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题目 设点I、H分别为锐角△ABC的内心和垂心 ,点B1 、C1 分别为边AC、AB的中点 .已知射线B1 I交边AB于点B2 (B2 ≠B) ,射线C1 I交AC的延长线于点C2 ,B2 C2与BC相交于K ,A1 为△BHC的外心 .试证 :A、I、A1 三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2 的面积相等 .1 试题的背景此题是以下面两个命题为背景改造而来的 .命题 1 三角形的两顶点与其内心、外心、垂心中的两心四点共圆的充分必要条件是另一顶点处的内角为 60° .证明 :当三心有两心重合 ,或三角形为直角三角形时 ,结论显然成立 .下面讨论三心两两不重合且三角形… 相似文献
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一、证明 (i)如果a_1≤b_1,则由递推关系式立知a_i≤b_i,i=2,…,n,结论显然成立。 (ii)如果存在2≤i_0≤n-1,使a_i_0≤b_i_0且a_(i_0 1)≤b_(i_0 1),则当i_0=n-1时,立得结论;而当2≤i_0≤n-2时,由递推关系式亦知,对一切i≥i_0 2,均有a_i≤b_i,从而结论亦成立。 相似文献
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题目如图1,在圆内接△ABC中,∠A为最大角,不含点A的弧BC上两点D、E分别为弧ABC、ACB的中点． 相似文献
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20 0 3年中国数学奥林匹克第 5题如下 :某公司需要录用一名秘书 ,共有 1 0人报名 .公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面试 ,前 3个人面试后一定不录用 .自第 4个人开始将他与前面面试过的人相比较 ,如果他的能力超过前面所有已面试过的人 ,就录用他 ;否则就不录用 ,继续面试下一个 .如果前 9个人都不录用 ,那么就录用最后一个面试的人 .假定这 1 0个人的能力各不相同 ,可以按能力由强到弱排为第 1 ,第 2 ,… ,第 1 0 .显然该公司到底录用到哪一个人 ,与这 1 0个人报名的顺序有关 .大家知道 ,这样的排列共有1 0 !种 .我们以Ak 表示能力为… 相似文献
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2005年中国数学奥林匹克的试题比2004年容易些,只有第4题较困难.如下:已知数列{an}满足条件a1=2116,2an-3an-1=32n 1,n≥2.①设m为正整数,m≥2.证明:当n≤m时,有an 32n 31mm-23n(m-1)m相似文献
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杨燕 《聪明泉(少儿版)》2003,(2)
教育部在《关于2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中要求,数学考试“应设计一定的结合情景的问题和开放性问题”,最近几年来,各地数学开放题大批涌现在中考试卷中。 相似文献
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第一天 (1996年1月18日上午8:00-12:30) 一、设H是锐角△ABC的垂心,由A向以BC为直径的圆作切线AP,AQ,切点分别为P,Q。求证:P,H,Q三点共线。 (罗增儒 供题) 二、设S={1,2,…,50},求最小自然数k,使S的任一k元子集中都存在两个不同的数a和b,满 相似文献
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2003年中国数学奥林匹克 总被引：2，自引：0，他引：2
第一天 ( 2 0 0 3 0 1 1 5)一、设点Ｉ、Ｈ分别为锐角△ＡＢＣ的内心和垂心 ,点Ｂ1、Ｃ1分别为边ＡＣ、ＡＢ的中点 .已知射线Ｂ1Ｉ交边ＡＢ于点Ｂ2 (Ｂ2 ≠Ｂ) ,射线Ｃ1Ｉ交ＡＣ的延长线于点Ｃ2 ,Ｂ2 Ｃ2 与ＢＣ相交于Ｋ ,Ａ1为△ＢＨＣ的外心 .试证 :Ａ、Ｉ、Ａ1三点共线的充分必要条件是△ＢＫＢ2 和△ＣＫＣ2 的面积相等 .二、求出同时满足如下条件的集合Ｓ的元素个数的最大值 :(1)Ｓ中的每个元素都是不超过 10 0的正整数 ;(2 )对于Ｓ中任意两个不同的元素ａ、ｂ ,都存在Ｓ中的元素ｃ ,使得ａ与ｃ的最大公约数等于 1,并且ｂ与ｃ的最大… 相似文献
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第一天 (1999年1月11日上午8:00～12:30) 一、在锐角△ABC中,∠C>∠B,点D是边BC上一点,使得∠ADB是钝角,H是△ABD的垂心,点F在△ABC内部且在△ABD的外接圆周上,求证点F是△ABC垂心的充分必要条件是:HD平行于CF且H在△ABC的外接圆周上。 相似文献
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国际数学奥林匹克是罗马尼亚的教授罗曼发起的。第一届竞赛是1959年在罗马尼亚举行的。当时参加的有保加利亚、捷克、匈牙利、波兰、苏联和罗马尼亚六个国家。1963年南斯拉夫参加了,1664年蒙古也参加了。 相似文献
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2005年小学数学奥林匹克预赛试题，突出体现了基础性、发展性和挑战性，难易适中，有利于调动参与者的积极性。本文就其中的几道题解析如下，与同行共商。 相似文献
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