构造勾股数的一种简便方法

几何课本第二册有构造勾股数的题目。本文提供如下有别于“教参”提示的方法: 定理 设m为大于1的奇数,将m~2折分成两个连续自然数之和:m~2=n+(n+1),则三个数{m,n,(n+1)}构成一组勾股数。     

利用复数构造勾股数

不定方程x~2 y~2=z~2的正整数解（x,y,z）叫做勾股数。它起名于著名的勾股定理。例如（3,4,5）和（5,12,13）就是勾股数。熟悉勾股数,有利于迅速解答和编造关于直角三角形、三角函数等类习题。下面介绍利用复数构造勾股数的方法。     

构成勾股数的一种方法

一九八六年全国初中数学联赛的第一、4题是一道填空题:“设a、b、‘、‘都是整数,且m~砂+bt.,,~‘,+矛.则m·,也可以表示成两个整数的平方和,其形式是_。”答案是:(ac一叼),+(ad+bc)’,即:m·n二(ac一bd),+(ad+bc)t。 观察此题的结论可以设想:如果m·n是一个完全平方数,那么〔石万石,a。一bd,ad+加〕将构成一组勾股数.例如a=4,b=2,则m=2.+ 4t=20。c=2,d=1,则,=1.+22=5。由于m,=20 xs== 10.是一个完全平方数,且ac一bd~2 X4一1 XZ一6,ad+bc=1x4+2 xZ,8,则(10,8,6)为一组勾股数.这就是说:由两组已知数(二,a,b)及(二,‘,d)(但二·n应是完全平…     

勾股数组的一种构造方法

勾股数组的一种构造方法李宗奇（甘肃徽县一中７４２３００）我们知道，满足不定方程ｘ２＋ｙ２＝ｚ２的三个正整数ｘ、ｙ、ｚ叫做勾股数．如果（ｘ，ｙ，ｚ）＝１，称ｘ、ｙ、ｚ为基本的或本原的勾股数组．不定方程ｘ２＋ｙ２＝ｚ２的基本勾股数组的一切解的公式是：ｘ＝...     

构造方程妙求勾股数

近年来,各地中考数学出现了有关直角三角形勾股数的试题.这类题构思精巧,条件隐含,但只要认真观察,仔细分析,根据已知条件与题目结构特征,充分挖掘其隐含条件,探索问题规律,构造方程,就能使问题轻松解答.一、探求数字规律问题例1(安徽试题)观察一组式子:32 42=52,52 122=132,72 242=252,92 402=412…,猜想一下,第n个式子是.【分析】本题给出的每个式子的三个数都是学生非常熟悉的勾股数,要求学生细心观察,分析每个等式的特点,比较每个等式三个数字之间的彼此关系,探求数字规律.主要考察学生的分析、归纳、推理和类比能力.解法一:每组第一个…     

构造方程 妙求勾股数

近些年来，各地试题中出现一些有关直角三角形勾股数的试题，这类题构思精巧，条件隐蔽，解题有一定难度．但只要认真观察，根据已知条件与题目结构特征，充分挖掘其隐含条件，探寻问题规律，构造方程，就能使问题轻松解答．     

勾股数

(本讲适合初中) 在直角三角形中,如果两直角边的边长为x,y,斜边的长为z,则 x~2 y~2=z~2。 ① 这是有名的勾股定理,如果要求直角三角形的三边的长都是整数,可以得到下面的     

勾股数

我们都熟知勾股定理：直角三角形两直角边ａ、ｂ的平方和等于斜边ｃ的平方,即ａ２＋ｂ２＝ｃ２（１）我们称满足公式（１）的三个正整数为勾股数．怎样寻找勾股数是一个古老而有趣的话题．不难发现,若（ｘ,ｙ,ｚ）为勾股数,则（ｋｘ,ｋｙ,ｋｚ）（其中ｋ为正整数）也是勾股数．例如,由勾股数（３,４,５）可得勾股数（６,８,１０）、（９,１２,１５）……古希腊数学家毕达哥拉斯最早给出一个勾股数的计算公式：ｂ＝２ｎ２＋２ｎ（ｎ为正整数）,（２）利用这个公式可以很方便地找到一些勾股数．当ｎ＝１时得（３,４,５）;当…     

勾股数

“我们都熟知勾股定理：直角三角形两直角边ａ、ｂ的平方和等于斜边ｃ的平方，即ａ２＋ｂ２＝ｃ２（１）我们称满足方程（１）的三个正整数为勾股数．怎样寻找勾股数是一个古老而有趣的话题．不难发现，若（ｘ，ｙ，ｚ）为勾股数，则（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）（其中ｋ为正整数）也是勾股数．例如，由勾股数（３，４，５）可得勾股数（６，８，１０）、（９，１２，１５）……古希腊数学家毕达哥拉斯最早给出一个勾股数的计算公式：利用这个公式可以很方便地找到一些勾股数．当ｎ＝１时得（３，４，５）；当ｎ＝２时得（５，１２，１３），……古…     

利用勾股数构造直角三角形解题

勾股定理是几何中的一个重要定理,含有勾股数(如a=3,b=4,c=5)的问题或类似问题,多数可构造直角三角形解决. 例1 如图1,P为正三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数. 分析:无法直接求∠APB的度数.由已知可联想到构造直角三角形. 解:将△BAP绕点A逆时针旋转60°,得△ACD,连PD.     

另一种求勾股数的方法

对于a~2 b~2=c~2(a、b、c为自然数),若已知a可求出b和c,见[文1].本文讨论在已知c值的情况下如何求a与b的值.显然a≠b,我们约定当a与b互换时所得为同一解答.     

四元勾股数的矩阵构造

我们称不定方程x_1~2+x_2~2+x_3~2=x_4~2的一个正整数解(a,b,c,d)为一组4勾股数。其几何意义是可构造一个三边和体对角线均为正整数的长方体。最基本的四元勾股数是(1,2,2,3),许多四元勾股数可由它产生出来。当基本数组(1,2,2,3)用下面三个矩阵A、B、C中的每一个相乘时,都得出一组四元勾股数。其中     

勾股数的又一种构成方法

利用恒等式 (日。一6。)(f0一d0)一(ac±bd)。一(ad士bc)0 (*)给定两组勾股数,则可得到八组新的勾股数. 例如,已知3。+42—5。,5。+12。一13。,则 1.由3。一5。一4。,5。一1 3。一12。,据(*)式 (5z一40)(132—122) 一(5×13±4×12)。一(5×12土4X13)2 即(65±48)0—30×15 0+(60±52)0, 即113。一15。+112。或17。一15。+8。. .‘. (15,112,113),(15,8,17)为两组勾股数. 2.由4。一5。一3。,5。一13。一12。.据(*)式 (5 0—30)(130—122) 一(5×13±3×12)0一(5X12士3×13)0. 即 (65士36)0=200+(60土39)0 即101。一2r-4-99。或29。一20。+2…     

从三元勾股数到多元勾股数

称不定方程x盖: x盔: … x盖。=x飞。,:的一个正整数解(a‘,…,a。n,a。。 :)为一组n十1元勾股数.已知满足(x::,x::)二1,2 lx:,的一组三元勾股数为x:1=.aZ一bZ,x::=Zab,x:玉=aZ 乙恤>b>奋一,:(a,b)=1).我们来构造四元勾股数:由于a,b一奇一偶,设x:。=Zk 1=(无 1)’一k,,取a:=k 1,乙,=k,Za:b:=z无(无 李),则a艳一 ‘,=z正 i=(无 i)’一kZ二心一时,因此(aZ一bZ)’ =(aZ 乡2)2=(a老一b老)飞=(a尹 b尹)2(Za乙)2 〔2无(k 1)〕’ (Za:乡:)2 (za,今:)竺又ka, 右’一1 2Za:b:=Zk(k 1)=(aZ bZ)2一1 2a老 乙:_a‘ bz午1三-一一丁一因此得四元勾…     

寻求勾股数的一种简便方法

所谓勾股数,就是指满足方程 a~2 b~2=c~2的正整数组(a,b,c).在勾股数组的三个数中,知一求二是比较困难的,有的文章虽作过介绍,但其方法繁杂,甚至有错误之处.本文试图给出已知 a,求出所有勾股数(a.b.c)的一种简便方法.分析:a~2 b~2=c~2a~2=(c b)(c-b),令 c b=m,c-b=n,易知 a、m、n 三数的奇偶性相同.根据算术基本定理,设 a 的标准分解式为 a=p_1~a_1·p_2~a_2…p_k~a_k,则 a~2=1·p_1~(2a)_1·p_1~(2a)_2…p_k~(2a)_k,其中 p_1、p_2、…、p_k 是各不相同的素     

求勾股数的一种简便方法

如果把勾股数按第一个数字是奇数、偶数分成两组:第一个数字为奇数的称为奇数组(A),第一个数字为偶数的称为偶数组(B).按由小到大的顺序排列是:奇数组(A) 偶数组(B)注:因3,4,5为最小的一组勾股数,把4排在首位,只有4,3,5这种排法.除此之外,各组勾股数都是按由小到大的顺序排列.不难发现,在(A)组中有:     

对一种寻求勾股数方法的探析

本文从实例出发探寻了勾股数的一个规律,并给出寻求勾股数的一种方法;同时文章最后还指出了利用此种方法所得到勾股数的不唯一性.     

网点勾股数

能够成为直角三角形三条边的长的三个正整数称为勾股数(或勾股弦数)．勾股数的全体则组成勾股数的集合。     

勾股数杂谈

如果一个直角三角形的三边长正好都是正整数,那么这三个正整数叫做勾股数(也叫勾股数组).一般地,如果正整数a、b、c能满足a~2 b~2=c~2,则它们叫做勾股数.按我国古代的叫法,如果勾股数的关系为a相似文献   

勾股数杂谈

如果一个直角三角形的三边长正好都是正整数,那么这三个正整数叫做勾股数(也叫勾股数组).一般地,如果正整数a、b、c能满足a2 b2=c2,则它们叫做勾股数.按我国古代的叫法,如果勾股数的关系为a＜b＜c,则a叫勾数,6叫股数,c叫弦数.……