巧用一元二次方程根的构造解题

数学中的某些问题，从表顽看似乎与方程无关，但如果能根据问题的特点构造出一个一元二次方程，则运用根的定义、根的判别式、根与系数关系（即韦达定理等知识）处理原问题，有时会得到问题的简便解法，本文略举数例，仅供参考．     

巧用一元二次方程根的判别式求最值

<正>求解最值问题一般情况下是将目标函数表示为二次函数y=ax²+bx+c(a≠0),利用配方或者公式法求出最值.而对于求解面积和线段和差的最值问题,有时很难将目标函数表示为二次函数,这时可将目标函数转化为一元二次方程,根据方程有实根,通过判别式大于或等于0来解决.下面举例说明,供参考.一、利用相似与勾股定理转化目标函数例1 (2014年苏州中考改编题)如图1,     

巧用一元二次方程解题

例1已知3x-3^1/2y+z=0,求证y²≥4xz.分析待证的"y²≥4xz",类似于"b²≥4ac".现在所要解决的问题就是将"3x-3^1/2y+ z=0"中的"x,y,z"由通常的主元地位降至参数.而"3X-3^1/2y+z=0"中的3=(3^1/2)²,给我们提供了"二次"与"一次"的关系,于是本题可     

巧用一元二次方程工具箱

学习一元二次方程,是为了利用它来帮助我们解决问题．而一元二次方程与代数式问题、不等式问题、方程（组）问题、函数问题、图形的长度与面积问题等均关系密切,下面就让我们一起来看看如何利用一元二次方程这个工具解决这些问题。     

巧用观察法解一元二次方程

一元二次方程有以下两个性质： 性质1：如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的系数和为0,即a＋b＋c=0,则必有一根为1,而另一根为c/a．     

一元二次方程的整数根

在什么条件下,一元二次方程的根才是整数呢?下面几个定理部分回答了这个问题. 定理1 若首项系数为1的整系数方程x2+px+q=0(p、q为整数)的判别式Δ=p2-4q为一个完全平方数,则方程的根为整数.反之,亦成立. 这个定理可用反证法来证明,这里从略.只强调一点:对首项系数不     

一元二次方程的整数根

求一元二次方程的整数根是各类竞赛的常见题．由于这类问题将整数理论和一元二次方程的有关知识有机地结合在一起，解题的技巧和方法较灵活．现举例说明这类问题的解法．     

一元二次方程的整数根

关于一元二次方程的整数根问题,在各种竞赛中经常出现,对这类问题,许多同学不知如何解答,本文以四题为例介绍几种常用的方法． 1．直接求解     

一元二次方程根的妙用

若x1、x2是方程ax2+bx+c=O(a≠O)的两根,则ax_(1)~2+bx1+c=0和ax_(2)~2+bx2+c=0.方程与方程根的这一关系在解题中有着广泛的应用. 例1(1994年河南省中考题)以x2-3x-1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是( ). (A)y2-11y+1=0 (B)y2+y-11=0     

一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根问题 ,不仅涉及到二次方程的相关知识 (包括方程的各种解法、判别式定理以及韦达定理等 ) ,同时还与整数、整除等知识密切相关 ,其知识性、综合性和技巧性都很强 .因此 ,这类问题近年来备受竞赛命题者的青睐 ,成为了初中各级数学竞赛的一大热点 .一、基础知识1 .一元二次方程的有关知识 :( 1 )判别式定理 ;( 2 )求根公式 ;( 3 )根与系数的关系 (韦达定理 ) .2 .整数以及整除的有关理论 (略 ) .例 1　设关于ｘ的二次方程 (ｋ2 -6ｋ 8)·ｘ2 ( 2ｋ2 -6ｋ -4 )ｘ ｋ2 =4的两根都是整数 ,试求满足条件的所有实数ｋ的值 .…     

一元二次方程的整数根

求一元二次方程的整数根是各类竞赛的常见题.由于这类问题将整数理论和一元二次方程的有关知识有机地结合在一起,解题的技巧和方法较灵活.现举例说明这类问题的解法.一、利用整数的奇偶性例1!若m、n是奇数,求证:方程x2+mx+n=0没有整数根.分析:只要证明x既不可能是奇数,也不可能是偶数就行了.证明:如果x是奇数,由于m、n也是奇数,则x2+mx+n必为奇数,它与x2+mx+n=0矛盾;如果x是偶数,由于m、n是奇数,故x2+mx+n必为奇数,它与x2+mx+n=0矛盾.因此,方程x2+mx+n=0没有整数根.二、利用判别式及辅助未知数的取值范围例2:!已知m是满足不等式1≤m≤50的正…     

一元二次方程的整数根

内容概述一元二次方程的整数根问题,将整数理论与传统的初中数学知识相结合,涉及面宽、范围广,且需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧.例1 已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a有___个.(2000年全国初中数学竞赛)分析:由于方程未指明是什么方程,因此要对a的取值进行讨论求解.略解:当a=1时,原方程即为x-1-0,有整数根x=1.当a≠1时,原方程为一元二次方程,分解因式得x=-1-1/a-1或x=1.     

一元二次方程根的变换

一元二次方程根的变换,指的是利用根的意义进行恒等变形,求参数值或代数式值的一种解题方法. 现选取几道有关的中考或竞赛试题,予以分析(analyse).     

一元二次方程的整数根

求一元二次方程的整数根是各类竞赛的常见题.由于这类问题将整数理论和一元二次方程的有关知识有机地结合在一起,解题的技巧和方法较灵活.现举例说明这类问题的解法.     

一元二次方程根的讨论

解含字母系数的方程，是教学中的一个难点，亦是重点．从题型上来看，主要有两种类型．第一种类型是求使方程的根具有某些特征的字母系数的取值范围，第二种类型是确定方程在指定数集内有解和无解的条件．这两类问题往往归结为解不等式(组)加以解决．下面结合例题，探讨解此类题的一般规律．     

一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根问题综合了一元二次方程的知识和数论的知识，灵活性较大，是初中数学竞赛中的热点问题。