这种解法对吗

对于题型f(x)~(1/2)＞g(x),很多参考书和许多同学在解此类不等式时都认为它等价于{f(x)≥0 g(x)＜0,或f(x)≥0,g(x)＞0,(*) f(x)＞g~2(x)．这种解法对吗?我们先看下面的例子：例题：解不等式α~2-x~2~(1/2)＞2x-α(α＞0)．解：如果按照上面的解法有：原不等式等价于     

对教材中的一道例题解法的建议

在高中三年级教学和复习中 ,师生都较注重解题的简单和快捷 ,然而现行教材不等式一章 ,2 0页的例题 4 ,解不等式 x2 - 3x+ 2x2 - 2 x- 3<0中虽然给出了两种解法 ,但在实际解题中这两种方法并不实用。因为在解不等式的问题中经常遇到二次及二次以上的高次不等式 ,本文主要给出第三种解法 :“数轴标根法”。同时对三种解法进行比较来说明第三种解法的优点。现给出教材中的两种解法 :解法 1:这个不等式 x2 - 3x+ 2x2 - 2 x- 3<0的解集是下面的不等式组 ( )及不等式组 ( )的解集的并集 :( ) x2 - 3x+ 2 >0 (1)x2 - 2 x- 3<0 (2 )( ) x2 - 3x+ 2 …     

一类特殊不等式的解法

如果一个表示不等关系的式子中含有两个不等号,例如-1＜2x+4＜2或2(x-1)-1＜+3＜-3x-1等,我们称之为连不等式.下面让我们共同探讨这一类特殊不等式的解法.     

不等式F(x)·(√φ(x))≥0的解法探讨

一、引例 解不等式:(x-4)√x2-3x-4≥0 在一次练习中,几乎所有的学生都采用了如下解法: 原不等式等价于不等式组 {x-4≥0 {x≥4 x2-3x-4≥0 即 x≥4或x≤-1 故原不等式解集为|x|x≥4}     

掌握基本解法的同时应兼顾巧解

人教版全日制普通高级中学教科书(必修《)数学》第二册(上)第6.4不等式的解法举例一节中P18例2解不等式x2-3x 2x2-2x-3<0.该题的解法是:根据等价转化的思想方法,原不等式等价为两个不等式组(Ⅰ)x2-3x 2>0x2-2x-3<0!0不等式组(Ⅰ)和不等式组(Ⅱ)解集的并集即为原不等式的解集,具体的分析及解答过程见教科书P18￣P19。同时,与该教科书配套的《教师教学用书》关于本题的说明指出,处理这一类问题的基本思路是:在解不等式(f x)>0(<0)时,如果(f x)可以表示成几个代数式的商或积,那么,根据实数运算的符号法则,可以把它等…     

由一道易错题探一类集合的补集

题目已知全集U=R,M={x｜x-2/x^2-2x-3＜0},求CuM.解法1：CuM={x｜x-2/x^2-2x-3≥0}={x｜-1＜x≤2或x＞3}.解法2：M={x｜x-2/x^2-2x-3＜0}={x｜x＜-1或2＜x＜3},则CuM={x｜-1≤x≤2或x≥3}.评析：两个不同解法得到了两个不同的答案,     

不等式 F(x)·(Φ(x))~(1/2)≥0的解法探讨

1 引例解不等式(x-4)(x~2-3x-4)~(1/2)≥0.在一次练习中,几乎所有同学均采用如下解法:原不等式等价于不等式组(?)解之得 x≥4,故原不等式解集为{x|x≥4}.显然,当 x=-1时,原不等式也能成立,因此,以上解答错了.2 探讨一     

“常量”与“变量”

常量与变量是数学的两个重要概念.在不同的问题中,同一个字母可能是常量,也可能是变量,具有相对性.在解题时常常被忽视或对其认识不足.现举几例,供同学们借鉴. 例1 若不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的取值范围. 解:原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0,记f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).根据题意知,要使不等式成立,只要f(-2)<0且f(2)<0,即2x2+2x-3>0且 2x2-2x-1<0.解之,x的取值范围是(-1+7～(1/7))/2相似文献   

一道全国竞赛题的多种解法

20 0 1年全国高中数学竞赛第一试第 11题为 :函数 y =x + x2 - 3 x+ 2的值域为.下面提供五种解法 ,以飨读者 .解法 1　移项得 y- x=x2 - 3 x+ 2 ,上式等价于 (y- x) 2 =x2 - 3 x+ 2 ,y- x≥ 0 .12由 1得 x=y2 - 22 y- 3 ,代入 2得 y- y2 - 22 y- 3≥ 0 ,即 (y- 1) (y- 2 )2 y- 3 ≥ 0 ,解得 1≤ y<32 或y≥ 2 .故原函数的值域为 [1,32 )∪ [2 ,+∞ ) .解法 2　原函数式可变形为 y=x+(x- 32 ) 2 - 14,∵ x2 - 3 x+ 2≥ 0 ,∴ x≤ 1或 x≥ 2 .令 t=x- 32 ,则 t≤ - 12 或 t≥ 12 ,y=t+ 32 + t2 - 14.当 t≥ 12 时 ,y是 t的增函数 ,当 t=12时 ,…     

如何求不等式恒成立的参数的取值范围

求不等式恒成立的参数的取值范围,是中学教学的难点之一,也是高考、数学竞赛的热点.下面就此问题的几种基本解法加以论述. 一、利用一次函数的性质 一次函数y=f(x)=ax+b在x∈[m,n]上恒大于零的充要条件是:{a＞0,f(m)＞0 或{a＜0,f(n)＞0或{f(m)＞0,f(n)＞0.(对于y=f(x) =ax+b恒小于零的条件亦可类似给出) 例1 若f(x)=(x-1)m2-6xm+x+1在区间[0,1]上恒为正值,求实数m的取值范围.     

利用口诀,妙解一元一次不等式

一元一次不等式组是初中数学的重要知识点,也是中考的热点,在各地中考试题中频频亮相.以下笔者通过数轴与口诀的例举解析,望对同学们学习此部分内容有所帮助. 一、大大取大 例1:解不等式组{x-4＞0 ① 3x＞2(x-1)② 解法一:由不等式①,得x＞4 由不等式②,得x＞-2 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示如图所示:     

结果正确,解答未必正确

好多同学解完题后,喜欢相互之间对一下结果或询问老师正确的结果,若结果相同或正确,则以为解答正确,殊不知,有时结果正确解答未必正确.本文以几道代数题为例,分述如下:一、关于分式运算例1计算:22x+3+33-2x-2x+159-4x2.解法1原式=22x+3-32x-3+2x+15(2x+3)(2x-3)=4x-6-6x-9+2x+15=0.解法2原式=22x+3-32x-3+2x+15(2x+3)(2x-3)=4x-6-6x-9+2x+15(2x+3)(2x-3)=0.分析:解法1混淆了分式的加减运算与分式方程的求解,误用“去分母”,违背了分式加减的运算法则,故解法1是错误的.二、关于根式运算例2化简:a-ba√+b√(a>0,b>0).解法1a-ba√+b√=(a-b)(a…     

一道练考题的别解引起的思考

在学习了绝对值不等式的解法及绝对值三角不等式(高中数学选修4-5)的一次练习中,对题目:用两种方法解不等式:|x+1|+|x-1|<2,有一位学生给出了这样两种解法:解法1(1)当x<-1时,由-(x+1)-(x-1)≤2得x≥-1,故x∈?;(2)当-1≤x≤1时,由(x+1)-(x-1)≤2得2≤2,故-1≤x≤1;     

分式不等式解法的改进

高中《代数》(下册)课本第20页例4是:解不等式x~2-3x 2/x~2-2x-3书上有解法如下:先把原不等式化为(x-1)(x-2)/(x-3)(x 1)<0.再列表把分子分母各因式的根按照从小到大的顺序排列得下表     

一个恒等式的应用

利用恒等式a(x_1 x_2)±x_1x_2=±(x_1±a)(x_2±a)±a~2求方程的整数解与证明条件不等式十分有效。例1 求方程x y-xy=324的整数解解原方程化为 -(x-1)(y-1) 1=324即(x-1)(y-1)=-323。∵ -323=(-1)×323=l×(-323) =(-17)×19=17×(-19)∴ (1){x-1=-1 y-1=323;(2){x-1=1 y-1=-323; (3){x-1=-17 y-1=19;(4){x-1=17 y-1=-19。解得: (1){x=0, y=324;(2){x=2, y=-322; (3){x=-16 y=20;(4){X=18 y=-18。注意到原方程是对称轮换方程,     

剖析不等式f(x)(g(x))(1/2)≥0的解法

在多年的教学中,我发现学生在求解形如f(x)g(x)≥0的不等式中往往会因为一些原因不清楚而得到错误的结论,究其原因不外乎对式子中的等号理解不透,如何处理这类题呢?下面就以一个例子作为说明.题目:解不等式(x-2)x2-4x 3≥0.误解一:原不等式等价于x-2≥0x2-4x 3≥0,化简得:x≥3,     

巧移项 妙解题

移项是解方程的一个重要步骤,灵活运用移项的方法可以使运算简化.现举几例说明.例1解方程:3-x=4x-2.解法一:移项,得-x-4x=-2-3.合并同类项,得-5x=-5.系数化为1,得x=1.解法二:移项得:3+2=4x+x.合并同类项,得5=5x.系数化为1,得x=1.同学们把两种解法比较一下,哪种方法更好些?显然解法二更好,这样可避免符号出现差错.例2解方程:x-13〔x-13(x-9)〕=19(x-9).分析:先去中括号,把右边的19(x-9)作为一个整体移到左边,这样比较简便.解:去中括号,得x-13x+19(x-9)=19(x-9).移项,得x-13x+19(x-9)-19(x-9)=0.合并同类项,得23x=0.数学系数化为1,得x=0.例3已…     

含绝对值试题的解法

“绝对值”是初中数学中的一个重要概念,和绝对值有关的试题经常出现.这类题涉及的数学知识面广,解法灵活多变,对提高学生的数学思维能力有很大的促进作用.以下举例说明几种解法.一、平方法因为绝对值是非负的,所以对于一些比较简单的试题,运用平方法可以去掉绝对值,使复杂的问题简单化.例1.解不等式｜x+1｜+｜x｜<2.解:两边平方,整理得2｜x｜｜x+1｜<3-2x-2x2,两边角平方,整理得4x2(x+1)2<9-12x(x+1)+4x2(x+1)2平线即4x2+4x-3<0,(2x-1)(2x+3)<0,解得-32相似文献   

不等式lnx≤x-1的类似及加强

用导数容易证得定理1lnx≤x-1(x>0)(当且仅当x=1时取等号).普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A版》(人民教育出版社2007年第2版)第32页的习题第1题的第(3)小题"证明不等式:ex>1+x(x≠0)"的结论与该不等式是等价的.笔者认为,该不等式因其形式简     

浅谈数学思想在不等式中的应用

一、转化与化归思想在解题中的应用不等与相等是相对的,在一定条件下可以互相转化,解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程.无论哪种类型的不等式,其求解思路都是通过等价转化,把它们最终转化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)求解.例1解不等式(x~2-9x+11)/(x~2-2x+1)≥7分析:因为分母x~2-2x+1=(x-1)~2≥0,且分母不能为零,所以当x≠1时即可去分母转化为整式不等式.