基本不等式与解析几何知识的衔接

基本不等式（√a^2＋b^2）/2≥（a＋b）/2≥√ab（当且仅当a=b时,等号成立）的应用要注意两个问题：（1）“一正二定三等”．一正,即a,b两个数为正数;二定,即两个正数的乘积为定值;三等,即等号成立的等价条件是“a=b”．（2）规律是：积定和最小,和定积最大．本文谈谈基本不等式在解析几何中的运用．     

不等式性质考题举例

解析：运用排除法，C选项｜a-b｜＋1/a-b≥2，当a-b＜0时不成立，运用公式一定要注意公式成立的条件，如果a,b∈R，那么a^2＋b^2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号），如果a,b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”号）。[第一段]     

柯西不等式的妙用

高中代数下册（必修）事项习题十五第6题是柯西不等式的特殊情形：当且仅当ad=bc时等号成立而柯西不等式的一般形式为：若aibi（i=1，2，……n）都是实效，则有当且仅当a＝kbi时等号成立实践证明用河西不等式证明一些不等式将会大大简化证顾过程，下面举若干可用柯西不等式证明的问题供同仁参考问（甘肃省教材编审室编写的高二年级第一学期代数配套练习5第8题）证：”·“a＞b＞c．”．a－c＞0．故务要证明故不等式成立树2如果a，b6R”，且a一b，求证：a3＋b3＞aZb＋abZ（代数下册第13页例幻例3已知a，b，。ER”，那么／＋P十一＞3abc等…     

试用柯西不等式验证经典性错误的解法

完整的柯西不等式通常是在进入大学后才具体见识和应用的，是解决相关数学问题最常用的定理之一．它的一般形式为：对于任意实数ai，bi（i=1，2，…，n），有（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2≤（a^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2），其中当且仅当ai=kbi，即ai与bi（i=1，2，…，n）成比例时取到等号．     

换个方向想问题

数学教学中，运用正向思维解决不了的问题为数不少，学生碰了钉子后往往感叹“山重水复疑无路”，当他把正向思维转变为逆向思维后，就会豁然地出现“柳暗花明又一村”的美景，这就是换个方向想问题的妙处。例1 已知实数a，b，c满足a＋b＋c=0，abc=8，那么＋＋的值（）。（A）是正数；（B）是零；（C）是负数；（D）正负不能确定。答案是（C）。下面证明＋＋< 0。因为＋＋== ，所以，要想证明＋＋< 0，只需证明ab＋ca＋ab< 0。因为abc=8，所以，a,b，c全不为0，从而a2＋b2＋c2 >0。又（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca)=0，所以ab＋…     

均值定理之巧思妙构

不等式在高考试题中占有重要的地位,特别是对均值不等式内容的命题已成为一个重点．二元均值定理：a＋b≥2√ab（a,b∈R^＋）,当且仅当a=b时取“=”,此时a＋6有最小值;当a,b都为正数,且a＋b为定值时,     

完全平方公式变式的应用

完全平方公式（a＋b）2=a2＋2ab＋b2，（a－b2=a2－2ab＋b2是《整式的乘除》一章的两个重要公式，除了直接用于计算两数和的平方，两数差的平方外，如果将它们适当加以变形，其用途更广泛，作用更大．下面将这两个公式的几种变式及其应用举例说明，借以开拓初一同学的解题思路，提高灵活运用知识解题的能力．变式1：a2＋b2=（a＋b）2－2ab，a2＋b2=（a—b）2＋2ab．例1设a、b、c、d都是整数，且m=a2＋b2，n=c2＋d2，则mn也可表示成两个整数的平方和，其形式是mn=________．（1986年全国初中数学联赛试题）（1992年“给云杯”初中数学邀请赛…     

一个不等式的初等证明

题目设a,b,c是正实数,且a＋b＋c=1,则有（1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3（1）当且仅当a=b=c=1/3时取到等号．     

两位数乘法的速算

一、“首同末合十”的两位数乘积的速算 “首同末合十”是指两个两位数,它们的十位数字相同,个位数字之和为10． 设有两数分别为10a＋b,10a＋c,且b＋c=10,则有： （10a＋b）（10a＋c）=100a^2＋10a（b＋c）＋bc=100a（a＋1）＋bc．     

巧用均值不等式妙解物理极值题

定理 如果ab∈R,那么a^2＋b^2≥2ab．（当且仅当a=b时取等号） 推论 如果ab∈R^＋,那么a＋b/2≥√ab．（当且仅当a=b时取等号） 上述内容在数学中称为“均值不等式定理”,是不等式中的一个重要结论．值得注意的是,在高中物理很多涉及到极值的问题中,都有令人惊奇的妙用．     

均值不等式的推广

【定理】如果a,b是正数,那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”号）． 定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．     

巧用“a＋b与a-b的奇偶性相同”

当a、b都是整数时,由（a＋b）-（a-b）=26为偶数可知a＋b与a-b妻么同为偶数,要么同为奇数．这就是说,“两个整数的和与差的奇偶性相同”．这是关于整数的一个有趣的性质,应用它去处理一些竞赛题,可以化难为易,取得事半功倍的效果．     

一抽象函数习题的衍射性教学探究

《普通高中课程标准实验教科书数学1》96页练习11有这样一道题：已知f（x）=1g1-x/1＋x,a,b∈（-1,1）,求证f（a）＋f（b）=f（a＋b/1＋ab）.此题思路是分别将a,b代入f（x）中,将等式两边各自变形;采用的是“中间会合”技巧;考察的知识点是对数运算法则与它的应用,以及证明恒等式技巧．学生的解答过程如下：     

均值不等式中等号成立条件在解题中的导向作用

课本中介绍了均值定理：a,b∈R^＊,则a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”号）它还有两个常用变式：ab≤（a＋b/2）^2,ab≤a^2＋b^2/2,都是当且仅当a=b时取“=”号,用它们可以实现两式（或数）之积与其和的平方或平方的和这三者之间的互化,这些大家都很熟悉,但鲜有人注意到其中等号成立条件对不等式问题的解答有启发和导向作用,本文对此作以下探讨,以期抛砖引玉．     

柯西不等式的变形技巧

柯西不等式 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则（a1^2;＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）,当且仅当bi=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k,使得ai=kbi（i=1,2,…,n）时,等号成立．     

应用初一知识解竞赛题

下面这组竞赛题可以用初一上学期学过的知识来解．初一的同学们，请你开动脑筋．认真仔细地做一遍，然后对照后面的解答，看你能做对几道题，你的解法与这些解法一样吗？1．计算：（1992年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）2．计算：（1990－1991学年度武汉、重庆、广州、洛阳、福州初中数学联赛试题）3．化简：．（1991年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）4．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（）5．若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a＋b=c，b＋c=d．c＋d=a，那么a＋b＋c＋d的最大值是（）（A）－1；（B）-5；…     

将“乘法分配律”改为“乘法分合律”的思考

以往教学“乘法分配律”时,教师往往结合所创设的情境引导学生推导出公式：“（a＋b）×c=a×c＋b×c”。然而,学生在做作业时,碰到“（a＋b）×c”这种刚学过的题目还会做,但碰到“a×c＋b×c”这种要倒回到“（a＋b）×c”的题目时就大眼瞪小眼了。     

关于商高数的Terai猜想

设{a,b,c}是一组b为偶数的本原商高数．证明了：当a是形如16（3k＋1）＋1的素数时,Terai猜想对于几乎所有这样的素数都成立,特别地,当a=17（b=144,c=145）时,Terai猜想成立;当a是形如16（8kl＋5（k＋l）＋3）＋1的素数时,Terai猜想成立．     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的又一简证

文献[1]提出了如下猜想： 猜想f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a，b为大于零的常数,n∈N^＊）当且仅当x=arctan n＋2√b/a时,取到最小值（2/a^n＋2＋2/b^n＋2）^n＋2/2．     

一道最值问题的多种解法

已知5/a＋3/b=1（a〉0,b〉0）,求a＋b的最小值. 解法一 （1的代换与均值不等式） （5/a＋3/b）（a＋b）=5＋3＋3a/b＋5b/a=8＋3a/b＋5b/a≥8＋2√15, 当且仅当3a/b=5b/a即a=5＋√15,b=3＋√15时,等号成立.