二次函数与一元二次方程关系的应用

知识链接二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )与一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0 (ａ≠ 0 )的关系是 :二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标是一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的根 ;反之 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的根是二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标 .一、判断二次函数图象与ｘ轴的交点情况例 1　已知抛物线ｙ =ｘ2 - (2ｍ - 1)ｘ +ｍ2 -ｍ- 2 .(1)证明抛物线与ｘ轴有两个不同的交点 .(2 )分别求出抛物线与ｘ轴的交点Ａ、Ｂ的横坐标ｘＡ、ｘＢ及与ｙ轴…     

欢迎您—2003

一年一度的佳节———元旦 ,就要来临了 ,为了欢度节日 ,特为数学爱好者 ,提供一组结果均为 2 0 0 3的函数趣题以资助乐 .1　设对于函数 :ｆ(ｘ) =ｘ +3ｘ - 2 ,ｇ(ｘ) =ａｘ +ｂｘ +ｃ ,且有 ｆ[ｇ(ｘ) ] =2 0 0 6ｘ +42 0 0 1ｘ - 1,试求ａ、ｂ、ｃ之值 .解　由题目条件得 :ｆ[ｇ(ｘ) ] =ｇ(ｘ) +3ｇ(ｘ) - 2=ａｘ +ｂｘ +ｃ +3ａｘ +ｂｘ +ｃ - 2=(ａ +3)ｘ +(ｂ +3ｃ)(ａ - 2 )ｘ +(ｂ - 2ｃ) .由题设知(ａ +3)ｘ +(ｂ +3ｃ)(ａ - 2 )ｘ +(ｂ - 2ｃ) =2 0 0 6ｘ +42 0 0 1ｘ - 1,整理得 :( 5ａ - 10 0 15)ｘ2 +( 5ａ +5ｂ - 10 0 15ｃ- …     

对逆二次函数的探讨

定义 :ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ…… (1)与 ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ…… (2 )称为对逆二次函数。其中ａ≠ｃ ,ａｃ≠ 0。性质 :1、它们有共同的定义域 ,有共同的判别式△ =ｂ2 - 4ａｃ ,当ａ、ｃ同号时 ,其图象的开口方向相同 ,当ａ、ｃ异号时 ,其图象的开口方向相反。2、当ｂ =0时 ,函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ与 ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ都是偶函数。当ｂ≠ 0时 ,都是非奇非偶函数。3、ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ当ａ >0时 ,在区间 (-∞ ,- ｂ2ａ]上是减函数 ,在区间 [- ｂ2ａ,+∞ )上是增函数 ,当ａ <0时则反之。ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ当ｃ <0时 ,在区间 (-∞ …     

有关二次函数值域的一个结论及应用

定理　二次函数 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是[0 , ∞ )的充要条件是ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .证明　因为 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ =ａ(ｘ ｂ2ａ) 2 4ａｃ-ｂ24ａ ,ｘ∈Ｒ ,所以二次函数ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是 [0 , ∞ ) ｙ的最小值是 0 ,无最大值 ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .下面举例说明定理的应用 .例 1　已知 ｆ(ｘ) =2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1(ｂ <0 )的值域为[1,3] ,求实数ｂ,ｃ的值 .解　ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ .由 1≤2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1≤ 3,得ｘ2 ｂｘ ｃ- 1≥0且ｘ2 -ｂｘ 3-ｃ≥ 0 .所以 ｆ(ｘ)的值域为 [1,3] ｙ1=ｘ2 ｂｘ ｃ- 1和 …     

四边形外接圆半径公式

定理　设四边形ＡＢＣＤ的边为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,外接圆半径为Ｒ ,则Ｒ =(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) (ａｄ ｂｃ)4 ｐａｐｂｐｃｐｄ,其中 ｐ为半周长 ,ｐａ=ｐ -ａ ,等等 .证明 :如图 ,用余弦定理 ,得ｃｏｓＡ =ａ2 ｄ2 -ｘ22ａｄ ,ｃｏｓＣ =ｂ2 ｃ2 -ｘ22ｂｃ .应用ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =0 ,记ｋ1=(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) ,ｋ2 =ａｄ ｂｃ,则解得ｘ2 =ｋ1ｋ2.应用三角形外接圆半径公式 ,得Ｒ△ＢＣＤ=ｘｂｃ4 ｐ′ｐｘ′ｐｂ′ｐｃ′　 ( ｐ′=12 (ｘ ｂ ｃ) ,ｐｘ′=ｐ′ -ｘ ,等等 ) ,则有Ｒ2 =Ｒ△ＢＣＤ2 =ｘ2 ｂ2 ｃ21 6ｐ′…     

九年级第一学期期末代数质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1 .若点Ｐ(ｍ ,3-ｍ)在第二象限 ,则ｍ满足下列条件中的 (　　 ) .(Ａ) 0 <ｍ <3　　　　 (Ｂ)ｍ <0(Ｃ)ｍ <0或ｍ >3(Ｄ)ｍ >32 .在平面直角坐标系中 ,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数 ,则这点一定不在(　　 ) .　　 (Ａ)直线ｙ =ｘ上 (Ｂ)抛物线ｙ =ｘ2 上　　 (Ｃ)直线ｙ =-ｘ上 (Ｄ)双曲线ｙ =1ｘ上3.若ａ +ｂ +ｃ≠ 0 ,且 ａｂ +ｃ=ｂｃ +ａ=ｃａ +ｂ=ｋ ,则直线ｙ =ｋｘ +ｋ一定不经过(　　 ) .(Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限(Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限4 .若二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的函数值不可…     

巧用方程根的定义解题

若ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根 ,则有ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0。若ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,则当ｘ1 ≠ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2是方程的两不等实根 ;当ｘ1 =ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0的两个相等实根。灵活运用上述结论解涉及一元二次方程的有关问题 ,常能化繁为简 ,化难为易 ,举例如下 :例 1　若α ,β是方程ｘ2 + 2ｘ - 2 0 0 1 =0的两个实数根 ,则α2 + 3α +β等于 (　　 ) ( 2 0 0 1年山东省威海市中考题 )Ａ .- 2 0 0 0 ;　　Ｂ .2 0 0 0 ;　　Ｃ…     

三角形内接正三角形的最小面积

命题　设△ＡＢＣ的面积为△ ,三边长分别为ａ、ｂ、ｃ.则△ＡＢＣ的内接正三角形的最小面积为 △236(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) + 2△.图 1证明 :如图 1所示 ,正△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ.设∠ＢＲＰ =θ,则易求得∠ＰＱＣ =∠Ａ+ 60° -θ .再设△ＰＱＲ的边长为ｘ ,则分别在△ＢＲＰ和△ＰＱＣ中 ,由正弦定理可得ＢＰ =ｓｉｎθｓｉｎＢｘ ,ＰＣ =ｓｉｎ(∠Ａ + 60°-θ)ｓｉｎＣ ｘ.又因ＢＰ +ＰＣ =ＢＣ =ａ ,故ｘ = ａｓｉｎθｓｉｎＢ+ｓｉｎ(∠Ａ +6 0° -θ)ｓｉｎＣ=ａｓｉｎ(∠Ａ +6 0°)ｓｉｎＣ ·ｃｏｓθ+…     

妙题巧解(二)

1 计算 :1+ 12 + 13+ 14 + 1512 + 13+ 14 + 15 + 16-1+ 12 + 13+ 14 + 15 + 1612 + 13+ 14 + 15 .2 若ａ >ｂ >ｃ,ｘ >ｙ >ｚ ,则下列四个代数式中 ,值最大的一个是 (　　 ) .(Ａ)ａｘ +ｂｙ +ｃｚ(Ｂ)ａｘ +ｃｙ +ｂｚ(Ｃ)ｂｘ +ａｙ +ｃｚ(Ｄ)ｂｘ +ｃｙ +ａｚ3 若ｘ - 1-ｘ - 6=5 ,则ｘ的取值范围是 .4 已知三个连续自然数的倒数和是10 72 10 ,求这三个自然数 .5 已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｘ、ｙ、ｚ、ｔ都是正实数 ,且ａ +ｘ =ｂ +ｙ =ｃ+ｚ =ｄ +ｔ=4 .求证 :ａｔ+ｂｘ +ｃｙ +ｄｚ<32 .参考解答1 设ａ =1+ 12 + 13+ 14 + 15 ,ｂ =12 +…     

三角函数的三“性”

一、易变性 :三角函数和三角形中的有关知识相辅相承 ,将二者结合 ,能实现它们之间的相互转化 .例 1　在△ＡＢＣ中 ,Ｓ△ＡＢＣ =ｐ(ｐ -ａ) ( ｐ -ｂ) ( ｐ -ｃ) ,其中ａ、ｂ、ｃ分别为△ＡＢＣ的三边 ,ｐ =ａ +ｂ+ｃ2 ,试证明这个结论 .简证 :因Ｓ△ＡＢＣ=12 ａｂｓｉｎＣ ,故Ｓ2 △ＡＢＣ=14 ａ2 ｂ2 ｓｉｎ2 Ｃ .由余弦定理 ,ｃｏｓＣ =ａ2 +ｂ2 -ｃ22ａｂ ,∴　Ｓ2 △ＡＢＣ=14 ａ2 ｂ2 ( 1-ｃｏｓ2 Ｃ) =14 ａ2 ｂ2 1- ａ2 +ｂ2 -ｃ22ａｂ2=116 ( 2ａ2 ｂ2 + 2ａ2 ｃ2 + 2ｂ2 ｃ2 -ａ4-ｂ4-ｃ4) .而 ( ｐ( ｐ -ａ) (ｐ -ｂ) ( ｐ -…     

圆锥曲线弦的垂直平分线的截距性质

本文给出圆锥曲线弦的中点坐标与该弦的垂直平分线的截距之间的关系 ,并举例说明它的应用 .定理　设圆锥曲线中与坐标轴不平行的弦Ｐ1Ｐ2 的中点为Ｍ (ｘ0 ,ｙ0 ) ,该弦的垂直平分线ｌ与ｘ轴的横截距为ａ ,与 ｙ轴的纵截距为ｂ .(1)对于椭圆或双曲线　 ｘ2Ａ + ｙ2Ｂ =1　 (Ａ >0 ,Ｂ >0或ＡＢ <0 ) ,有　ａ=Ａ-ＢＡ ｘ0 ,　ｂ=Ｂ-ＡＢ ｙ0 ;(2 )　对于抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ　 (ｐ ≠ 0 ) ,有　　ａ=ｘ0 + ｐ ,　ｂ=ｙ0ｐ(ｘ0 + ｐ) ;(3)对于抛物线ｘ2 =2 ｐｙ　 (ｐ≠ 0 ) ,有　　ａ=ｘ0ｐ(ｙ0 + ｐ) ,　ｂ =ｙ0 + ｐ .证明　 (1)　设Ｐ1(ｘ1…     

巧设待定系数求二次函数的解析式

一、用一般式确定二次函数的解析式　　如果已知二次函数的图象经过三点 ,则可用一般式 ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ建立方程组 ,求出ａ、ｂ、ｃ的值 ,从而写出解析式。　　〔例 1〕已知二次函数的图象经过点Ａ( 1,-1) ,Ｂ( 2 ,4) ,Ｃ( -1,-5 ) ,求此函数的解析式。　　解 :设此函数的解析式为 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ,由已知得 :　　ａ +ｂ+ｃ =-14ａ +2ｂ +ｃ=4ａ -ｂ+ｃ =-5　解这个方程组得ａ =1ｂ =2ｃ=-4　　∴此函数的解析式为 ｙ =ｘ2 +2ｘ -4　　二、用顶点式确定二次函数的解析式　　如果已知二次函数的顶点坐标和图象上的另一点 ,则可用顶点…     

应用二次函数解最值问题

知识链接　　二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是- ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .所以 ,当ａ <0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ >0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .例 1　用长 8ｍ的铝合金条制成如图 1形状的矩形窗框 ,使窗户的透光面积最大 ,那么这个最大透光面积是 (　　 ) .(Ａ) 6 42 5 ｍ2 　 (Ｂ) 43ｍ2 　 (Ｃ) 83ｍ2 　 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市中考题 )　解　设窗户的宽为ｘｍ ,高为ｙｍ ,则 3ｘ+2ｙ=8.∴　ｙ =4- 32 ｘ .设透光面积为Ｓｍ2 ,则Ｓ =ｘｙ=ｘ 4- 32 ｘ …     

数学奥林匹克初中训练题(60)

第　一　试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1.已知 ａ3+ｂ3+ｃ3- 3ａｂｃａ +ｂ +ｃ =3.则(ａ -ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ａ -ｂ)·(ｂ-ｃ)的值为 (　　 ) .(Ａ) 1　　　 (Ｂ) 2　　　 (Ｃ) 3　　　 (Ｄ) 42 .规定“△”为有序实数对的运算 ,如下所示 ,(ａ ,ｂ)△ (ｃ,ｄ) =(ａｃ +ｂｄ ,ａｄ +ｂｃ) .如果对任意实数ａ、ｂ都有 (ａ ,ｂ)△ (ｘ ,ｙ) =(ａ ,ｂ) ,则 (ｘ ,ｙ)为(　　 ) .(Ａ) (0 ,1)　 (Ｂ) (1,0 )　 (Ｃ) (- 1,0 )　 (Ｄ) (0 ,- 1)3.在△ＡＢＣ中 ,2ａ=1ｂ+1ｃ.则∠Ａ(　　 ) .(Ａ)一定是锐角 (Ｂ)一定是直角(Ｃ)一定是钝角 …     

2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题

一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共60分 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 如果函数 ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ａ的图象与ｘ轴有两个交点 ,则点 (ａ,ｂ)在ａＯｂ平面上的区域 (不包含边界 )为 (　　 )2 抛物线 ｙ=ａｘ2 的准线方程是 ｙ=2 ,则ａ的值为 (　　 )　 (Ａ) 18　 (Ｂ) -18　 (Ｃ) 8　 (Ｄ) -83 已知ｘ∈ -π2 ,0 ,ｃｏｓｘ =45,则ｔａｎ 2ｘ=(　　 )　 (Ａ) 72 4　 (Ｂ) -72 4　 (Ｃ) 2 47　 (Ｄ) -2 474 设函数 ｆ(ｘ) =2 -ｘ-1 ,ｘ ≤ 0 ,ｘ1 2 ,　　ｘ >0 .若 ｆ(ｘ0 )>1 ,则ｘ0 的取值范围是 (…     

高一数学(上)期末测试

一、选择题 (本大题共 1 0小题 ,每小题 3分 ,满分 3 0分 )1 .已知全集Ｕ ={ａ ,ｂ,ｃ,ｄ ,ｅ} ,集合Ａ ={ｂ ,ｃ,ｅ}则 ＣＵＡ =(　　 )　　 (Ａ) {ａ ,ｂ}　　 (Ｂ) {ａ ,ｃ}　　 (Ｃ) {ａ,ｄ} (Ｄ) {ａ,ｅ}2 .已知函数 ｆ(ｘ) =ａｘ4-ｂｘ2 ,且 ｆ( -1 ) =1 ,则 ｆ( 1 ) =(　　 )　　 (Ａ) 1　　 (Ｂ) -1　　 (Ｃ) 2　　 (Ｄ) -23 .若命题“┒ｐ”是真命题 ,命题“ｐ或 ｑ”是假命题 ,那么 (　　 )　　 (Ａ)命题 ｐ和命题 ｑ都是真命题　　 (Ｂ)命题 ｐ是真命题而命题 ｑ是假命题　　 (Ｃ)命题 ｐ是假命题而命题 ｑ是真命题　　 (Ｄ)命题…     

2002年河北省初中升学统一考试数学试题参考答案

一、1.23　 2 .(ａ -ｂ + 1) (ａ -ｂ - 1)　 3.6　 4 .ｙ2 -ｙ - 2 =0　 5 .1<ｄ <9　 6 .12 5 %　 7.4 5ｍｍ　8.392ｘ - 392ｘ + 4 0 =1　 9.ｙ =90ｘ　 10 .2 6二、11.Ｄ　 12 .Ｃ　 13.Ｂ　 14 .Ａ　 15 .Ｃ　 16 .Ａ　17.Ｂ　 18.Ｄ　 19.Ｃ　 2 0 .Ｂ三、2 1.6 .2 2 .在梯形ＡＢＣＤ中 ,∵ＡＢ∥ＣＤ ,ＡＤ =ＢＣ ,∴ＡＣ =ＢＤ .∵ＤＣ =ＣＤ ,∴△ＡＤＣ≌△ＢＣＤ .∴∠ＡＣＤ =∠ＢＤＣ .故ＯＤ =ＯＣ .图 1四、2 3.如图 1,连结ＰＯ并延长 ,交⊙Ｏ于点Ｃ、Ｄ .根据切割线定理的推论 ,有ＰＡ·ＰＢ =ＰＣ·ＰＤ .∵ＰＢ =ＰＡ +…     

学会用二次函数解决实际问题

背景知识　　二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是 -ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .这就是说 ,当ａ<0 ,ｘ =-ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ>0 ,ｘ =-ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .图 1例 1　用长 8ｍ的铝合金条制作如图 1形状的矩形窗框 ,如果要使窗户的透光面积最大 ,那么这个窗户的最大透光面积是 (　　 ) .(Ａ) 6 42 5ｍ2 　　 (Ｂ) 43ｍ2(Ｃ) 83ｍ2 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市、衢州市中考题 )解　设这个矩形窗框的宽为ｘｍ ,面积为ｙｍ2 ,则窗框的长度为 8-3ｘ2 ｍ .于是 ,有ｙ =ｘ 8-3ｘ2…     

2001年全国初中数学联赛试题(初赛)

一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 若ｘ -2 +ｙ +3 =0 ,则 ｙｘ 的值是 (　　 ) .(Ａ) 32 　　　　　 (Ｂ) 23 　　　　　 (Ｃ) -32 　　　　　　 (Ｄ) -232 若ａ、ｂ为实数 ,则下列命题中正确的是 (　　 ) .(Ａ)ａ >ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｂ)ａ≠ｂ ａ2 ≠ｂ2(Ｃ) |ａ|>ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｄ)ａ >|ｂ| ａ2 >ｂ23 若关于ｘ的二次方程 (ｂ -ｃ)ｘ2 +(ａ -ｂ)ｘ +ｃ -ａ =0有相等的两实数根 ,则ａ、ｂ、ｃ间的关系是 (　　 ) .(Ａ)ａ =ｂ +ｃ2 (Ｂ)ｂ =ａ +ｃ2 (Ｃ)ｃ =ａ +ｂ2 (Ｄ)ａ +ｂ +ｃ =04 若 4ｘ3-ｘ =1,则 8ｘ4+12ｘ3-2ｘ2 -5ｘ +5的值…     

数学奥林匹克高中训练题(60)

第　一　试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.方程 6× (5ａ2 +ｂ2 ) =5ｃ2 满足ｃ≤2 0的正整数解 (ａ ,ｂ,ｃ)的个数是 (　　 ) .(Ａ) 1　　 (Ｂ) 3　　 (Ｃ) 4　　 (Ｄ) 52 .函数ｙ =ｘ2ｘ - 1(ｘ∈Ｒ ,ｘ≠ 1)的递增区间是(　　 ) .(Ａ)ｘ≥2 (Ｂ)ｘ≤0或ｘ≥2(Ｃ)ｘ≤0 (Ｄ)ｘ≤1- 2 或ｘ≥ 23.过定点Ｐ(2 ,1)作直线ｌ分别交ｘ轴正向和ｙ轴正向于Ａ、Ｂ ,使△ＡＯＢ(Ｏ为原点 )的面积最小 ,则ｌ的方程为 (　　 ) .(Ａ)ｘ +ｙ - 3=0 (Ｂ)ｘ +3ｙ - 5 =0(Ｃ) 2ｘ +ｙ - 5 =0 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 4=04 .若方程ｃｏｓ 2ｘ +3ｓｉｎ 2ｘ =ａ +…