一道求取值范围题的错解剖析

有一次向学生布置这样一道作业: 题 设x、y∈R~ ,x 2y=1。求1/x 1/y的取值范围。 在学生的作业中出现了以下的一种似是而非的错解:     

溶液百分浓度稀释计算中常见的一种错误

例:配制500毫升30％的硫酸溶液(比重为1.22/克毫升)需要98％的浓硫酸(比重为1.84克/毫升)和水各多少毫升? 这道题有部分同学及少数教师的解法如下: 所需的浓硫酸毫升数例:配制500毫升30％的硫酸溶液(比重为1.22/克毫升)需要98％的浓硫酸(比重为1.84克/毫升)和水各多少毫升? 这道题有部分同学及少数教师的解法如下: 所需的浓硫酸毫升数=(500毫升×1.22克/毫升×30％)/(8.4 克/毫升×98％)=101.7毫升。 所需水的毫升数=500毫升-101.7毫升=398.3毫升。 上述水的体积的解法是错误的。正确的解法应为: 所需水的毫升数=(水的质量)/(水的密度)=500毫升×1.22克/毫升-101.7毫升×1.84克/毫升 1克/毫升=422.9毫升。 错误的原因,是对两种分子结构相差较大的液体互溶后总体积减少没有理解。 我们知道,任何物质分子与分子之间都是有间隔的,而不同物质分子间间隔的大小也不完全一样。分子结构相差较大的物质混溶后,一种物质的部分分子钻到另一种物质分子的间隙中去,这样,总体积自然就减小了。就象一斗芝麻与一斗大豆混和均匀总体积不等于两斗一样。许多物质与水互溶,由于产生缔合、或形成水合分子(水合离子),使分子间间隔缩小而引起总体积的减少。     

一道不等式证明题的几种证法

在学习不等式的解法和证明这一部分时,有这样一道例题: 已知:x＞0,y＞0,x 2y=1,求证:1/x 1/y≥3 2√2. 在该题的教学中,学生思维特别活跃,一题多解,竞相发言,课堂气氛高潮迭起.下面是一位同学课后根据课堂讨论情况整理的笔记,他对该题的解法进行了总结.     

由一道趣题引发的思考

正教学片段:学生学完"有理数"及"一元一次方程"这两章内容后,我给学生出了这样一道题:用""、""或"="填空:0.91学生分小组讨论后,一致认为0.9一定小于1,但对于为什么却不清楚。我引导学生这样分析:运用方程的思想,令0.9=x,则可变形为0.99=x     

我收到学生的“抗议”短信

星期一下午第二节课,数学思维方法课,我和学生共同探讨一道"聪明题"的解法。聪明题是:学校田径组原来女生人数占÷,后来又有6名女生参加进来,这样女生人数就占田径组总人数的丢。现在田径组有女生多少人?学生高俊逸首先到黑板上边板书边讲解他的方程解法:解:设田径组原有x人。1/3x+6=(x+6)×4/9x=30(30+6)×4/9=16(人)     

由一道习题引发的研究性学习

问题引入上课时我给学生出了这样一道题: 已知椭圆x2/9 y2/4=1和点D(0,3),点M、N在椭圆上,且DM=λDN,求λ的取值范围.     

关于结晶水合物的溶解度计算

在复习关于溶解度与百分比浓度的混合计算时,往往涉及到结晶水合物的溶解度计算。这类题难度较大,学生易做错。例如: 已知无水硫酸铜溶解度0℃时为14.8克,40℃时为29克,把40℃时浓度为18％的硫酸铜溶液100克冷却到0℃,析出硫酸铜晶体多少克? 学生往往这样做: 解:溶质质量:100×18％=18(克) 溶剂质量:100-18=82(克) 设0℃时82克水应溶x克CuSO_4才饱和则100:14.8=82:x x=12.14(克) 相当于析出CuSO_4质量:18-12.14=5.86(克) 根据CuSO_4→CuSO_4·5H_2O,设析出晶     

计算某些复数方幂和的特殊方法

“数学教学通讯”1982年第1期的“关于复数题的分类”一文中,有这样一个例题: “已知x+1/x=1,求x~(14)+1/(x~(14))~n此题可以看成是下面问题的特例:(θ=π/3n=14) “已知,x+1/x=2cosθ.求x~n+(1/x~n)~n一般的解法是由已知条件求出x=cosθ±isinθ,     

一类方程的简捷解法

初中代数第三册P_(126)练习中有这样一题:解方程x 1/x=c 1/c。解:去分母,整理得x~2-(c 1/c)x 1=0,解之得x_1=c,x_2=1/c。经检验,x_1=c,x_2=1/c均是原方程的根。由此得,形如x 1/x=c 1/c的两根互为倒数,且x_1=c,x_2=     

漫谈 x 1/x=2cosθ

六年制重点中学《代数》第二册上,有这样一道题(见P、110练习七第11题):“求证|x 1/x1≥2,x≠0”,这个命题告诉我们这样一个事实:只要x是非零实数,那么|x 1/x|≥2。既然这个命题正确,那么它的逆否命题:“如果|x 1/x|<2,则x不是实数”,也自然就正确了。对于x 1/x=2cosθ来说,显然满足|x 1/x|=2|cosθ|≤2,等号在θ=kπ时成立,因此,只要θ≠kπ,那么x 1/x=2cosθ中的x就一定不是实数了。     

省略了乘号就等于省略了括号吗

这个 问 题 是 我在 教 学 五 年制 第 八 册 数学 教 材第 37页 练习 十 时 碰 到的 。当 时我 让 学 生 独立 完 成练 习第一 题并 指名板 演。 结果一 学生 是这样 板演的 : 解:29.4÷7x=7 7x=29.4÷7 x=4.2÷7 x=0.6 在反 馈 交 流时 ,大部 分 同 学 认可 了 这 个 结果 而 陈威同 学提 出了 疑问 :“我 不是 这样 做 的,这 道题 目错了 ,不能 做的 。”这时 全班 哗 然,都用 期待 的眼 光看 着 他,想 听 他 解释 。我 就请 他 上 来 板演 并 说理 由。 解:29.4÷7x=7 4.2x=7 x=7÷4.2 他说:“结…     

因势利导 培养思维能力——记一堂习题课

在一堂本以为平淡的习题课上,笔者让学生做这样的题: 题1 设直线l1:2x+3y+8=0 (1)和直线l2:x-y-8=0 (2),求过l1与l2的交点和原点的直线l的方程. 很多学生解由(1),(2)组成的方程组得交点坐标(16/5,-24/5),再由两点式得直线l的方程为3x+2y=0.     

关于一道数学竞赛题的思考

第17届全苏中学生数学竞赛有这样一道题; 是否存在不同的奇自然数k、l及m,使等式: 1/(1991)=1/k 1/l 1/m得以成立? 竞赛答卷给出的解答如下: 因为1991=11×181,可来寻找形如 1/(1991)=1/x 1/(11x) 1/(181x)这样的分解形式,不难解出x=2183。这说明 1/(1991)=1/(2183) 1/(24013) 1/(395123)。如此该题的解答已经得到。试卷答卷还作下列注释: 本题尚有其它的奇数解,例如 1/(1991)=1/(2123) 1/(34933) 1/(384263) =1/(2353) 1/(13937) 1/(181181)     

小问题中的"大思维"

有这样一道题:在椭圆x2/45+ y2/20=1上求一点 ,使它与两个焦点的连线互相垂直.初识此题 ,感觉简单易做,但经深入研究 ,发现这是一道培养学生发散思维和探究能力的好题.     

到底谁错了

那一天,我发火了。这是这半年来我第一次因为学生的学习发火,原因很简单:有1/3学生把“15-9=6(朵)”写成了“9+6=15(朵)”。这是一道应用题,一年级第一册数学课本上的题,属于最简单的应用题。题是这样的:     

我不比高斯差

听爷爷说过:“大数学家高斯是一个非常聪明的人,他上小学的时候,计算过这样一道题:1+2+3+4+……+99+100的和是几?他想了想就很快说出了答案是5050。原来他总结出一个求和公式:总和=(首项+尾项)×项数÷2。我也用这一方法解了不少数学题。今天我又计算一道数列题,题目是这样的:(2+4+6+……+2004)-(1+3+5+……+2003)=?按照高斯的解法,原题=(2+2004)×(2004÷2)÷2-(1+2003)×(2004÷2)÷2=2006×1002÷2-2004×1002÷2=1005006-1004004=1002。这样计算数目太大,非常麻烦。我又仔细观察这道题,终于发现:前面括号里的各项比后面括号的各项相应多…     

平方差公式的应用<一>

师:今天看一个与平方差有关的问题:证明2003可以写成两个整数x、y的平方差,即有整数x,y,使得x2-y2=2003.(1)生:这可以用分解的方法.由上式得(x+y)(x-y)=2003.所以x+y=2003,x-y=1.x=2003+12=1002,y=2003-12=1001.师:你得到一组使(1)成立的解.还有一组解是x=-1002,y=-1001.不过,这道题只要求找出一组使(1)成立的整数解.所以你的解答是很好的.进一步,可以考虑更一般的问题:设2n+1是奇数,证明2n+1可以写成平方差.生:我还是用分解的方法.师:分解的方法可行.不过,也可以直接猜一下:()2-()2=2n+1中,()里可以填什么?生:可以填n+1与n.因为(n+1)2-n2=n…     

莫让生成性资源悄悄流失

[案例1]一位教师教学工程问题,出示下题:一天,王大妈去水果市场批水果,苹果、梨一共买了8千克。她带去的钱如果只买梨可买15千克。如果只买苹果可买10千克。王大妈那天买梨、苹果各多少千克?学生解设苹果买来x千克,则梨买来(8-x)千克,列出下列方程解答:1/15x 1/10(8-x) =1,解题过程中有学生举手说: “老师,这个方程怎么不好解呢? 怎么未知数x不够减呀?”老师查看了学生做的练习后说:“老师把其中的一个条件给搞错了,苹果、梨应该一共买了12千克。”学生听罢,一片哗然。 [案例2]在一次“进位加”随堂课教学练习中,教师让学生用竖式计算29 8时,一位学生在黑     

一题多变,一题多解,提高应变能力

在初中化学教学中,发现有的学生疲于“题海战术”,结果浪费精力和时间,事倍功半,原因主要是只重视解题的数量和结果,不重视解题的思路、方法和题型的变化。本人认为应指导学生解题后思考、多角度分析解题思路,继而变题,挖掘引申,让学生思考讨论,探导多种解题方法,总结规律,提高应变能力。下面是本人在教学中的体会,以抛砖引玉,共同提高教学质量。初中化学教材第74页有这样一例题:在实验室中用氢气还原氧化铜制取铜。若制取10克铜,需要氧化铜多少克?解:设需要氧化铜的质量为x克CuO H2=Cu H2O79.563.5x克10克我们除了让学生掌握根据化学方…     

学会倾听 发现精彩

<正>一、在倾听中挖掘思维教师备课,只有使学习成为数学课堂教学活动的中心,充分发挥学生的主动性,重视学生的个体独立性,教师授课时才能课课有精彩。例如,在学生学了反比例函数y=k/x的图象与性质后,有这样一道练习题:图1所示是三个反比例函数y=(k_1)/x、y=(k_2)/x、y=(k_3)/x在轴上方的图象,由此观察k_1、k_2、k_3的大小关系是__。在讲评该题时,我没有直接通过象限判断的方式直接传授,