任意凸四边形的一个面积公式

设凸四边形的一组对边中点连线为a.另一组对边中任一边中点到a的距离为h.则凸四边形面积.     

一个凸四边形面积公式的另证

对一个凸四边形面积公式SABCD=√ （ p-a）（p-b）（p-c）（p-d）-abcd×cos^2 φ给了新的推证方法．并得出四边给定的所有四边形中,当四点共圆时,四边形面积最大．     

一个四边形的面积公式

一个四边形的面积公式□李显权（四川富顺师范学校６４３２００）本文给出一个求平面四边形面积的一个公式：定理平面任意四边形的面积，等于四边形不相邻两边中点的连线长乘以另两边的任一中点到该连线距离的２倍．已知：如图１，在四边形ＡＢＣＤ中，设Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是...     

凹四边形的一个面积公式

文 [1 ]证明了凸四边形的一个面积公式 ,本文应用类似的方法 ,证明了该公式也适用于凹四边形 .定理　设凹四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ,ＤＡ =ｄ ,对角线ＡＣ =ｍ ,ＢＤ =ｎ ,则其面积Δ =144ｍ2 ｎ2 -(ａ2 -ｂ2 +ｃ2 -ｄ2 ) 2 .证明 :不妨设Ｃ是凹顶点 (如图 ) .延长ＡＣ交ＢＤ于Ｅ ,记∠ＡＥＢ =θ ,ＢＥ =ｘ ,ＥＤ =ｙ ,ＣＥ =ｚ,则ｘ +ｙ=ｎ ,ＡＥ =ｍ +ｚ .由余弦定理 ,有ａ2 =ｘ2 +(ｍ +ｚ) 2 -2ｘ(ｍ +ｚ)ｃｏｓθ ,ｂ2 =ｘ2 +ｚ2 -2ｘｚｃｏｓθ,ｃ2 =ｙ2 +ｚ2 +2 ｙｚｃｏｓθ ,ｄ2 =ｙ2 +(ｍ +ｚ) 2 +2 ｙ(ｍ …     

集锦 四边形面积的一个公式

计算三角形的面积有许多公式 ,而有关四边形面积的计算公式却很少 .在文献 [1]中有如下四边形面积的计算公式 :S=12 d1 d2 sinφ= ( p- a) ( p- b) ( p- c) ( p- d) - abcdcos2β.　这里 p=12 (a b c d)是四边形ABCD的周长的一半 ,β是两个对角之和的一半 .φ为 a边所对两对角线所成的角 .特别地 ,当四边形是圆内接四边形时 ,就得到S=(p- a) (p- b) (p- c) (p- d) .在本文中 ,我们将给出另一个四边形的面积计算公式 :S=14(b2 - a2 d2 - c2 ) tgφ,(1)此处φ为 a边所对两对角线所成的角 ,且φ≠π2 .证明　如图 ,我们设 AO=d1 1 ,B…     

凸四边形面积公式的证明及推广

对△ＡＢＣ ,记ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ,ＡＢ =ｃ,ｓ=(ａ ｂ ｃ) /2 ,△为其面积 ,则有海伦定理 :Δ =ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)。对上述定理 ,有熟知的推广 :定理 1　对圆的内接四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ ,ＤＡ =ｄ ,ｓ=(ａ ｂ ｃ ｄ) /2 ,△是其面积 ,则Δ =ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) (ｓ-ｄ)。当ｄ =0时 ,我们得到海伦定理。文 [1 ]给出了一个凸四边形的面积公式如下 :定理 2　对凸四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ,ＤＡ =ｄ ,ｓ=(ａ ｂ ｃ ｄ) /2 ,四边形ＡＢＣＤ的一组对角和为 2ｕ ,△是其…     

任意凹四边形的一个面积公式

本刊1997年第3期刊登了《任意凸四边形的一个面积公式》一文,其实该文的结论对凹四边形也是正确的。 命题 设凹四边形的一组对边中点的连线长为a,另一组对边中任一边中点到a的距离为h。则该凹四边形的面积     

一个平面四边形面积公式的证明

号称为"几何定理的解析方法的杀手"曾用来为莫斯科队参加全俄罗斯中学数学奥林匹克竞赛作训练,据称还未曾找到解析证法,笔者经过探讨得到了一个解析法证明.     

一个四边形面积近似计算公式的改进

设Q=ABCD是一块四边形的农田,它的面积为S=S_(ABCD),它的四条边的长度依次为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d。令 S_1=(a c)/2·(b d)/2 (1)为Q的两组对边长度的平均值的乘积。如所周知,当Q的形状比较接近于矩形时,也就是说,当Q的四个顶角与90°的差的绝对值均比较小时,人们可以使用如下的近似公式去计算Q的面积S:     

凸四边形的一个性质及其应用

<正>初中数学中的面积问题,一直是数学教学中必须面对的问题之一.尤其是涉及非特殊四边形面积问题(多涉及不规则图形面积的计算),无疑增加了解题的难度.为化解难点,本文介绍凸四边形的一个性质及其应用.一、性质如图1,已知凸四边形ABCD,对角线AC     

四边形的面积公式

定理　已知 (凹或凸 )四边形ABCD中 ,AB =a ,BC =b ,CD =c,DA =d ,p为半周长 ,pa=p -a ,等等 .则面积S =papbpcpd-abcdcos2 A +C2 .证明 :S =12 (adsinA +bcsinC) .4S2 =a2 d2 sin2 A +2abcdsinAsinC +b2 c2 sin2 C=a2 d2 +b2 c2 -a2 d2 cos2 A -b2 c2 cos2 C+2abcdcosAcosC -2abcdcos(A +C)=a2 d2 +b2 c2 -[adcosA -bccosC]2-2abcdcos(A +C)=a2 d2 +b2 c2 -14(a2 +d2 -b2 -c2 ) 2-2abcdcos(A +C) ,1 6S2 =4(a2 d2 +b2 c2 ) -(a2 +d2 -b2 -c2 ) 2　 +8abcd -1 6abcdcos2 A +C2=4(ad +bc) 2 -(a2 +d2 -b2 -c2 ) 2-1 6abcdcos…     

四边形的一组新面积公式及其应用

本文借助于向量的数量积给出平面任意四边形的一组新面积公式,并举例介绍其应用.引理1对平面任意四边形ABCD,有SABCD=12AC·BD·sinα(其中,α是对角线AC、BD所成的角)图1证明:(1)如图1,若四边形ABCD是凸四边形,则SABCD=S△PAB S△PBC S△PCD S△PDA=12PA·PB·sin∠APB 12PB·     

四边形海伦-秦九韶面积公式的一个推广

20 0 1年全国高考数学 (文史 )第 1 9题如下 :题　已知圆的内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ =2 ,ＢＣ =6,ＣＤ =ＤＡ =4 ,求四边形ＡＢＣＤ的面积。本题有七种以上解法 ,有利于考查学生灵活运用知识的创新能力。若用本文下述公式① ,则只要代入数据 ,即可算得面积△ =83。事实上 ,对圆的内接四边形 ,设其四边长为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,ｓ=12 (ａ ｂ ｃ ｄ) ,△为其面积 ,则有△ =(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) (ｓ-ｄ)①①式的证明参见文 [1 ],当ｄ =0时 ,①式变为△ =ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)②②式是著名的海伦 -秦九韶公式 (参见文 [2 ]) ,…     

一个四边形面积定理的应用

一个四边形面积定理的应用曾祥术（湖南省龙山县石羔中学４１６８０１）图１如图１,ＢＤ、ＣＥ相交于△ＡＢＣ内一点Ｆ,对于四边形ＡＥＦＤ的面积,有如下定理：定理在△ＡＢＣ中,Ｄ、Ｅ分别是ＡＣ、ＡＢ边上的点,ＢＤ与ＣＥ相交于点Ｆ,且ＡＥＥＢ＝ｍ,ＡＤＤＣ＝ｎ...     

四边形面积的一个性质及其推论的应用

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等。证明如图1,记∠AOB=a,△AOB、△COD、△AOD和△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3和S_4,则由三角形面积公式,有     

四边形面积公式的向量表示及应用

高中数学必修5（北师大版）第48页的例3告诉我们：在△ABC中,其面积有向量表示式：     

求一类四边形的面积公式

大家知道,已知三角形的三条边的长a、b、c,应用海伦公式: S=(P(P-a)(P-b)(P-c))~(1/2) (Ⅰ) 其中P=1/2(a+b+c),就可以求出它的面积S。本文的目的,是试想把海伦公式的“构造”推广到四边形中去。换句话说,就是探讨在什     

四边形面积公式的三角证法

设四边形ABCD四边的长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,两对角线的长为AC=e,BD=f,面积为S,则 S=1/4 (4e~2f~2-(a~2-b~2+c~2-d~2)~2)~(1/2)。这就是贝利契纳德公式。梁绍鸿先生所著《初等等数学复习及研究(平面几何)》一