中考数学试题中的公切线问题

两圆位置关系是初中几何的重要知识点 .由于两圆位置关系的变化能引起公切线情况的变化 ,所以 ,涉及两圆公切线的问题便成为近年来中考数学的一个热点 .因此 ,对两圆公切线问题进行研究是十分必要的 .1　求公切线条数设两圆的半径分别为Ｒ、ｒ,圆心距为ｄ ,那么 ,( 1 )ｄ >Ｒ +ｒ 两圆外离 有 4条公切线 ;( 2 )ｄ=Ｒ +ｒ 两圆外切 有 3条公切线 ;( 3)Ｒ -ｒ<ｄ <Ｒ +ｒ(Ｒ≥ｒ) 两圆相交 有 2条公切线 ;( 4 )ｄ =Ｒ -ｒ(Ｒ >ｒ) 两圆内切 有 1条公切线 ;( 5)ｄ <Ｒ -ｒ(Ｒ >ｒ) 两圆内含 无公切线 .此外 ,当Ｒ =ｒ时 ,两圆不存在内含…     

如何学习两圆的位置关系

一、正确理解定义两圆的位置关系共有五种 ,是由两圆的公共点来定义的 ,即两圆没有公共点———外离或内含 ;两圆有惟一公共点———外切或内切 ;两圆有两个公共点———相交 .二、熟练掌握判定方法两圆的位置关系 ,既可根据两圆半径与圆心距的关系来判定 ,又可根据两圆内、外公切线的总条数来判定 .设两圆半径分别为Ｒ、ｒ(Ｒ >ｒ) ,圆心距为ｄ ,则有( 1 )ｄ >Ｒ +ｒ 两圆外离 两圆有 4条公切线 ;( 2 )ｄ =Ｒ +ｒ 两圆外切 两圆有 3条公切线 ;( 3)Ｒ -ｒ<ｄ <Ｒ +ｒ 两圆相交 两圆有2条公切线 ;( 4 )ｄ =Ｒ -ｒ 两圆内切 两圆仅有 1条…     

圆和圆的位置关系、正多边形和圆中考题选编

一、填空题1 ⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 的半径分别为 3和 2 ,且 1<Ｏ1 Ｏ2 <5 ,则两圆的位置关系是 .(2 0 0 1年吉林省中考题 )2 已知两圆内切 ,圆心距为 2ｃｍ ,其中一个圆的半径为 3ｃｍ ,那么另一个圆的半径为ｃｍ .(2 0 0 1年北京市海淀区中考题 )3 半径为 4的两个等圆 ,它们的内公切线互相垂直 ,则这两圆的圆心距等于 .(2 0 0 1年甘肃省中考题 )4 ⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 交于Ａ、Ｂ两点 ,且⊙Ｏ1 经过点Ｏ2 ,若∠ＡＯ1 Ｂ =90° ,则∠ＡＯ2 Ｂ的度数是 .(2 0 0 1年湖北省武汉市中考题 )5 如图 1,⊙Ｏ1 与半径为 4的⊙Ｏ2 内切于点Ａ ,⊙Ｏ1 经过圆心Ｏ…     

九年级第一学期期末平面几何质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1 .⊙Ｏ的半径为ｒ,⊙Ｏ的弦ＡＢ的长等于ｒ.则以Ｏ为圆心、32 ｒ长为半径的圆与ＡＢ所在直线的位置关系是 (　　 ) .(Ａ)相离　　 (Ｂ)相切(Ｃ)相交　　 (Ｄ)位置不定图 12 .如图 1 ,ＰＭ与⊙Ｏ相切于点Ｍ ,ＰＯ交⊙Ｏ于点Ａ ,且ＰＡ =ＡＯ .若⊙Ｏ的半径为Ｒ ,那么 ,ＰＭ的长为(　　 ) .(Ａ)Ｒ2 (Ｂ) 2Ｒ(Ｃ)Ｒ (Ｄ) 3Ｒ3.等腰梯形ＡＢＣＤ外切于⊙Ｏ ,ＡＤ∥ＢＣ ,∠Ｂ =30° ,中位线ＥＦ =1 2ｃｍ .则⊙Ｏ的半径为 (　　 ) .(Ａ) 4ｃｍ　 (Ｂ) 3ｃｍ　 (Ｃ) 5ｃｍ　 (Ｄ) 2ｃｍ图 24 .如图 2 ,ＰＴ是…     

有关圆和圆的位置关系、正多边形和圆中考题选登

一、填空题1 若半径为 5和 4的两个圆相交 ,且公共弦长为 6 ,则它们的圆心距ｄ等于 . (山西省 )2 已知圆Ｏ1 和圆Ｏ2 外切 ,半径分别为 1ｃｍ和 3ｃｍ ,那么半径为 5ｃｍ且与圆Ｏ1 、圆Ｏ2 都相切的圆一共可以作出个 . (上海市 )3 以Ｏ为圆心的两个同心圆的半径分别是 9ｃｍ和 5ｃｍ ,⊙Ｏ′与这两个圆都相切 ,则⊙Ｏ′的半径是 .(安徽省 )4 在以Ｏ为圆心 ,直径分别为 10ｃｍ和 16ｃｍ的两个同心圆中有点Ｐ ,ＯＰ =4ｃｍ ,过点Ｐ分别作大圆的弦ＡＢ和小圆的弦ＣＤ ,则ＡＢ的最大值和ＣＤ的最小值的和为ｃｍ . (湖北省黄冈市 )5 如图 1,⊙…     

注意与圆有关问题的多解

由于圆具有对称性以及位置关系的相对性 ,使得与圆有关的计算问题往往存在两解的可能性 ,所以在解题时要周密思考 ,以防出现漏解 .一、点到圆的距离问题例 1　已知点Ｐ到⊙Ｏ的最长距离为 6ｃｍ ,最短距离为 2ｃｍ .求⊙Ｏ的半径 .分析　由于点Ｐ与⊙Ｏ的位置关系不确定 ,故应分点Ｐ在⊙Ｏ内 (如图 1)与点Ｐ在⊙Ｏ外 (如图 2 )两种情形讨论 .在图 1中 ,ＰＡ =6,ＰＢ =2 ,∴　ＡＢ =8.故⊙Ｏ的半径ｒ =4(ｃｍ) .在图 2中 ,ＰＡ =6,ＰＢ =2 ,∴　ＡＢ =4.故⊙Ｏ的半径ｒ =2 (ｃｍ) .所以⊙Ｏ的半径为 2ｃｍ或 4ｃｍ .图 1图 2　　二、一条弦所…     

两圆导出直线的若干性质

设两圆的方程为Ｃ1 :(ｘ-ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2 =Ｒ2 (1 )Ｃ2 :(ｘ -ｃ) 2 (ｙ -ｄ) 2 =ｒ2 (2 )由 (1 ) - (2 )得 2 (ｃ-ａ)ｘ 2 (ｄ -ｂ) ｙ ａ2 -ｃ2 ｂ2 -ｄ2 ｒ2 -Ｒ2 =0 (3)我们把(3)式中ｘ ,ｙ的取值范围扩充为ｘ ∈Ｒ ,ｙ∈Ｒ ,当Ｃ1 与Ｃ2 的圆心不重合时 ,方程 (3)显然表示一条直线ｌ,我们称直线ｌ为两圆的导出直线 两圆的导出直线具有以下性质 :性质 1　两圆的导出直线垂直于两圆心的连线 .证明　两圆心坐标为Ｃ1 (ａ,ｂ) ,Ｃ2 (ｃ,ｄ) ,当ａ=ｃ时 ,两圆心连线Ｃ1 Ｃ2 平行于 ｙ轴 ,导出直线ｌ平行于ｘ轴 ,所以ｌ⊥Ｃ1 Ｃ2 ;当…     

巧用口诀学好《圆和圆的位置关系》

同学们在学习《圆和圆的位置关系》时,记住下面这几句口诀,有助于掌握本单元的定理及用这些定理来证明和计算相关的问题.口诀内容如下:圆集几何之大成,圆圆位置是关键:两圆相切作公切,画连心线过切点;两圆相交连公弦,连心线是中垂线;圆心若在别圆上,首先应把半径连.下面举例说明口诀的实际应用.例1如图1,两圆内切于点P.⊙O1的弦AB切⊙O2于点C,PC的延长线交⊙O1于点D.求证:(1)∠APD=∠BPD;(2)PA·PB=PC2+AC·BC.分析:因为两圆内切于点P,根据口诀(两圆相切作公切),过点P作两圆的公切线.证明:(1)过点P作两圆的公切线MN.因为MN切…     

构造圆解题

一、构造圆利用圆心到切线距离等于半径【例1】(2004·全国高考卷Ⅱ)在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A·1条B·2条C·3条D·4条解:以A为圆心,以r=1为半径作圆⊙A,且以B为圆心,以R=2为半径作圆⊙B,满足条件的直线即是两圆的公切线,又|AB|=5相似文献   

两圆的位置关系

说位明置:关系在图中,双向箭头上方表示“圆心距d对应的值或范围”,下方表示的就是“两圆的位置关系”·例如当d=0时(箭头上方所示d的值),同心圆(箭头下方所示的两圆位置关系);当d>R+r时(箭头上方所示d的范围),两圆外离(箭头下方所示的两圆位置关系)·应用举例(以2006年全国各省市中考题为例)一、判定例1(哈尔滨市)已知⊙O1与⊙O2半径的长是方程x2-7x+12=0的两根,且O1O2=12,则⊙O1与⊙O2的位置关系是()(A)相交(B)内切(C)内含(D)外切解析:此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断·解方程x2-7x+12=0得x1=3,x2=4·所以R-r=…     

巧用切线长定理解题

切线长定理告诉我们 ,从圆外一点引圆的两条切线 ,它们的切线长相等 .对于题设中已知或隐含着圆的两条相交切线的求值或证明问题 ,巧用切线长相等这一性质 ,可使解题简捷 .例 1　如图 1 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,直角边ＡＣ =4 ,ＢＣ =3,⊙Ｏ内切于Ｒｔ△ＡＢＣ ,则⊙Ｏ的半径ｒ=.( 2 0 0 0年广东省广州市中考题 )解　设⊙Ｏ与Ｒｔ△ＡＢＣ的三边分别切于Ｄ、Ｅ、Ｆ ,连结ＯＤ、ＯＥ、ＯＦ ,则四边形ＯＥＣＦ是正方形 .∴　ＣＥ =ＣＦ =ｒ.∴　ＡＥ =ＡＣ -ｒ,ＢＦ =ＢＣ -ｒ.∵　ＡＣ =4 ,ＢＣ =3,∴　ＡＢ =ＡＣ2 +ＢＣ2 =5 .∵　ＡＤ与ＡＥ、…     

圆与正多边形的性质及应用

圆的有关性质(一)一、复习要点1圆的有关概念(1)在平面内到点的距离等于长的点的集合叫做圆,点叫做圆心,长叫做半径.(2)圆心和半径,圆心确定圆的,半径确定圆的.的三点确定一个圆.(3)点和圆的位置有种,设圆的半径为ｒ,点到圆心的距离为ｄ,ｄ>ｒ;ｄ=ｒ;ｄ<ｒ.(4)连结圆上的线段叫做弦.的弦叫做直径;是圆中最长的弦;圆心到弦的距离叫做.(5)圆上间的部分叫做弧,弧分为、、三种.(6)能够的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径;在同圆或等圆中,能够的两条弧叫做等弧.2圆的基本性质(1)圆的对称性:圆既是对称图形又是对称图形,经过的每一条直线都是它的…     

具有某些特殊形式的比例线段问题的证明

为叙述和研究的方便 ,我们把ａ∶ｂ =ｃ∶ｄ称为一般形式的线段成比例 ,而把除此以外其他形式的线段成比例统称为特殊形式的线段成比例 .从各地中考题来看 ,特殊形式的线段成比例其类型主要有 :( 1 )ａｂ =ｃｄ +ｅｆ;( 2 )ａｂ=ｋｃｄ ;( 3) ａ2ｂ2 =ｃｄ;( 4 )ａ2 +ｂ2 =ｋｃｄ(以上各式中ｋ均为非零常数 ) .证明特殊形式的线段成比例问题 ,有效的策略是转化 ,有时要用一般形式的线段成比例来进行转化 ,有时要转化成一般形式的线段成比例问题 ,有时则需要综合运用这两种方法来解答 .　图 1例 1　如图 1 ,ＣＢ与⊙Ｏ相切于点Ｂ ,半径ＯＡ⊥…     

2004年中考《圆与圆的位置关系》考题回放

一、填空题1.(安徽中考题)圆心都在x轴上的两圆有一个公共点(1,2),那么这两圆的公切线有( ) A 1条B.2条C.3条D.4条2.(北京丰台区中考题)如果两圆的半径分别为3和4,圆心距为7,那么这两个圆的位置关系是( ) A.外切B.内切C.相交D.外离3.(北京西城区中考题)两圆既有外公切线、又有内公切线,则两圆的位置关系是( ) A.外离B.外离、外切     

错在哪里?(初三)

下面几道题的解答,都有错误,请你想一想,错在哪里? 1.已知两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且R2+d2-r2>2Rd.试确定两圆的位置关系. 解因为R2+d2-r2>2Rd,所以R2-2Rd+d2>r2,即(R-d)2>r2,所以R-d>r, R-r>d,所以两圆内含. 2.⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,公共弦AB与连心线O1O2交于G,若AB=48,     

圆幂定理的功能与应用

相交弦定理及其推论和切割线定理及其推论统称为圆幂定理 .由圆幂定理的条件和结论可知 ,圆幂定理具有两个基本功能 :一是利用圆幂定理证明线段等积式 (或比例式 ) ;二是利用圆幂定理进行几何计算 ,即利用圆幂定理列出关于未知几何量的方程 (或方程组 ) ,然后通过解方程 (或方程组 )求得未知几何量的值 .例 1　如图 1 ,已知⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｐ在ＢＡ的延长线上 ,ＰＣＤ是⊙Ｏ2的割线 ,且ＰＣＤ经过圆心Ｏ2 ,ＰＥ切⊙Ｏ1于点Ｅ ,ＰＣ =4,ＰＥ =8.(1 )求证 :ＰＥ2 =ＰＣ·ＰＤ ;(2 )求⊙Ｏ2 的半径 .分析　 (1 )由切割线定理…     

初三数学模拟试卷

一、填空题 (每小题 3分 ,共 4 2分 )1 如图 1,直线ａ、ｂ被直线Ｃ所截且ａ∥ｂ ,若∠ 1=118° ,则∠ 2 =。2 函数 ｙ =12ｘ - 1的自变量ｘ的取值范围是。3 ⊙Ｏ的半径为ａ ,则⊙Ｏ内接正六边形的边长为。4 不等式组 3ｘ - 2 >011- 2ｘ <2 的解集为。5 已知⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 的半径长分别为方程ｘ2 - 9ｘ 14=0的两个根 ,若圆心距Ｏ1Ｏ2 的长为 5,则⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 的位置关系为。6 若正ｎ边形的一个外角等于 60° ,则ｎ的值为。7 把ａ元钱 ,按照一年定期存入银行 ,如果这种储蓄的年利息是 2 2 5% ,那么这笔钱到期后的本息和是。8 半径为 6ｃｍ…     

圆的有关性质中考题精选

一、填空题1 如图 1,Ｃ是⊙Ｏ上一点 ,ＡＢ为 10 0° ,则∠ＡＯＢ =度 ,∠ＡＣＢ =度 .(2 0 0 1年江苏省镇江市中考题 )2 已知△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ ,∠ＡＯＢ =13 0° ,则∠Ｃ的度数为 . (2 0 0 1年江苏省南通市中考题 )3 如图 2 ,在半径为 1ｃｍ的圆中 ,弦ＭＮ垂直平分弦ＡＢ ,则ＭＮ =ｃｍ . (2 0 0 1年江西省中考题 )4 Ｄ是半径为 5ｃｍ的⊙Ｏ内的一点 ,且ＯＤ =3ｃｍ ,则在过点Ｄ的所有弦中 ,最小的弦ＡＢ =ｃｍ .(2 0 0 1年广东省广州市中考题 )图 1图 2图 3图 4　　 5 如图 3 ,Ａ、Ｂ、Ｃ是⊙Ｏ上的点 ,ＯＡ∥ＢＣ ,如果∠Ｂ =2 0°…     

直线和圆的位置关系中考题选编

一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ =12 0° ,⊙Ａ与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ相交于Ｅ ,则∠ＡＤＥ等于度 .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )2 已知 :如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ＡＣ =2 ,ＢＣ =1.若以Ｃ为圆心 ,ＣＢ长为半径的圆交ＡＢ于点Ｐ ,则ＡＰ= . (2 0 0 1年江苏省宿迁市中考题 )3 已知⊙Ｏ的半径为 4ｃｍ ,ＡＢ是⊙Ｏ的弦 ,点Ｐ在ＡＢ上 ,且ＯＰ =2ｃｍ ,ＰＡ =3ｃｍ ,则ＰＢ =ｃｍ .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )图 1图 2图 3图 4　　 4 已知 :如图 3,⊙Ｏ的弦ＡＢ平分弦ＣＤ ,ＡＢ =10 ,ＣＤ =8,且ＰＡ …     

数学奥林匹克问题

本期问题初179如图1,在正方形ABCD中,以图1边AB的中点O1为圆心、A2B长为半径画半圆⊙O1,半圆⊙O2的圆心O2在边BC上,并与边CD相切,与半圆⊙O1外切于点P.求证:DP是⊙O1和⊙O2的公切线.初180证明:对每一个正整数n,n5-n能被30整除.注:译自国外竞赛题.高179设n为正整数,Sn=sin1-sin4+…+(-1)n-1sin(3n-2).求证:Sn≠0.高180在△ABC中,求证:tan2B·tan2C+1cosA+tan2C·tan2A+1cosB+tan2A·tan2B+1cosC=2.上期问题解答初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB…