实数与数轴

实数与数轴有着密切的联系,即：任何一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示;反过来,数轴上任何一个点都可以表示一个实数．也就是说,实数和数轴上的点是一对应的．因此,我们通常把数轴称之为实数轴．数轴可以揭示实数的几何意义,在数轴上表示相反数、绝对值等定义也更加直观．     

实数与数轴

实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,数轴上的每一个点也都可以用一个实数来表示．因此,在实数范围内,可以通过数轴建立起数与形的联系,用数形结合的思想来解题．     

无理数大小比较的方法

实数的大小比较是初中数学的一个重要内容,特别是两个无理数的大小比较是难点。下面举例说明实数比较大小的方法,帮助同学们提高解题能力。实数比较大小的法则:在数轴上,右边点对应的实数比左边点对应的实数大;正实数大于0,0大于一切负数;两个负数比较大小,绝对值大的反而小。     

实数大小的直观比较

我们知道实数与数轴上的点是一一对应的 ,根据这种对应 ,在数轴上右边的点所表示的实数比左边的点所表示的实数大 ,这样就能从数轴上较直观地区别两个实数的大小。这是比较两个实数大小的一种方法。数轴上的两个点Ａ和Ｂ表示两个实数ａ和ｂ ,如果点Ａ与点Ｂ重合 ,那么有ａ=ｂ ;如果点Ａ与点Ｂ不重合 ,那么 ,由于点Ａ和点Ｂ在数轴上的位置已经固定 ,或者是点Ａ在点Ｂ的左边 ,或者是点Ａ在点Ｂ的右边。这时 ,对它们所表示的实数ａ和ｂ来说 ,就有ａ<ｂ ,或者ａ >ｂ。这三种情况 ,必定有一种也只能有一种情况出现 ,不可能出现两种或三种。因为 ,…     

绝对值的意义及应用

一、有关绝对值的主要内容１．绝对值的代数定义：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．２．绝对值的几何定义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值．３．绝对值的主要性质：（１）代数定义表达式：（２）一个实数的绝对值是一个非负数，即｜ａ｜≥０．因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．（３）任何实数都有唯一绝对值，并且任何一个实数都不大于它的绝对值，即ａ≤｜ａ｜．（４）两个相反数的绝对值相等．二、有关绝对值知识的应用１．如果根据已知条件或题目中的…     

数轴及其应用

学习有理数的意义时,引进了数轴的概念．数轴的现实原型就是温度计,它可以看作是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．因此,在数学中,我们这样来定义数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．它有三个要素：原点,正方向,单位长度．三者缺一不可．具备了这三个要素的直线才是数轴,否则就不是数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但是不能说数轴上的每一个点新表示有理数（在我们学习了实数之后、,所有的实数都可以用数轴上的点表示卢时对干数轮卜的仟何一个点．都有一个实数与它对应．实数与数轴上的点是—一…     

学习直角坐标系应注意的问题

学习平面直角坐标系是学习函数和其他知识的基础和工具．要切实掌握以下几个问题：一、坐标平面的点和有序实数对的——一对应关系设点P（x,y）,它的横坐标x和纵坐标y是一对有序实数,不能随便改变它们的顺序,A（－3,5）和B（5,－3）表示两个不同的点．坐标平面的每一个点都和一对有序实数相对应;反过来,每一对有序实数都和坐标平面的一个点相对应．这就是坐标平面的点和有序实数对的——一对应关系二、注意各象限内点的坐标的符号一、二、三＼四象限内点的坐标的符号依次是（＋,＋）、（－,＋）＼（－,－）、（＋,－）．一、…     

函数连续性的几个问题

函数的连续性和可微性是微积分的基本概念,维尔施特拉斯用ε、δ这种静态的有限量刻划了动态的无限量,给出了函数连续性的现代定义,并用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例子。典型函数如狄里克雷函数在实数域上每一点都不连续,而黎曼函数在每一无理数点上连续,在每一有理数点上不连续。基本初等函数与初等函数的连续性有定义域和定义区间的区别,一些初等函数的定义域是一些离散的点,因此,初等函数只能在其定义区间内连续。     

坐标与距离之间的互化

<正>数轴上每个点都对应一个实数,这个实数就是这个点在数轴上的坐标．类似地,平面直角坐标系内的任意一点M,都有唯一的一对有序实数（x,y）和它对应,其中x是点M的横坐标,y是点M的纵坐标,有序数对（x,y）称为点M的坐标．一、由坐标求距离     

一个在闭区间上满足介值定理处处不连续的函数

四川师院学报1981年第2期刊载了颜怀曾同志《一个处处满足介值定理处处不连续的函数》一文,它深刻地揭示了介值性定理是闭区间上连续函数的一个特性,但介值性与连续却没有必然的联系。该文所证明的函数是以实数与十进小数的对应关系为理论依据,但缺乏几何直观性,对大学一、二年级的学生仍然觉得抽象、不大容易理解。本文构造一个直观,容易讲授,容易理解的,在闭区间上满足介值定理处处不连续的函数。并进一步指出函数在一个点连续、可导,与函数在该点的邻域内存在连续曲线段是两个不同的概念。     

非负数性质及应用(初二)

且看“非负数”的家族成员:一个实数的偶次幂是非负数;一个实数的绝对值是非负数;一个正数或0的算术根是非负数;偶次根式的被开方数是非负数;在数轴上原点及原点右侧的一切点所表示的数是非负数;一元二次方程有实数根,则其判别式是非负数;     

从反面思考

反面思考数学问题 ,是数学思维的一种重要方法 ,它广泛用于解题之中。比如 ,“若３个方程ｘ２ ｍｘ -ｍ＝０,ｘ２ ２ｍｘ -３ｍ＝０,ｘ２ （ｍ -１）ｘ ｍ２＝０中 ,至少有一个方程有实数根 ,试求实数ｍ的取值范围”一题 ,从正面上思考 ,则要分多种情形讨论 ,很是复杂。那么换一个角度想 ,就会另有感觉———简单明了。“至少有一个方程有实数根”的反面就是“３个方程都没有实数根” ,我们如果求出了“３个方程都没有实数根”时ｍ的取值范围 ,则运用补集就可求出“至少有一个方程有实数根”时ｍ的取值范围。因此 ,若３个方程都没有实数…     

初中代数系列练习

(一)实数练习目的要求: 掌握实数数系表,相反数、倒数、数轴、绝对值等概念,及有关实数的运算.一、选择题 1.与数轴上的点一一对应的是___.(A)全体整数;(B)全体有理数;(C)全体无理数;(D)全体实数. 2.下面的命题对的是__.(A)无理数都是实数;(B)实数都是无理数;(C)无限小数都是无理数;(刀)有理数是正数和负数. 3。任何实数的平方总是___.(A)正数;〔B)负数;(C)非负数;(D)任意实数. 4,下列实数中无理数的个数有_.了丁,2 .7321,万,、/息工,(、/’了)’,192,5 11130”.(A)二个;(刀)三个;(C)四个,(D)五个. 5.若a.b二0,则_。(A)其中a是零;(B)…     

难题征解

34.在射线AC、BC上分别有n个点D_i,E_i,且(D_iA)/(EiB)=k,(k为正常数,i=1,2,…,n),若Fi是AD_iE_iF_i的顶点,则n个点F_i共线。 (浙江省瑞安市叶挺彪提供) 35.设k为无理数,b为实数,试证明或否定下列论断:对于任意给定实数ε>0,都有一个整点Q(即纵、横坐标都是整数的点),使得点Q到直线y=kx+b的距离大于0,但小于ε。 (河南吴伟朝提供) 36.一个接一个地写出2~(n-1)个不同的数列,它们的长度都是n,且皆由0和1组成。巳知对于这些数列中的任意3列,都可以找出这样的数p,使得在它们的第p项上数字皆为1.证明存在数k,使得在所     

从两种坐标系的异同谈极坐标的教学

极坐标系与直角坐标系一样，它们都是解析几何学科中的重要知识，在完成解析几何教学任务中同样起着重要作用．分清直角坐标系与极坐标系中有关问题的异同，对教与学都是有好处的．一、点的坐标点的直角坐标为（x，y)，点的极坐标为（ρ,θ），它们相同的是，点都是由两个实数（一个有序实数对）决定的．它们不同的是，点与它的直角坐标有一一对应的关系，而点与它的极坐标却没有这种关系．具体地说，给定极坐标ρ和θ后就唯一确定一个点，但反过来，一个非极点的极坐标有（ρ,θ），（ρ，2kπ＋θ），（-ρ,（2k＋1）π）（可以统一为((-1…     

数与式的考点分析及复习研究

弹补”r‘考点1实数的概念 [必考知识回顾〕1.和统称实数.实数和数轴上的点是每一个实数都可以用上的来表示,反过来,都可以用一个实数来表示. 2.叫做无理数一般说来,凡开方开不尽的数都是无理数,但要注意用根号形式表示的数并不都是无理数(如了~万),也不是所有的无理数都可以写成根号的形式(如幻. [考题举例〕 例1(1 995年江苏省泰州市)在下列实数琴、tg6。。、。衬/万、要、一3、 ,J’、--一”~“一”一’‘~~7、一0一’一、’一、2、sin30“中,无理数有()个. (A)l(B)2(C)3(D)4 例2(2000年江苏省常州市)在4、tg 45。、。o,30·、粤、一7…     

函数的概念、性质及其图象

（一）平面直角坐标系与函数概念一、知识要点1．平面直角坐标系在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴,构成平面直角坐标系,简称坐标系．建立了坐标系的平面叫做坐标争面．对于坐标平面内任意一点,都有唯—一对有序实数与它对应;对于任意一对有序实数,在坐标平面内都有唯一一点与它对应,也就是说,坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．与点P相对应的有序实数对（x,y）叫做点P的坐标．X轴和y轴把坐标平面分成四个象限,各象限内点的坐标的符号如图1所示．X轴上任何一点的纵坐标都为0,所以,X轴上任一点的坐标为（x,0）;x…     

平面直角坐标系与实数

1.平面直角坐标系为了确定平面上点的位置,我们用互相垂直的有公共原点的两条数轴建立平面直角坐标系.这样,平面上的每一个点,就和一对有序实数对应,这对有序实数称为点的坐标.两条坐标轴将直角坐标平面分成四个象限,坐标轴不属于任何一个象限.2.实数无限不循环的小数叫无理数,无理数不能用分数来表示.实数包括     

一道代数问题的求解与推广

正对于任意的2个实数a,b,如果a+b0及ab0同时成立,则必有a,b0.而对于任意的3个实数,如果关于这三个实数的3个基本对称多项式的值均大于0,这三个实数是否都大于0?这是一个有趣的问题.更严格地,我们有命题1:已知(1)a+b+c0;(2)bc+ca+ab0;(3)abc0;则:a,b,c0.     

非负数性质在解题中的应用

我知道若a≥0,则a叫做非负数.除此之外,一个实数的偶次幂是非负数;一个实数的绝对值是非负数;一个正数或零的算术根是非负数. 非负数有一个很重要的性质;如果几个非负数的和等于零,那么,这几个非负数都等于零.