IMO46-3的推广与加强

第46届国际数学奥林匹克第3题是:设x,y,z 为正数且 xyz≥1,求证:(x~5 x~2)/(x~5 y~2 z~2) (y~5 y~2)/(x~2 y~5 z~2) (z~5-z~2)/(x~2 y~2 z~5)≥0 ①本文给出这道题的推广与加强.命题1 设 x,y,z 为正数且 xyz≥1,k,m     

因式分解与行列式

有一些对称式可以用行列式表示,因此也可以利用行列式来对它进行因式分解。例1.分解x~2(y-z)+y~2(z-x)+z~2(x-y)的因式解例2.分解x~3(y-z)+y~3(z-x)+z~3(x-y)的因式 解     

例谈两种坐标系的互用

笔者认为合理地处理好直角坐标与极坐标的关系,并有意识地加以转化,则可以扬长避短,收到出奇制胜的效果。 例1 实数x、y满足4x~2-5xy+4y~2=5,设S=x~2+y~2,则1/S_(max)+1/S_(min)的值是____。(1993年全国高中数学联赛试题)     

对第46届IMO不等式题的分析

第46届 IMO 试题第3题是一道不等式题:正实数 x,y,z 满足 xyz≥1,证明(x~5-x~2)/(x~5 y~2 z~2) (y~5-y~2)/(y~5 z~2 x~2) (x~5-x~2)/(z~5 x~2 y~2)≥0.本题难度相当大,平均得分仅为0.91分,下面是笔者对命题的分析过程,供参照.要证明上述不等式是成立的,只要证明:     

关于ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)中符号的确定

在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ~2=x~2+y~2。故ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=(x~2+y~2)~(1/2)的情况。例1.化极坐标方程e~ρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=(x~2+y~2)~(1/2)。由e~ρ=2+cosθ得ρe~ρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 (x~2+y~2)~(1/2)e~((x~2+y~2)~(1/2))=2(x~2+y~2)~(1/2)+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。     

对两圆的幂相等的点的轨迹的探究

1 问题的提出很多的解析几何教学用书上都有下面的结论: 已知两圆C_: x~2+y~2+D_(1x)+E_(1y)+F_1=0,C_2: x~2+y~2+D_(2x)+E_(2y)+F_2=0与直线l:(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)_y+(F_1-F_2)=0. (1) 若圆C_1与圆C_2相切,则直线l是过公切点     

思考题(九)

题31.已知一个 n 次多项式f(x)=a_0x~n+a_2x~(n-1)+a_2x~(n-2)+…+a_n,其中 a_0,a_1,…,a_n 都是整数,且 a_0≠0.又已知用 x-a、x-b、x-c、x-d(这里a、b、c、d 是各不相等的整数)分别除f(x)的余数都是2,求证对于任何整数 x,f(x)的值不能等于3、5、7、9中的任何一个数。(杨绶)题32.求方程 y~3-y=x~3+3x~2+2x 的全部自然数解。题33.在平面上有五点 A、B、P、Q、R,A、B 为定点,P、Q、R 为动点。其中     

不定方程1/x~2+1/y~2=1/A~2(A∈N)的正整数解

不定方程1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)(A∈N)是否有正整数解?文[1]给出“无正整数解”的论断;文[2]提出反例,并给出1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)有正整数解的一个条件:“对方程1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2),如果对A的两个互质的约数A_1、z_1、存在正整数y_1满足y_1~2=A_1~2+z_1~2那么1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)有正整数解,且其解可表示为x=ry_1A_1,y=ry_1z_1,其中,A=rA_1z_1,r∈N”。试问A为何值时,方程才有正整数解?能否根据A的值直接判定方程有正整数解?本文将给出1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)(A∈N)有正整数解的充要条件;并把问题推     

一道IMO试题的推广

第46届 IMO 第3题是不等式问题:正实数 x,y,z 满足 xyz≥1,证明(x~5-x~2)/(x~5 y~2 z~2) (y~5-y~2)/(y~5 z~2 x~2) (z~5-z~2)/(z~5 x~2 y~2)≥0.本文对其指数及项数作出一般性的推广.     

乘法公式的用法

《整式的乘除》一章乘法公式多,应用广泛,怎样用好这些乘法公式,现向同学们介绍一些常见的用法. 一、套用直接根据题中的特点套用乘法公式解题. 例1 计算(5x~2+3y~2)(5x~2-3y~2).(1993年宜昌市中考     

错在哪里

已知椭圆3/7x~2 y~2=1及点P(1,0),过 P 的直线l 交 y 轴于 Q 点,交椭圆于 A、B 两点,设 AP 在线段 BQ上,且|AQ|=|BP|,求 l 的方程.这道题是九七年成人高考理科试卷第26题,以下给出几种典型错误解法,你能指出它们错在哪里并加以订正么?     

关于一个三元对称不等式的几点思考

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4     

巧解题目六例

解数学题,虽然掌握定理、公式、法则等是关键,但是由于习题的类型较多,特点不一,技巧也不可忽视,运用技巧不仅可以提高解题速度,而且还由于简单明了,从而可以避免和减少运算的错误。现举几例分析如下。例1 已知x>0,y>0,且x~(1/2)(x~(1/2) y~(1/2))=3y~(1/2)(x~(1/2) 5y~(1/2))。求(2x x~(1/2)y~(1/2) 3y)/(x x~(1/2)y~(1/2)-y)的值。解这类题,是目前初中学生的难点。他们往往不从已知条件去分析,乱碰乱撞。事实上,此题没有给出字母的值,所以不能直接求值,只能根据条件解出x y的明确关系,把所求值式中换成同一个字母。     

一题四解 各具特色

题目若3x~2-xy+3y~2=20,则8x~2+ 23y~2最大值是___.(第13届(02年)"希望杯"高二培训)分析1如果题中有类似x~2+y~2=r~2形式,可令{x=rcosα,进行三角换元.记t=8x~2 y=rsinα+23y~2,则可用三角换元.解法1记t=8x~2+23y~2,可设     

一道课本习题的求解与引申探究

人教版高中《数学》教材第二册(上)第132页有这样一道习题:在椭圆 x~2/(45)+y~2/(20)=1上求一点,使它与两个焦点的连线互相垂直.笔者在教学过程中引导学生对此题给出了多种解法,并作了适当引申.1 问题的求解思路1:设所求的点为 P(x_0,y_0),两个焦点分别为 F_1(-5,0),F_2(5,0).     

关于椭圆、双曲线的张角问题

1993年全国高考上海试卷第26题的(1)、(2)两小题为:如图,P为椭圆x~2/a~2 y~2=1上的一个动点,它与长轴端点不重合,a≥2~(1/2),点F_1和F_2分别是双曲线x~2/a~2-y~2=1的左焦点和右焦点,φ=∠F_1PF_2.     

纠正一个错误——兼谈因式分解

初中课本代数第三册第72页中指出:在分母有理化时,有时也可先分解因式,再约分,并以x-y=(x~(1/2)+y~(1/2))(x~(1/2)-y~(1/2))作为这个方法的实例,明确地把x-y化成x~(1/2)+y~(1/2)与x~(1/2)-y~(1/2)乘积的形式叫做因式分解。教师在备课时,常常对此发生争议。 有人说:因式分解时要将这个式子分到不能再分的地步,有个止尽,这里还可以接着再分,甚至可以无限制的分解下去。     

智力训练七则

3.1991~(1991)+1992~(1992)+1993~(1993)的个位数字是几? 4.甲、乙两数的差是1793.7,甲数的小数点向左移动一位就等于乙数,甲数是多少? 5.一个减法算式里,被减数、减数与并相加得370,已知差是减数的12/25,题中的减数是多少?     

一个六元代数不等式的证明

<正>本文先通过构造函数,应用二次函数的判别式,给出文[1]中问题5的一种证明.问题已知a,b,c>0,x,y,z∈R,求证:a~3(y~2+z~2)+b~3(z~2+x~2)+c~3(x~2+y~2)≥2abc(yz+zx+xy).(1)证明由对称性,不妨设a≤b≤c.构造关于主元x的二次函数     

对教材一道轨迹题的探究与思考

1问题背景人教A版数学选修2-1第80页复习参考题第3题:与圆x~2+y~2=1及圆x~2+y~2-8x+12=0都外切的圆的圆心在()。(A)一个椭圆上(B)双曲线的一支上(C)一条抛物线上(D)一个圆上评析这是教材里一道定义法求轨迹的典型例题.此题综合考察了两圆位置关系,双曲线的定义以及求轨迹问题等相关知识,从知识网络的交汇点上命题,既考查基础知识,又考查综合运用能力,体现了高考的命题方向.