现问题近日笔者在讲评空间向量一章数学测试练习题时遇到如下常见的一道向量选择题:题1若A,B,C三点共线,O为平面上任意一点,且OA αOB=βOC,则α-β的值为().(A)1(B)-1(C)41(D)-2.在平面向量学习中,我们曾解决过这样一道命题:“向量OA,OB,OC的终点共线的充要条件是存在实数m,n,且m n=1,使得OC=m OA n OB.”而且我们总结出“若A,B,C三点共线,且OC=m OA n OB,则m n=1”.学生都知道这一命题结论,在平面向量的解题中也经常直接使用该命题,给解决这类问题带来很大方便,根据这一命题题1即有如下简解:因OA αOB=β…     

三角形“四心”向量式的充要条件

2005年高考全国卷1(安徽、河南、河北、海南、山西)文科卷中有这样一道选择题:点O是△ABC所在平面内的一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的()A.三条内角的平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点将已知的向量等式变形:OA·OB=OB·OC     

对一道几何问题的反思

今有一道题: 已知平面上一定点C(-1,0)和一定直线l:x=-4,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,(PQ 2PC)·(PQ-2PC)=0. (Ⅰ)问:点P在什么曲线上?求出该曲线的方程. (Ⅱ)点O是坐标原点,A、B两点在P的轨迹上,若OA λOB=(1 λ)OC,且λ＞0,求λ的取值范围.     

三角形对称外心的性质及其应用

关于三角形内特殊点的发现及其性质的挖掘 ,可见文 [1 ]和文 [2 ] ,经过研究 ,本文得到了三角形的对称外心的性质及其应用 .定义　设△ ABC的外心为 O,点 O关于边图 1BC、CA、AB的对称点分别为 A′、B′、C′,连接AA′、BB′、CC′,则 AA′、BB′、CC′相交于一点O′,称此点 O′为△ ABC的对称外心 .证明 :如图 1 ,由平行四边形 OBA′C对角线互相平分知 A′C∥ OB,且 AC′=OB,同理得AC′∥ OB,且 AC =DB,故四边形 AC′A′C是平行四边形 ,所以 AA′和 CC′相交于中点 O′,同理可知 BB′也过点 O′,所以 AA′、BB…     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点…     

一道联赛试题的探究

2004年全国高中数学联赛第4题如下:设点O在ABC的内部,且有OA 2OB 3OC=0,则ABC的面积与AOC的面积之比为()(A)2(B)23(C)3(D)35命题组给出了一种解法,这里我们给出另一种巧妙的解法,这种解法要用到如下结论:设点P分AB的比为λ(≠-1),即AP=λPB,O为任意一点,则OP=OA1 λλOB.将题设条件OA 2OB 3OC=0变形,得OA1 22OB=-OC.①如图1,在AB上取一点P,使AP=2PB,则OP=OA1 22OB.②由①,②知OP,OC共线且|OP|=|OC|,所以S OAC=S OAP=32S OAB.S OBC=S OBP=31S OAB.∴S OBC∶S OAC∶S OAB=1∶2∶3,所以S ABC∶…     

位似变换及其应用

(本讲适合初中) 设O为平面α上一定点,H为α到自身的一一变换。如果对于α上任意异于点O的点A,在OA所在直线上有点A′,满足OA′:OA′=k≠0,则称H为平面α上的位似变换,记为H(O,k)。其中点O为位似中心,k为位似系数或位似比,A与A′在点O的同侧时,k>0,此时O为外分点,此种变换称为正位似(或顺位似):A与A′在点O的两侧时,k<0,此时O为内分点,此种变换为反位似(或逆位似);在k=±1时是恒等变换和中心对称变换,A点集及其象A′点集称为位似变换下的位似形。