换元法解分式方程

换元法是十分重要的数学方法 ,特别是在中考解分式方程时应用极广 .那么如何恰当地换元 ,则要根据各个方程自身的结构特点加以分析 .一、整体换元例 1　解方程 :ｘｘ- 12 - 5 ｘｘ- 1 +6 =0 .(2 0 0 1年新疆生产建设兵团中考题 )　解　设ｙ=ｘｘ - 1 ,则原方程可化为ｙ2 - 5ｙ+6=0 .解得ｙ1 =2 ,ｙ2 =3.当ｙ=2时 ,ｘｘ- 1 =2 .解得ｘ=2 .当ｙ=3时 ,ｘｘ- 1 =3 .解得ｘ=32 .经检验 ,ｘ1 =2 ,ｘ2 =32 是原方程的根 .二、倒数换元例 2　解方程 :ｘ2 -ｘ- 1 2ｘ2 -ｘ- 4 =0 .(2 0 0 1年黑龙江省哈尔滨市中考题 )　解　设ｙ=ｘ2 -ｘ,则原方程可化…     

一元二次方程中考试题精选(Ⅰ)(一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系)

一、填空题1 当时 ,方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0是一元二次方程 . (2 0 0 1年安徽省合肥市中考题 )2 一元二次方程ｘ2 + 2ｘ + 1=0的根的判别式是. (2 0 0 1年湖南省长沙市中考题 )3 一元二次方程ｘ2 =ｘ的两根之和与两根之积分别是 . (2 0 0 1年青海省中考题 )4 若方程ｘ2 -3ｘ +ｍ =0的一个根是 1,则它的另一个根是 ,ｍ的值为 .(2 0 0 1年江苏省常州市中考题 )5 如果ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 -3ｘ + 1=0的两个根 ,那么代数式 (ｘ1+ 1) (ｘ2 + 1)的值是 .(2 0 0 1年上海市中考题 )6 若方程 (ｘ -1) (ｘ -2 ) =0的两根为ｘ1、ｘ2 ,且ｘ1>ｘ2 ,则ｘ…     

初三代数期末综合训练题

一、填空题1 若ｘ1和ｘ2 是方程ｘ2 -5ｘ + 2 =0的两个根 ,则ｘ1+ｘ2 =,ｘ1·ｘ2 =.2 已知方程组 ｘ+ｙ=2 ,ｘｙ=-1 5 ,则以ｘ、ｙ为两根的一元二次方程是　　　　　　　　　　 .3 方程组 2ｘ -ｙ =1 ,4ｘ2 -ｙ2 =7的解是 .4 解方程 ｘ + 3ｘ2 -1 + ｘ2 -1ｘ + 3=2 65 时 ,若设ｙ=ｘ+ 3ｘ2 -1 ,则原方程可变形为　　　　　　　　 .5 在数据组 -1 ,0 ,3,6 ,7,9,1 3中插入一个数据ｘ,使这组数据的中位数是 5 ,则ｘ的值是 .6 图象经过Ａ( 0 ,3)、Ｂ( -1 ,0 )两点的一次函数的解析式是 .7 若抛物线经过Ａ( -1 ,0 )、Ｂ( 3,0 )、Ｃ( 0 ,3)三…     

例说构造一次方程组解题

有些看似与方程组无关的问题 ,若能抓住特征构造方程组可以巧妙求解 ,举例如下 :一、由同类项的定义构造方程组例 1　如果单项式 2ｘ2ｍ -ｎｙ与 - 3ｘ3ｙ2ｍ +ｎ是同类项 ,那么ｍ =　　 ,ｎ =　　 .解 :由同类项定义 ,可得方程组2ｍ -ｎ =3,2ｍ +ｎ =1 .　解之得 ｍ =1 ,ｎ =- 1 .二、由非负数性质构造方程组例 2　若有理数ｘ、ｙ、ｚ满足 | 2ｘ - ｙ| + | ｙ + 2ｚ| + (ｚ- 2 ) 2 =0 ,则ｘ+ ｙ +ｚ=　　 .解 :由非负数性质 ,得方程组 :2ｘ - ｙ =0 ,ｙ + 2ｚ=0 ,ｚ - 2 =0 .　　解得ｘ =- 2 ,ｙ =- 4,ｚ=2 .∴ｘ + ｙ +ｚ =- 2 - 4+ 2 =- …     

平面直角坐标系、函数概念、一次函数中考题选登

一、填空题1 在平面直角坐标系中 ,点Ｐ 3,- 13在第象限 . (2 0 0 1年四川省南充市中考题 )2 函数ｙ=ｘ + 3的自变量的取值范围是 . (2 0 0 1年江苏省徐州市中考题 )3 函数ｙ=ｘｘ - 2 的自变量ｘ的取值范围是 . (2 0 0 1年北京市东城区中考题 )4 坐标平面内的点Ｐ(3,- 2 )关于ｙ轴对称的点Ｐ′的坐标是 .(2 0 0 1年湖北省宜昌市中考题 )5 如果正比例函数的图象经过点 (2 ,4 ) ,那么这个函数的解析式是 .(2 0 0 1年上海市中考题 )6 直线ｙ =ｋｘ过点 (1,ｓｉｎ 4 5°) ,且点Ａ(2 ,ａ)、Ｂ(ｂ ,- 2 )在这条直线上 ,则ａ =,ｂ =. (2 0 0 1…     

分式的运算中考题精选

一、填空题1 化简 (ａｂ -ｂ2 )÷ａ2 -ｂ2ａ +ｂ 的结果是 . (2 0 0 1年湖北省黄冈市中考题 )2 计算 1+ 1ｘ - 1÷ ｘｘ2 - 1=. (2 0 0 1年湖北省十堰市中考题 )3 已知实数ｘ满足ｘ2 + 1ｘ2 +ｘ + 1ｘ=0 ,那么ｘ + 1ｘ的值为 .(2 0 0 1年浙江省金华市衢州市中考题 )二、单项选择题1 计算 2ｘｘ2 - 1+ 11-ｘ的结果正确的是 (　　 ) .(Ａ) 1ｘ + 1　　　　 (Ｂ) 3ｘｘ2 - 1　　　　 (Ｃ) 1　　　　　 (Ｄ) 3ｘ (2 0 0 1年北京市崇文区中考题 )2 下列计算正确的是 (　　 ) .(Ａ) ａａ -ｂ=- ａａ +ｂ (Ｂ) 2ｘ÷4ｘ=12(Ｃ) ａ2ｂ2 =ａｂ (Ｄ…     

《一元二次方程》自测题(一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数的关系)

一、填空题 (每空 3分 ,共 3 6分 )1 把方程 (ｘ -2 ) (ｘ -3 ) =1 2化为一般形式是　　　　　　　　　　　　　　　 .2 一元二次方程 2ｘ2 =7ｘ +6的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　　　　　　 .3 一元二次方程 2ｘ2 =8ｘ -5的根的判别式的值是 .4 若ｘ1、ｘ2 是一元二次方程 3ｘ2 =1 1ｘ -1 0的两个根 ,则ｘ1+ｘ2 =,ｘ1·ｘ2 =.5 若 2和 3是关于ｘ的一元二次方程 3ｘ2 -ｍｘ +ｎ =0的两个根 ,则ｍ、ｎ的值分别是.6 若 5是关于ｘ的方程 3ｘ2 +ｋｘ -8ｋ =0的一个根 ,则ｋ的值是 .7 在方程 ( 1 ) 2ｘ2 -6ｘ+3 =0 ,( 2 ) 5ｘ2 …     

巧用一元二次方程的根

同学们在学习了一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系以后 ,很容易形成思维定势 :只要是一元二次方程的根 ,就用根与系数的关系 .有时会出现计算量很大的情况 .若能巧妙运用方程的根 ,则可化繁为简 .例 1　已知α、β是关于ｘ的方程 :ｘ2 +(ｍ + 2 )ｘ +ｍ + 7=0的两个实根 ,且α2 + β2 =5 ,ｐ、ｑ是关于ｙ的方程ｙ2 + (ｎ -1)ｙ +ｍ =0的两个实根 .求(ｍ +ｎｐ +ｐ2 ) (ｍ +ｎｑ +ｑ2 )的值 .(1999年北京市八一中学中考模拟题 )解法一　 (略解 )由α2 + β2 =5 ,易得ｍ =-5 .∴　 (ｍ +ｎｐ +ｐ2 ) (ｍ +ｎｑ +ｑ2 )=(-5 +ｎｐ +ｐ2 …     

一道中考试题的错解析因

题目　一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是 ｘ =2 ,ｙ =4 和ｘ =- 2 ,ｙ =- 4,试写出符合要求的方程组　　　　(只要填写一个即可 ) .(2 0 0 0年安徽省中考题 )这是一道很好的开放型试题 ,其解答的策略是非常规的 ,没有固定模式可循 .然而据统计结果显示 ,得分率仅为 7 8% .本文将详细分析错解原因 ,供同学们参考 .错解一　所得方程组形式上不符合题目要求 .例如 :(1) ｘ2 +ｙ2 =2 0 ,ｘｙ =8;(2 ) ｘｙ =8.ｙ2 -ｘ2 =12 ;　　 (3) ｘ2 - 4=0 ,ｙ2 - 16=0 .分析　以上各方程组形式上均不符合题目要求 .方程组 (1…     

二元(或三元)一次方程组的解法

解二元 (或三元 )一次方程组除教材中介绍的代入消元法和加减消元法两种基本解法外 ,为了开阔同学们的视野 ,提高解题能力 ,本文补充几种解法 ,供参考。一、整体代入法———当方程组中某个未知数的系数成整数倍时 .例 1　解方程组 2ｘ +5 ｙ =- 2 1　①ｘ +3ｙ =8　　　②解 :由①得 2 (ｘ +3ｙ) -ｙ =- 2 1　③ ,把②代入③得 16 - ｙ =2 1,ｙ =37,把 ｙ =37代入②解得ｘ =- 10 3,∴ ｘ =- 10 3ｙ =37二、消常数项法———当方程组中的常数项成整数倍时 .例 2　解方程组4ｘ +3ｙ =10　　①9ｘ - 7ｙ =- 5　　②解 :① +②× 2得2 2ｘ - 11…     

解一元二次方程常见错误剖析

一、对概念理解的错误例 1　判断下列方程是否是一元二次方程 :(1 )ｘ2 (ｘ 3) 5ｙ-8ｘ =ｘ3 5ｙ-9;(2 ) 3ｘ2 1ｘ=0 .错解　 (1 )不是 .因为这个方程有两个未知数ｘ、ｙ ,且ｘ的最高次数为 3.(2 )是 .因为这个方程有一个未知数 ,且未知数的最高次数是 2 .剖析　 (1 )判断一个整式方程是不是一元二次方程 ,通常要将该方程化成一般式 .这个方程通过变形 ,可化为一般式 3ｘ2 -8ｘ 9=0 .这说明方程ｘ2 (ｘ 3) 5ｙ -8ｘ =ｘ3 5ｙ -9是关于ｘ的一元二次方程 .(2 )一元二次方程首先应该是整式方程 ,方程 3ｘ2 1ｘ=0的分母中含有未…     

一元二次方程基础知识问答

1 为什么要规定一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0中的系数ａ≠ 0 ?答　因为当ａ =0时 ,方程变成了ｂｘ+ｃ=0 .这就不是一元二次方程了 .2 关于ｘ的方程 2ｘ2 (ｘ +1 ) +3ｙ -8ｘ=2ｘ3 +3ｙ-7( )是一元二次方程吗 ?答　这个方程通过变形 ,可化为 2ｘ2 -8ｘ +7=0 ,这是一个一元二次方程 ,这说明原方程 ( )是一元二次方程 .因此判断一个整式方程是不是一元二次方程 ,通常要化成一般形式之后再判定 .3 在方程ｘ2 +1ｘ=0中 ,含有一个未知数ｘ ,且未知数ｘ的最高次数是 2 ,能说这个方程是一元二次方程吗 ?答　不能 .一元二次方程首先应该是整式方…     

数学奥林匹克高中训练题(60)

第　一　试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.方程 6× (5ａ2 +ｂ2 ) =5ｃ2 满足ｃ≤2 0的正整数解 (ａ ,ｂ,ｃ)的个数是 (　　 ) .(Ａ) 1　　 (Ｂ) 3　　 (Ｃ) 4　　 (Ｄ) 52 .函数ｙ =ｘ2ｘ - 1(ｘ∈Ｒ ,ｘ≠ 1)的递增区间是(　　 ) .(Ａ)ｘ≥2 (Ｂ)ｘ≤0或ｘ≥2(Ｃ)ｘ≤0 (Ｄ)ｘ≤1- 2 或ｘ≥ 23.过定点Ｐ(2 ,1)作直线ｌ分别交ｘ轴正向和ｙ轴正向于Ａ、Ｂ ,使△ＡＯＢ(Ｏ为原点 )的面积最小 ,则ｌ的方程为 (　　 ) .(Ａ)ｘ +ｙ - 3=0 (Ｂ)ｘ +3ｙ - 5 =0(Ｃ) 2ｘ +ｙ - 5 =0 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 4=04 .若方程ｃｏｓ 2ｘ +3ｓｉｎ 2ｘ =ａ +…     

条件分式求值的化归法举例

化归法是解条件分式求值问题的一种有效方法 ,现举实例加以说明。例 1　已知ｘ2 - 3ｙ2 =2ｘｙ ,ｘ >0 ,ｙ >0 ,求ｘ - ｙｘ +ｙ的值 .解 :由已知条件 ,得ｘ2 - 2ｘｙ - 3ｙ2 =0 ,∴ (ｘ - 3ｙ)·(ｘ +ｙ) =0∵ｘ >0 ,ｙ >0 ,有ｘ +ｙ >0 ,∴ｘ - 3ｙ =0 ,即ｘ =3ｙ∴ｘ - ｙｘ +ｙ=3ｙ - ｙ3ｙ +ｙ=2 ｙ4 ｙ=12 .例 2　已知 :ｘ +2 ｙ +ｚ =0 ,3ｘ - ｙ - 11ｚ =0 (ｚ≠ 0 ) ,求ｘ2 - ｙ2 +ｚ2ｘｙ +ｙｚ +ｚｘ的值 .解 :由已知条件视ｚ为常数可得方程组ｘ +2 ｙ =-ｚ ,3ｘ - ｙ =11ｚ 解得ｘ =3ｚｙ =- 2ｚ∴原式 =(3ｚ) 2 - (- 2ｚ) 2 +…     

2002年河南省高级中等学校招生统一考试数学试题参考答案

一、1.4　 2 .2 0 8× 10 5　 3.6 0°　 4 .ａ　 5 .5 4　 6 .ｘ≤ 3且ｘ≠ 2　 7.6　 8.32　 9.8　 10 .ｘ =3　 11.(ｘ +ｙ + 2 ) (ｘ +ｙ - 2 )　 12 .12 ａ或 32 ａ　 13.2 0 0 3　14 .12 0　 15 .(3+ 2 )ａ　 16 .4 0 0 80 0 3(或 2 0 0 2 2 - 1)二、17.Ｃ　 18.Ｄ　 19.Ｄ　 2 0 .Ｃ　 2 1.Ｂ三、2 2 .原式 =- 11.2 3.解方程组 ｘ +ｙ =ｍ + 2 ,4ｘ + 5ｙ =6ｍ + 3.得 ｘ =-ｍ + 7,ｙ =2ｍ - 5 .∵它的解为正数 ,∴ -ｍ + 7>0 ,2ｍ - 5 >0 .即　ｍ <7,ｍ >52 .故 52 <ｍ <7.因此 ,当 52 <ｍ <7时 ,原方程组的解都是正数 .2 4 .连结…     

一元二次方程与有关知识的综合题

一元二次方程是初中数学的重要内容 .与一元二次方程有关的综合问题 ,涉及的知识面广 ,综合性强 ,且解法灵活多变 .现就2 0 0 1年全国各地中考题中有关的此类问题分类浅析 ,供同学们参考 .1　方程与函数的综合题例 1　若一元二次方程ｘ2 - 2ｘ -ｍ =0无实数根 ,则一次函数 ｙ =(ｍ + 1 )ｘ +ｍ -1的图像不经过 (　　 ) .(Ａ)第一象限　 (Ｂ)第二象限(Ｃ)第三象限　 (Ｄ)第四象限(湖北省黄冈市中考题 )分析 :本题主要涉及一元二次方程无实数根、一次函数的图像等内容 ,要利用一元二次方程根的判别式来确定参数ｍ ,然后判定一次函数的图像 .解…     

《一元二次方程》2000年中考题选登

一、填空题1 一元二次方程 (ｘ - 1) 2 =2的根是 . (福建省莆田市 )2 一元二次方程ｘ2 + 4ｘ - 12 =0的根是 . (吉林省 )3 方程ｘ2 + 3ｘ - 40 =0的根的判别式Δ =. (四川省 )4 关于ｘ的一元二次方程ｘ2 - 2ｘ + 3=0的根的情况是 . (云南省曲靖市 )5 若关于ｘ的方程ｘ2 + 2ｘ +ｍ =0有两个相等的实数根 ,则ｍ =.(宁夏回族自治区 )6 关于ｘ的一元二次方程ｘ2 + 2ｋｘ +ｋ - 1=0的根的情况是 . (内蒙古包头市 )7 若关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 - 2 (3ｍ - 1)ｘ + 9ｍ - 1=0有两个实数根 ,则ｍ的取值范围是 . (贵州省贵阳市 )8 如果方程ｘ2 -…     

构造一元二次方程解一类和积问题

在数学竞赛中 ,会碰到一类与两数和与积有关的问题 ,文 [1]给出了这类问题的解 ,笔者通过思考 ,发现对其中的一些问题可以通过构造一元二次方程求解 .例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ为实数 ,且ｘ + ｙ+ｚ= 5 ,ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ =3 ,试求ｚ的最大值与最小值 .(加拿大第 10届数学竞赛题 )解　由题意 ,ｘ+ ｙ =5 -ｚ ,ｘｙ =3 -ｚ(ｘ+ｙ) =3 -ｚ(5 -ｚ) =ｚ2 -5ｚ + 3 ,所以ｘ ,ｙ是关于ｐ的一元二次方程 ｐ2 -(5 -ｚ)ｐ+ (ｚ2 -5ｚ+ 3 ) =0的两个实数根 ,从而Δ =(5 -ｚ) 2 -4 (ｚ2 -5ｚ+ 3 ) =-3ｚ2 +10ｚ + 13 ≥ 0 ,解得 -1≤ｚ ≤ 133 .因此 ,ｚ的最…     

分式的基本性质、角平分线、尺规作图中考题选编

一、填空题1 当ｘ =时 ,分式 ｘ -1ｘ + 2 的值为 0 . (2 0 0 1年福建省泉州市中考题 )2 当ｘ =时 ,分式 ｘ + 1ｘ -1无意义 . (2 0 0 1年江西省中考题 )3 当ｘ时 ,分式 3ｘ2ｘ -1有意义 . (2 0 0 1年湖南省永州市中考题 )4 如果分式 ｘ2 -4ｘ -2 的值为零 ,那么ｘ =. (2 0 0 1年上海市中考题 )5 当ｘ =时 ,分式 ｘ2 -1ｘ + 1无意义 ;当ｘ =时 ,分式 ｘ2 -1ｘ + 1的值为零 .(2 0 0 1年江西省南昌市中考题 )二、选择题1 不改变分式0 .5ｘ -10 .3ｘ + 2 的值 ,把它的分子和分母中的各项的系数都化为整数 ,所得的结果为 (　　 ) .(Ａ) 5ｘ -…     

与一元二次方程有关的判断说理题

判断说理题是中考新题型———探索性问题的主要形式 ,它要求学生紧扣题设条件 ,对“是否存在”作出判断 ,并进行正确的推理 .解答过程一般遵循“三步曲” :假设“存在”———演绎推理———得出结论 (合理或矛盾 ) .例 1　已知ｘ1、ｘ2 是关于ｘ的一元二次方程 4ｘ2 + 4 (ｍ - 1)ｘ +ｍ2 =0的两个非零实根 .问是否存在实数ｍ ,使ｘ1与ｘ2 同号 ?若存在 ,求出相应的ｍ的取值范围 ;若不存在 ,说明理由 . (2 0 0 1年四川省成都市中考题 )解　∵　ｘ1、ｘ2 是给定方程的两个非零实根 ,∴　Δ =[4 (ｍ - 1) ]2 - 4× 4ｍ2 ≥ 0 ,即ｍ≤12 .由根…